馬慧子，劉翠翠,2，林 琳，王向榮

(1.山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590； 2.山東女子學(xué)院，山東 濟南 250300)

互聯(lián)網(wǎng)金融是資金供需雙方通過信息中介平臺直接進行交易，在金融中介參與度大幅降低的情況下實現(xiàn)投資人財產(chǎn)增益的理財管理通道，是支付、投資和信息中介服務(wù)的新型金融業(yè)務(wù)模式[1-2]。作為互聯(lián)網(wǎng)金融的重要組成部分，互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品主要包括互聯(lián)網(wǎng)貨幣基金、股權(quán)眾籌、P2P網(wǎng)絡(luò)借貸、比特幣等投資理財產(chǎn)品。與傳統(tǒng)銀行存款理財相比，互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品具有相對收益率高、去中心化程度高等特點?；ヂ?lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品在快速發(fā)展的同時，進一步提升了我國普惠金融服務(wù)效率，完善了我國金融體系結(jié)構(gòu)，在推動我國國內(nèi)大循環(huán)、國際國內(nèi)雙循環(huán)發(fā)展過程中發(fā)揮了積極作用。

以“余額寶”為代表的互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品充分發(fā)揮資源和技術(shù)優(yōu)勢帶動了民生金融的發(fā)展，同時也使市場風(fēng)險波動性更加復(fù)雜。Bengtsson[3]和張瑾等[4]的研究均表明，貨幣基金的流動性錯配會加劇流動性問題，進而增加市場系統(tǒng)性風(fēng)險。陳榮達等[5]指出，互聯(lián)網(wǎng)金融發(fā)展指數(shù)、利率期限結(jié)構(gòu)調(diào)整的債券市場收益率等也對互聯(lián)網(wǎng)金融理財產(chǎn)品信用價差存在顯著影響。董小君等[6]利用PVAR模型研究了互聯(lián)網(wǎng)金融市場中的各類風(fēng)險，發(fā)現(xiàn)信用風(fēng)險對金融深化程度低的地區(qū)影響較大，而流動性風(fēng)險對金融深化程度高的地區(qū)影響較大。Yang等[7]在對余額寶的研究中指出，流動性風(fēng)險是互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品的最大難題，金融機構(gòu)現(xiàn)金流不足將影響聲譽，但儲備的現(xiàn)金過多又可能錯失投資機會。

根據(jù)以上分析可以看出，互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品所面臨的風(fēng)險與傳統(tǒng)理財產(chǎn)品相比更具不確定性。傳統(tǒng)的可加概率或線性期望不能完全解釋這種風(fēng)險不確定問題，需要尋找更為有效的不確定風(fēng)險度量方法來度量互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品市場的風(fēng)險問題。非線性期望可以有效地擬合變量間的非線性關(guān)系，捕捉極端、不確定性風(fēng)險。本研究從非線性期望理論出發(fā)，以互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品為例，探索互聯(lián)網(wǎng)金融市場風(fēng)險的非線性度量分析。

1997年，Pardoux等[8-9]基于倒向隨機微分方程(backward stochastic differential equation，BSDE)引出了動態(tài)非線性數(shù)學(xué)期望理論g-期望概念，并證明g-期望是一種典型的非線性數(shù)學(xué)期望。此后，g-期望在金融研究中得到了進一步應(yīng)用。Gianin[10]使用g-期望來度量不確定風(fēng)險的問題，提出通過有條件的g-期望可獲得基于g的動態(tài)風(fēng)險度量。Jiang[11]探討了g-期望的凸性、次可加性及相關(guān)風(fēng)險度量。Chen等[12]在g-期望框架下討論了靜態(tài)風(fēng)險測度與動態(tài)風(fēng)險測度的關(guān)系。Hu等[13]在g-期望框架下研究了Fubini定理。馬慧子等[14]利用正倒向隨機微分方程研究了期權(quán)定價模型。紀榮林等[15-16]證明了g-期望的凸性、條件凸性，建立了倒向隨機微分方程生成元與相關(guān)動態(tài)凸風(fēng)險之間的對應(yīng)關(guān)系。

部分學(xué)者進一步探討了g-期望在股票、債券等金融市場風(fēng)險測度中的應(yīng)用。宮曉琳等[17]分析了非線性期望理論在風(fēng)險測度中的實際應(yīng)用及其不確定性因素，認為g-期望理論將對金融市場系統(tǒng)性風(fēng)險研究產(chǎn)生深遠影響。Jiang等[18]分析了g-期望下市場中無風(fēng)險債券和風(fēng)險股票在有限交易區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)效用。楊碧璇等[19]利用g-期望描述成本函數(shù)并討論了資產(chǎn)負債管理博弈問題。Chen等[20]探討了基于風(fēng)險的最優(yōu)投資和比例再保險問題，假設(shè)保險公司盈余過程和金融市場風(fēng)險資產(chǎn)過程是一般的跳躍擴散過程，并利用g-期望產(chǎn)生的凸風(fēng)險測度描述了投資和再保險的終端財富風(fēng)險，以風(fēng)險最小化為目標，利用隨機極大值原理對問題進行了求解。

盡管g-期望理論已經(jīng)被應(yīng)用于金融研究領(lǐng)域，但基于g-期望理論解決概率模型未知、非線性期望下的互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品風(fēng)險度量問題還需要進一步探討，互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品數(shù)據(jù)大、參數(shù)假設(shè)復(fù)雜等特征也增大了g-期望在理論研究和實踐活動中的應(yīng)用難度。在此背景下，本研究參照互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品數(shù)據(jù)分布特征和風(fēng)險特性，結(jié)合g-期望理論和在險價值(value at risk,VaR),構(gòu)造基于非線性期望理論的g-VaR風(fēng)險度量模型并借助數(shù)值算法進行實驗分析，以探索解決互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品風(fēng)險測度的新方法和新途徑。

