余獻(xiàn)虎

(柯城區(qū)教學(xué)研究室，浙江 衢州 324002)

思維具有延續(xù)性，具體表現(xiàn)為從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從基本到綜合、從單一到體系，或者由外而內(nèi)、由此及彼、變化中有不變等.思維延續(xù)性試題有利于學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上不斷深入探析新的數(shù)學(xué)關(guān)系，不斷嘗試新的思維路徑，在挫折和困境中獲得真實(shí)的解題體驗(yàn)，感悟真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的習(xí)得感，培養(yǎng)并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力.現(xiàn)以一道核心素養(yǎng)下的問題解決能力檢測(cè)題為例，與同仁們交流．

1 試題呈現(xiàn)

2)求tan∠BAC的值．

2 試題分析

本題依據(jù)圓的基本性質(zhì)，構(gòu)造了一個(gè)“等角對(duì)等弦”的不對(duì)稱圖形.試題表述簡(jiǎn)潔，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，設(shè)問起點(diǎn)低，解答入口寬，重視思維的延續(xù)性．試題內(nèi)容逐步深化，數(shù)學(xué)思維延續(xù)性強(qiáng)，數(shù)學(xué)關(guān)系趨向于本質(zhì)，有利于學(xué)生厘清混沌未覺或雜亂無章的思緒，有利于學(xué)生通過訓(xùn)練內(nèi)化出自我包容、開放的思維習(xí)慣，有利于學(xué)生問題解決能力的提升．

3 思維延續(xù)性的解法探析

學(xué)生獲得的最直接的問題解決方法取決于他最先關(guān)注到的信息，以及由此引起的刺激讓他聯(lián)想到的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法和思想.

3.1 第1)小題解法探析

對(duì)于第1)小題，學(xué)生最容易關(guān)注到的元素是圓周角、角平分線和弧的中點(diǎn)，以及連線后的圓心角、圓內(nèi)接四邊形等，他們普遍會(huì)從這些元素入手，探析問題的解決方法．

3．1.1 利用圓心角、圓周角定理及其推論

證法1因?yàn)锳D平分∠BAE，所以

又因?yàn)椤螧AE=∠ABC+∠ACB，所以

得證.

此法指向清晰，過程簡(jiǎn)潔、明了，依據(jù)是圓周角定理及其推論.若引導(dǎo)到圓心角定理及其推論，則證法如下：

證法2如圖2，聯(lián)結(jié)BD，OD，OB，OC，則

圖2 圖3

∠BOD=2∠BAD， ∠COD=2∠DBC，

∠DBC=∠DAE.

因?yàn)锳D平分∠BAE，所以

∠DAE=∠DAB=∠DBC，

從而

∠BOD=∠COD.

得證.

證法3如圖3，聯(lián)結(jié)DO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF，則∠DAF=90°，即

∠DAB+∠BAF=∠DAE+∠CAF=90°.

又AD平分∠BAE，得

∠DAE=∠DAB，

即

∠BAF=∠CAF，

得證.

證法延續(xù)學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，由等弧想到半圓.類似地，可構(gòu)造平行線：

證法4如圖4，聯(lián)結(jié)CD，作AF∥BC交⊙O于點(diǎn)F，則

圖4 圖5

∠2=∠B.

∠D=∠B=∠ACD=∠2，

故

∠4=∠DAB=∠1+∠2=2∠D，

即

∠1=∠D，

得證．

3.1.2 利用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)

若看到、讀到“∠DAE”聯(lián)想到的是圓內(nèi)接四邊形，則證法如下：

證法5如圖5，聯(lián)結(jié)BD，則

∠DAE=∠DBC.

由AD平分∠BAE，得

∠DAE=∠DAB，

從而

∠DBC=∠DAB，

得證.

此法活用圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，通過等量代換理出解答思路.延續(xù)該思路，變化思維路線，可生成如下證法：

證法6如圖6，聯(lián)結(jié)BD，CD，則

圖6

∠DAE=∠DBC， ∠DAB=∠BCD.

由AD平分∠BAE，得

∠DAE=∠DAB，

從而

∠BCD=∠DBC，

得證.

∠ABD=∠ABC=∠ADC=∠ACD，

所以

∠DAE=∠DBC=2∠ABC.

