陳永展，袁濤，曲建嶺，魏喜坤

（1.海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東青島 266041；2.阿米檢測(cè)技術(shù)有限公司，江蘇無錫 214000）

0 引言

艦載機(jī)和武器系統(tǒng)的定位跟蹤依靠機(jī)載慣性導(dǎo)航系統(tǒng)，通過母艦的主慣導(dǎo)對(duì)艦載機(jī)的子慣導(dǎo)進(jìn)行傳遞對(duì)準(zhǔn)。由于受到海洋環(huán)境的干擾較多，其中，對(duì)準(zhǔn)時(shí)存在桿臂效應(yīng)影響了對(duì)準(zhǔn)精度和對(duì)準(zhǔn)時(shí)間。

S.P.Dmitriyev等人［1］提出一種采用巴特沃斯低通濾波器對(duì)桿臂效應(yīng)在線補(bǔ)償?shù)姆椒?。SEO等人［2-3］提出力學(xué)補(bǔ)償法的概念，并用試驗(yàn)對(duì)桿臂效應(yīng)誤差的力學(xué)補(bǔ)償法進(jìn)行了驗(yàn)證。李蓓［4］提出了速度誤差觀測(cè)量補(bǔ)償和低通濾波器兩種桿臂效應(yīng)誤差的補(bǔ)償方法。這三種補(bǔ)償方法能夠?qū)U臂效應(yīng)較好地補(bǔ)償，但是缺少在某一具體裝備下三種補(bǔ)償方法效果的對(duì)比。西北工業(yè)大學(xué)提出了艦載直升機(jī)動(dòng)基座對(duì)準(zhǔn)技術(shù)的方案設(shè)計(jì)，后來主要就系泊情況和航行情況下的艦載機(jī)初始自對(duì)準(zhǔn)技術(shù)進(jìn)行了研究，國(guó)內(nèi)西北工業(yè)大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)、海軍航空大學(xué)等對(duì)艦載戰(zhàn)斗機(jī)動(dòng)基座傳遞對(duì)準(zhǔn)均取得一定理論研究成果，但在海洋環(huán)境中不同海況對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)的影響研究較少。

本文通過研究不同海況等級(jí)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)中的等效桿臂效應(yīng)，建立船舶六自由度模型，對(duì)艦載戰(zhàn)斗機(jī)動(dòng)基座傳遞對(duì)準(zhǔn)采用三種補(bǔ)償方法進(jìn)行仿真分析。

1 船舶六自由度模型建立

船舶在海面上受到的干擾力不規(guī)則，力的方向和大小變化不定，很難用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行完全精準(zhǔn)的描述。為了建立能夠描述船舶在海面上的受力情況需要進(jìn)行一些前提假設(shè)，通過系統(tǒng)分析簡(jiǎn)化海面的作用力，將一些影響較小的作用力進(jìn)行忽略以建立六自由度模型。本文基于日本操縱性數(shù)學(xué)模型研討組的分離型思想（MMG），將船舶在海面行駛時(shí)受到的總作用力單獨(dú)考慮，分為裸船體、敞水槳、敞水舵和風(fēng)浪流引起的水動(dòng)力進(jìn)行疊加，并且忽略海浪、海涌等外界環(huán)境對(duì)敞水槳、敞水舵的影響，用裸船體、敞水槳、敞水舵在靜水中所受的干擾力代替動(dòng)水中的干擾力。

應(yīng)用參考文獻(xiàn)［7］中簡(jiǎn)化后的船舶六自由度模型為

式中：m為船舶質(zhì)量，kg；mx，my，mz分別為船舶沿著X，Y，Z軸的附加質(zhì)量；Ixx，Iyy，Izz分別為船舶繞X，Y，Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Jxx，Jyy，Jzz分別為船舶繞X，Y，Z軸的附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；下標(biāo)P，R，wind，wave分別為敞水槳、敞水舵、風(fēng)、海浪對(duì)船舶的力和力矩。

1.1 附加質(zhì)量

船舶平面運(yùn)動(dòng)附加質(zhì)量估算公式為［8］

式中：L為船長(zhǎng)，m；B為船寬，m；d為吃水，m，取標(biāo)準(zhǔn)排水量下的吃水8.96 m；Cb為方形系數(shù)；Cw為水線面系數(shù)；H*0為船中寬吃水比。