由AD平分∠BAE，得

∠DAE=∠DAB，

即

∠DBC=∠DAB，

得證.

延續(xù)二倍角關(guān)系，聯(lián)系三角形的內(nèi)角和，用代入消元法可得三倍角：

證法8因?yàn)锳D平分∠BAE，所以

又因?yàn)?∠DAC=180°-∠DAE

∠DAE=2∠ABC，

所以

2∠ABC+∠DAC=180°，

消元得

∠ACB=3∠ABC，

故

∠DCB=2∠ABC=∠DBC.

得證.

3.1.3 構(gòu)造全等三角形

延續(xù)證法6的對(duì)稱性和“BD=CD”，可構(gòu)造全等三角形.

證法9如圖7，在AB上截取點(diǎn)F，使得DF=DA，聯(lián)結(jié)DF，DB，DC，則∠DFA=∠DAF.因?yàn)锳D平分∠BAE，所以

圖7

∠DAF=∠DAE，

即

∠DFA=∠DAE，

故

∠DFB=∠DAC.

又因?yàn)椤螪BF=∠DCA，所以

△DBF≌△DCA(AAS)，

從而

BD=CD.

得證.

綜上可知，第1)小題起點(diǎn)雖低，但方法多樣，從弧到角、角到線，從直徑到互余、和差到倍數(shù)，無一不具備解決問題的基本思想方法，需要學(xué)生充分理清知識(shí)間本質(zhì)的數(shù)學(xué)聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的路徑和變化中的不變性，做到深度思考．

3.2 第2)小題解法探析

第1)小題重在探析由學(xué)生“關(guān)注到的信息”聯(lián)想到的問題解決方法，第2)小題重在探析延續(xù)第1)小題的思維路徑從而生成解決方法，如延續(xù)“圖7”，就不棄“全等”．

3．2.1 構(gòu)造全等三角形

解法1如圖8，在AB上取點(diǎn)F，使得BF=AD=5，過點(diǎn)D，C作DG⊥AB于點(diǎn)G，CH⊥AB于點(diǎn)H，則△BFD≌△CAD，從而

圖8

DF=AD=5，AF=6，

且

AG=3，DG=4，BG=8，

故

即

BH=2CH，AH=11-2CH.

在Rt△AHC中，

25=(11-2CH)2+CH2，

可得

即

于是

解法延續(xù)第1)小題的思維自然生成，類比解法中“割出”的思路，還可以通過旋轉(zhuǎn)甚至“補(bǔ)形”，做到思維再延續(xù)．

解法2如圖9，將△DAC繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，設(shè)點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)G處，聯(lián)結(jié)DG，作GH⊥AD于點(diǎn)H，則

圖9 圖10

BG=AC=GD=AD=5，AG=6，

從而

∠BAC=∠GDA，

同上可得

解法3如圖10，在射線CA上截取AG=6，聯(lián)結(jié)DG，作GH⊥AD于點(diǎn)H，則CG=AB=11.又

CD=BD， ∠DCG=∠DBA，

從而

△DCG≌△DBA，

即

DG=AD=5， ∠BDA=∠CDG，

于是

∠BAC=∠BDC=∠ADG．

在Rt△ADG中，

可得

這些解法都延續(xù)“BD=DC，∠ABD=∠ACD”而成，通過全等三角形把已知的數(shù)學(xué)關(guān)系集中到一個(gè)圖形中，進(jìn)而解決問題．延續(xù)這些解法的更優(yōu)化形式是直接利用等角或倍角關(guān)系構(gòu)造等腰三角形或相似三角形．

3.2.2 構(gòu)造等腰三角形

延續(xù)第1)小題發(fā)現(xiàn)的倍角關(guān)系，可構(gòu)造等腰三角形.

解法4如圖11，在AB上取一點(diǎn)G，使得∠BDG=∠DBG，則∠DGA=∠GAD，從而BG=DG=AD=5，AG=6，∠BAC=∠ADG.利用勾股定理可得

圖11

故

解法5如圖12，截取∠BCG=∠B交AB于點(diǎn)G，作CH⊥AB于點(diǎn)H.因?yàn)椤螦CB=3∠B，所以

圖12 圖13

∠ACG=∠AGC=2∠B，

即

AG=AC=5，BG=CG=6.