1.2 螺旋槳力和力矩計(jì)算模型

螺旋槳力和力矩表示為［9］

式中：ρ為流體密度，kg/m3；n為主機(jī)轉(zhuǎn)速，r/min；kt(Jp)為槳的推力系數(shù)；tp為推力減額分?jǐn)?shù)；DP為槳直徑，取6.5 m。

1.3 舵力和力矩計(jì)算模型

舵力和力矩計(jì)算模型為［8］

式中：FN為垂直于舵葉平面的正壓力，N；tR為舵力減額系數(shù)；δ為舵角，（o）；a H為操舵誘導(dǎo)船體橫向力的修正因子；x H為操舵誘導(dǎo)船體橫向力的作用中心到船舶重心的距離，m；xR為舵中心到船舶重心的縱向距離，m；zR為舵正壓力中心到船舶重心的垂向距離，m。

1.4 波浪力仿真數(shù)學(xué)模型

將船簡(jiǎn)化為箱體船，得六自由度力和力矩為［10］

式中：a為波幅，m；k為波數(shù)；we為遭遇頻率；x為遭遇浪向角；ρ為流體密度，取1.025 kg/m3；g為重力加速度，取9.8 m/s2。

不同海況等級(jí)下遭遇頻率we取值見表1，為計(jì)算波浪力仿真數(shù)學(xué)模型提供數(shù)值參考。

表1 遭遇頻率值（V=18節(jié)）Tab.1 Values of encounter frequency

1.5 風(fēng)力和力矩計(jì)算模型

忽略風(fēng)力對(duì)船舶垂蕩和縱搖的干擾，風(fēng)力和力矩為［9］

式中：Cwx，Cwy，Cwn為風(fēng)壓力和力矩系數(shù)；a R為風(fēng)舷角，rad；h為船舶橫向受風(fēng)作用點(diǎn)的高度到取矩點(diǎn)的高度，m；H為船舶縱向受風(fēng)作用點(diǎn)的高度到取矩點(diǎn)的高度，m；Af為船體水線上正投影面積，m2；As為船體水線上側(cè)投影面積，m2；ρ為空氣密度，取0.001293 g/cm3。

2 速度匹配傳遞對(duì)準(zhǔn)卡爾曼濾波方程

2.1 卡爾曼濾波方程

卡爾曼濾波離散方程為［11］

式中：Xk為系統(tǒng)的n維狀態(tài)變量；Zk為系統(tǒng)的m維觀測(cè)序列；Γk，k-1為n·p維噪聲輸入矩陣；Φk，k-1為n·n維k-1時(shí)刻到k時(shí)刻狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；Wk為p維系統(tǒng)激勵(lì)噪聲序列；Hk為m·n維觀測(cè)矩陣；Vk為m維量測(cè)噪聲序列。

過程噪聲和量測(cè)噪聲滿足

式中：Qk為系統(tǒng)過程噪聲Wk的p·p維對(duì)稱非負(fù)定方差矩陣；Rk為系統(tǒng)觀測(cè)噪聲Vk的m·m維對(duì)稱正定方差矩陣；δkj為克羅內(nèi)克函數(shù)。

線性離散卡爾曼濾波狀態(tài)一步預(yù)測(cè)方程為

狀態(tài)估計(jì)為

濾波增益矩陣為

一步預(yù)測(cè)誤差方差矩陣為

估計(jì)誤差方差矩陣為

觀察分析卡爾曼濾波方程，任何系統(tǒng)給定初值X^0和P0，結(jié)合k時(shí)刻的觀測(cè)值Zk，就可以遞推算法計(jì)算得到k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)X^k。

2.2 卡爾曼濾波狀態(tài)方程與量測(cè)方程

海洋環(huán)境仿真中，由于垂直通道影響小且垂直通道和水平通道之間的耦合小，故忽略垂直通道。

取狀態(tài)變量X為

系統(tǒng)狀態(tài)方程為

選主子慣導(dǎo)間的速度差為觀測(cè)量，則觀測(cè)方程為

式中：v為滿足E(vvT)=R的零均值系統(tǒng)白噪聲；H為系統(tǒng)的量測(cè)矩陣。

卡爾曼濾波初始值為

3 不同海況等級(jí)傳遞對(duì)準(zhǔn)仿真

3.1 仿真條件

海浪搖擺產(chǎn)生的三軸運(yùn)動(dòng)屬于正弦函數(shù)，其數(shù)學(xué)模型為

某艦六自由度模型由龍格-庫(kù)塔法解出微分方程，以不同海況進(jìn)行分級(jí)，其仿真條件見表2，不同海況下橫搖、縱搖、艏搖角度幅值見表3。

表2 仿真條件Tab.2 Simulation conditions

表3 不同海況等級(jí)下的橫搖縱搖艏搖角度幅值Tab.3 Amplitude of roll pitch and yaw angleat different sea state grades （°）

3.2 桿臂效應(yīng)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)的影響

考慮桿臂效應(yīng)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)的影響，設(shè)桿臂長(zhǎng)度為(1 1 1)T，圖1為五級(jí)海況時(shí)加速度計(jì)輸出。

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)加速度計(jì)輸出曲線波動(dòng)幅值較大，將天向加速度數(shù)值進(jìn)行提取，天向加速度數(shù)值分級(jí)統(tǒng)計(jì)見表4。

表4 不同海況等級(jí)下天向加速度范圍Tab.4 Rangesof upward acceleration at different sea state grades

圖1 五級(jí)海況時(shí)加速度計(jì)輸出Fig.1 Accelerometer output at grade five sea state

從表4可以得出，一級(jí)海況時(shí)波動(dòng)幅值為0.029，每一級(jí)海況的波動(dòng)幅值都在增大，到達(dá)九級(jí)海況時(shí)波動(dòng)幅值達(dá)到0.185，從一級(jí)海況到九級(jí)海況，天向加速度輸出顯著變化。

由此可見，加速度計(jì)的輸出受海況影響而不穩(wěn)定，產(chǎn)生的等效桿臂效應(yīng)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)的影響較大，使系統(tǒng)整體加速度計(jì)輸出波動(dòng)變化明顯，呈發(fā)散狀態(tài)不利于對(duì)準(zhǔn)，因此在實(shí)際對(duì)準(zhǔn)中需要對(duì)桿臂效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償。

3.3 桿臂效應(yīng)補(bǔ)償方法

3.3.1 巴特沃斯低通濾波法

卡爾曼濾波用k-1時(shí)刻的最優(yōu)估計(jì)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的狀態(tài)變量，新的最優(yōu)估計(jì)是根據(jù)上一最優(yōu)估計(jì)預(yù)測(cè)得到的，并加上已知外部控制量的修正，因而新的不確定性由上一不確定性預(yù)測(cè)得到，并加上外部環(huán)境的干擾，

可以考慮采取更優(yōu)化的桿臂效應(yīng)補(bǔ)償方法。

巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，在阻頻帶則逐漸下降為零，且頻率特性曲線無論在通帶內(nèi)還是阻帶內(nèi)都是頻率的單調(diào)函數(shù)。當(dāng)通帶的邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)留有裕量。因此可用較低階數(shù)的系統(tǒng)將精確度均勻的分布在整個(gè)通帶或阻帶內(nèi)。

桿臂效應(yīng)加速度頻譜分析如圖2所示，由頻譜分析可選取通帶截止頻率0.02 Hz，阻帶截止頻率0.5 Hz，通帶衰減不得高于3 db，阻帶衰減不得低于40 db。

圖2 桿臂效應(yīng)加速度頻譜分析Fig.2 Spectral analysis of acceleration of lever armeffect

采用二階巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行濾波［10］

濾波器方程為

輸出方程為

濾波后五級(jí)海況加速度計(jì)輸出如圖3所示。

圖3 巴特沃斯低通濾波前后五級(jí)海況加速度計(jì)輸出Fig.3 Accelerometer output at grade five seastate before and after Butterworth low-pass filtering