由

25-AH2=36-(5-AH)2,

解得

故

3.2.3 構(gòu)造相似三角形

延續(xù)第2)小題發(fā)現(xiàn)的∠ADC=∠ACD構(gòu)造相似三角形.

解法6如圖13，聯(lián)結(jié)BD,CD，作CH⊥AB于點(diǎn)H，設(shè)CD交AB于點(diǎn)F，則△ADF∽△ABD，從而

即

故

3.2.4 利用三角函數(shù)倍角公式

延續(xù)圖3的思維過程，融合二倍角關(guān)系，可以檢測(cè)學(xué)有余力的學(xué)生的高級(jí)思維能力和創(chuàng)新能力，解法如下：

解法7如圖14，點(diǎn)G在⊙O上，且DG=DA，作OP⊥GD于點(diǎn)P，交AB于點(diǎn)Q.作DM⊥AB于點(diǎn)M，則

圖14 圖15

從而

AM=3，DM=4，

故

又DF是直徑，則

∠DAF=90°=∠DAM+∠BAF，

故

因?yàn)?sin∠BAC=sin2∠BAF

則

所以

巧用二倍角和角平分線的性質(zhì)定理構(gòu)造矩形，過程如下：

解法8如圖15，作DH⊥AB于點(diǎn)H.設(shè)AH=x，因?yàn)椤螪AH=2∠DBH，所以

代入化簡(jiǎn)得

x2-11x+24=0，

解得

x=3(x=8舍去)，

故

AH=3，DH=4．

作DG∥CE交AB于點(diǎn)G，分別過點(diǎn)D，G作DM⊥EC，GN⊥EC，垂足為M，N，則

GA=GD=MN，GN=DM=DH=4.

設(shè)AN=y，則

AG=y+3，

在Rt△ANG中,

y2+16=(y+3)2，

得

故

延續(xù)圖14，利用對(duì)稱性構(gòu)造倍角，整合相似三角形的性質(zhì)，能把問題解決思路帶到新高度：

解法9如圖16，聯(lián)結(jié)DO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，則DG⊥BC.設(shè)CD交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)C=5x，則

圖16

△CBF∽△ABD，

故

BC=11x，

即

同理，設(shè)DF=5y，則

BD=11y，

從而

11y=5x+5y，

即

于是

即

從而

故

3.2.5 托勒密定理與方程組

解法10設(shè)BD=x，BC=y，易知∠BAC=∠BDC，由余弦定理得

(1)

由托勒密定理得

AB·CD=AD·BC+AC·BD,

(2)

將式(2)代入式(1)，得

故

解法11如圖17，作BH⊥CD于點(diǎn)H，由托勒密定理得

圖17

由對(duì)稱性得

故

因?yàn)锽H·CD=BC·DG，所以

即

故

由上可知，第2)小題起點(diǎn)雖高，但在第1)小題的解法引導(dǎo)下，融合知識(shí)間的聯(lián)系，運(yùn)用思維的再延續(xù)，依然可以做到“百花齊放，百家爭(zhēng)鳴”．

4 思考

1)思維延續(xù)性試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力.

試題是分辨學(xué)生解決問題能力強(qiáng)弱的試劑，好的試劑能檢測(cè)到學(xué)生問題解決從嘗試到完成的全過程.當(dāng)這個(gè)過程符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，能促使學(xué)生不斷探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造時(shí)，試題具備了思維的延續(xù)性和深刻性，這樣的試題有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力．

2)問題解決教學(xué)應(yīng)注意歸納、提煉問題解決過程中的思維延續(xù)的方法.

數(shù)學(xué)之難，很多時(shí)候就是“解題之難”．學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累不外乎兩個(gè)方面：第一，從其所能開始，從所能做出回應(yīng)的信息開始，不斷積累經(jīng)驗(yàn)；第二，延續(xù)所能作答的問題的思維末端繼續(xù)探尋問題中新的數(shù)學(xué)關(guān)系，獲得更豐富的經(jīng)驗(yàn)和靈感．因此，學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上不斷深入探析新的數(shù)學(xué)關(guān)系，不斷嘗試新的思維路徑，在挫折和困境中獲得真實(shí)的解題體驗(yàn)，并及時(shí)歸納、概括和總結(jié)其中的方法和思想，其本質(zhì)就是運(yùn)用思維的延續(xù)性感受真實(shí)的問題解決情境，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維．