通過對(duì)比不同海況等級(jí)下的仿真圖，可以發(fā)現(xiàn)三軸失準(zhǔn)角均呈現(xiàn)收斂狀態(tài)，濾波前后加速度計(jì)輸出范圍明顯縮小，取t=250 s時(shí)三軸失準(zhǔn)角進(jìn)行分析如圖4，仿真數(shù)據(jù)見表5。

圖4 巴特沃斯低通濾波后五級(jí)海況三軸失準(zhǔn)角變化曲線Fig.4 Changing cure of three-axis misalignment angle at grade five sea state after Butterworth low-pass filtering

表5 不同海況等級(jí)下三軸失準(zhǔn)角大小Tab.5 Values of triaxial misalignment angle at different sea state grades （°）

由圖3圖4和表5結(jié)合可知，四級(jí)海況時(shí)水平失準(zhǔn)角φe在9.8 s后逐漸趨于穩(wěn)定，φn在78 s后逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定前波動(dòng)幅值在-0.009～0.0262之間變化，幅值變化較未濾波曲線明顯減弱，方位失準(zhǔn)角φu在0 s到150 s內(nèi)振動(dòng)劇烈，后在250 s處仍存在0.2764°失準(zhǔn)角。

五級(jí)海況時(shí)水平失準(zhǔn)角φe在11.6 s逐漸趨于穩(wěn)定，φn在109 s后逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定前波動(dòng)幅值在-0.0169～0.0321之間變化，幅值變化較未濾波曲線明顯減弱，方位失準(zhǔn)角φu在0 s到200 s內(nèi)振動(dòng)劇烈，后在250 s處仍存在0.3041°失準(zhǔn)角。

六級(jí)海況時(shí)水平失準(zhǔn)角φe在13 s逐漸趨于穩(wěn)定，φn在122 s后逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定前波動(dòng)幅值在-0.027～0.03之間變化，幅值變化較未濾波曲線明顯減弱，方位失準(zhǔn)角φu在0 s到200 s內(nèi)振動(dòng)劇烈，后在250 s處仍存在0.3420°失準(zhǔn)角。

七級(jí)海況時(shí)水平失準(zhǔn)角φe在13.8 s逐漸趨于穩(wěn)定，φn在142 s后逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定前波動(dòng)幅值在-0.0385～0.039之間變化，幅值變化較未濾波曲線明顯減弱，方位失準(zhǔn)角φu在0 s到220 s內(nèi)振動(dòng)劇烈，后在250 s處仍存在0.3854°失準(zhǔn)角。

八級(jí)海況時(shí)水平失準(zhǔn)角φe在15.9 s逐漸趨于穩(wěn)定，φn在180 s后逐漸趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定前波動(dòng)幅值在-0.068～0.065之間變化，幅值變化較未濾波曲線明顯減弱，方位失準(zhǔn)角φu在0 s到250 s內(nèi)振動(dòng)劇烈，后在250 s處仍存在0.4575°失準(zhǔn)角。

隨著海況等級(jí)的提高，三軸失準(zhǔn)角呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，以五級(jí)海況為例，東向失準(zhǔn)角的估計(jì)誤差為0.0385°，北向失準(zhǔn)角的估計(jì)誤差為0.0332°，方位失準(zhǔn)角的估計(jì)誤差為0.3041°，屬于估計(jì)誤差范圍內(nèi)，可認(rèn)為五級(jí)海況位進(jìn)行速度匹配傳遞對(duì)準(zhǔn)的最高等級(jí)海況。二階巴特沃斯低通濾波器能夠?yàn)V去等效桿臂效應(yīng)引起的加速度計(jì)分量，但是無法完全濾去引起的有害加速度，可以采用計(jì)算補(bǔ)償法對(duì)等效桿臂效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償，計(jì)算補(bǔ)償后精度相比卡爾曼濾波、巴特沃斯低通濾波更高且收斂時(shí)間更短［12-14］。

3.3.2 計(jì)算補(bǔ)償法

卡爾曼濾波中觀測(cè)方程選取主子慣導(dǎo)的速度差，但未補(bǔ)償速度差觀察量中桿臂效應(yīng)速度項(xiàng)，使得桿臂效應(yīng)速度一直存在影響系統(tǒng)精度。計(jì)算補(bǔ)償法通過在速度差觀測(cè)量中采取補(bǔ)償桿臂效應(yīng)速度來提高系統(tǒng)精度。

主子慣導(dǎo)桿臂速度為

主子慣導(dǎo)桿臂速度在導(dǎo)航坐標(biāo)系中的投影為

又

因此

補(bǔ)償?shù)魲U臂效應(yīng)速度項(xiàng)后，速度誤差觀察量為

以五級(jí)海況為例，對(duì)比分析三種濾波方法下不同方向的加速度計(jì)輸出波形如圖5所示。（藍(lán)線為卡爾曼濾波，紅線為巴特沃斯低通濾波，黑線為計(jì)算補(bǔ)償法后的卡爾曼濾波。

圖5 三種濾波方法下，不同方向的加速度計(jì)輸出波形Fig.5 Output waveforms of accelerometers in different directions with three filtering methods

從輸出波形可以看出，計(jì)算補(bǔ)償法補(bǔ)償精度和收斂速度相較于卡爾曼濾波和巴特沃斯低通濾波器效果更好，收斂時(shí)間更短，整個(gè)濾波更為穩(wěn)定。究其原因，計(jì)算補(bǔ)償法要求事先測(cè)得桿臂長(zhǎng)度，理想條件下計(jì)算補(bǔ)償效果更好，如果測(cè)量桿臂長(zhǎng)度存在較大偏差則結(jié)果可能不理想，因此存在局限性。

計(jì)算補(bǔ)償法通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)計(jì)算在速度差觀測(cè)量中采取補(bǔ)償桿臂效應(yīng)速度，但不能完全補(bǔ)償桿臂效應(yīng)。

4 結(jié)論

針對(duì)不同海況等級(jí)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)桿臂效應(yīng)影響效果的問題，本文基于分離建模的思想建立船舶六自由度模型，進(jìn)而建立等效桿臂效應(yīng)模型，采用三種濾波方法補(bǔ)償桿臂效應(yīng)，補(bǔ)償結(jié)果表明：

1）不同海況等級(jí)對(duì)傳遞對(duì)準(zhǔn)產(chǎn)生的桿臂效應(yīng)不同，海況等級(jí)越高，桿臂效應(yīng)越明顯，越不容易補(bǔ)償，對(duì)準(zhǔn)精度和對(duì)準(zhǔn)時(shí)間均超過快速對(duì)準(zhǔn)要求。

2）對(duì)比分析三種補(bǔ)償方法：速度匹配傳遞對(duì)準(zhǔn)采用卡爾曼濾波方法進(jìn)行濾波不能完全濾去等效桿臂效應(yīng)誤差，需要進(jìn)行進(jìn)一步的補(bǔ)償；采用二階巴特沃斯低通濾波器能使桿臂效應(yīng)得到收斂，但是失準(zhǔn)角仍有進(jìn)一步的收斂空間，可采用計(jì)算補(bǔ)償法對(duì)桿臂效應(yīng)進(jìn)行補(bǔ)償；計(jì)算補(bǔ)償法直接補(bǔ)償主子慣導(dǎo)的速度差，不能完全補(bǔ)償桿臂效應(yīng)，但其補(bǔ)償精度和收斂速度更好，在具體應(yīng)用中固定主子慣導(dǎo)空間位置，測(cè)量出實(shí)際桿臂長(zhǎng)度，可以得到更為精確的補(bǔ)償。

3）根據(jù)仿真結(jié)果分析，五級(jí)海況為進(jìn)行速度匹配傳遞對(duì)準(zhǔn)的最高等級(jí)海況，實(shí)際對(duì)準(zhǔn)低一個(gè)海況等級(jí)下作為參考，建議實(shí)際對(duì)準(zhǔn)中將四級(jí)海況定為傳遞對(duì)準(zhǔn)最高等級(jí)海況。

傳遞對(duì)準(zhǔn)精度受慣性器件誤差、數(shù)據(jù)傳輸時(shí)延誤差、艦船的撓曲變形和桿臂效應(yīng)影響，本文考慮桿臂效應(yīng)影響，后續(xù)研究可以綜合考慮誤差情況。