1 倒向隨機微分方程與g-期望

1.1 倒向隨機微分方程

一般倒向隨機微分方程的微分形式可以表示為：

(1)

積分形式為：

(2)

通常g滿足的假設(shè)有：

A1) (Lipschitz條件)存在一個常數(shù)C≥0，使得?t,y1,y2,z1,z2有：

|g(t,y1,z1)-g(t,y2,z2)|≤C(|y1-y2|+|z1-z2|)；

A3)P-a.s.,?(t,y),g(t,y,0)=0；

A3′)P-a.s.,?t,g(t,0,0)=0；

A4)P-a.s.,?(y,z),t→g(t,y,z)是連續(xù)的。

1.2 g-期望

對函數(shù)g(y,z,t):R×Rd×[0,T]→R，考慮下列假設(shè)條件：

定義風(fēng)險度量ρ是從L2(Ω,FT,P)到R的映射?？紤]BSDE

(3)

其中X∈L(Ω,FT,P)，構(gòu)造風(fēng)險度量ρg：

L2(Ω,FT,P)→R，有ρg(y)=εg[-φ(y)]，

(4)

其中φ(y)為單調(diào)遞增凹函數(shù)。

(5)

2 基于g-VaR的風(fēng)險度量

在險價值(VaR)是指在一定的概率水平下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在一定持有期內(nèi)預(yù)期的最大可能損失值，見式(6)。

Prob(Δp≤VaR)=α，

(6)

其中，Δp為資產(chǎn)組合在持有期Δt內(nèi)的損失，α為給定的置信水平。

考慮到VaR忽略了發(fā)生巨大損失的小概率情況，將g-期望與VaR結(jié)合，構(gòu)造g-VaR風(fēng)險度量模型，用于衡量互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品市場變化所帶來的投資人預(yù)期收益與實際收益發(fā)生偏離的可能性。

以互聯(lián)網(wǎng)金融中最具代表性的互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品為例，在給定的置信水平下，某一互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品組合在未來特定時期內(nèi)，預(yù)期收益與實際收益可能發(fā)生的最大偏離即最大損失。定義表達式為：

g-VaR=inf{β∈R:εg[Ι(r-φ(y))+<β]≤α}。

(7)

設(shè)資產(chǎn)組合的初始價值為w0，w為該互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品組合的期末價值，期末的期望收益率為Y，在給定的置信水平下，期末資產(chǎn)組合的最小價值為w*=w(1+Y*)，其中Y*為相應(yīng)的最低收益率。則g-VaR可定義為相對均值的最大可能損失：

g-VaR=εg[w]-w*=εg[w0(1+Y)]-w0(1+Y*)=w0(εg[Y]-Y*)。

(8)

其中Y=r-xTy。

εg[r-xTy]可利用倒向隨機微分方程求解。由于倒向隨機微分方程可以看作金融市場中的一個定價機制，而起決定作用的是生成元g。因此，首先尋找特殊的生成元函數(shù)g，構(gòu)造新的倒向隨機微分方程。

假設(shè)互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品存在1種風(fēng)險非常低的資產(chǎn)(無風(fēng)險資產(chǎn))和a種風(fēng)險資產(chǎn)，其價格方程Pt,St分別滿足：

(9)

(10)

其中，r、μ、σ都是常數(shù)。

通常余額寶被認為是互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品中的“國庫券”，其“T+0”贖回制度以及巨大的資金規(guī)模保障了該理財產(chǎn)品收益的穩(wěn)定性，因此可被視為互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品中的無風(fēng)險資產(chǎn)。與余額寶等“寶寶類”貨幣基金相比，P2P理財、眾籌乃至虛擬貨幣投資等互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品具有較高投資風(fēng)險，可被視為風(fēng)險資產(chǎn)。

考慮自融資策略，設(shè)其價值過程為yt，yt=Pt+aSt(0≤t≤T)，則

dyt=dPt+adSt， 0≤t≤T。

(11)

(12)

(13)

(14)

則對應(yīng)的BSDE可表示為：

(15)

(16)

最終得到構(gòu)造的BSDE為：

(17)

該倒向隨機微分方程存在唯一解，解為：

(18)

由g-期望的定義知

(19)

代入式(18)得

(20)

則可得到g-VaR的表達式為：

(21)

3 基于g-VaR的數(shù)值分析

根據(jù)定義，g-VaR可以通過求解BSDE(式(15))來獲得，但在許多實際問題中通常無法得到BSDE精確的顯式表達式[16]，需要借助BSDE的數(shù)值方法求解式(15)。

首先，考慮一般形式的BSDE：

(22)

其中，t∈[0,T]。然后，引入時間區(qū)間[0,T]的一個一致剖分T，

T：0=t0

這樣，可將BSDE(式(22))限制在每一個小區(qū)間上進行研究，即

(23)

對式(23)中的倒向方程取條件期望Etn[·]=E[·|Ftn]，可得到第一個參考方程：

(24)

但觀察式(24)發(fā)現(xiàn)，ytn,ztn都是需要求解的未知量，還需要第二個參考方程。為此，先在式(23)中倒向方程的等號兩側(cè)同時乘以布朗運動的增量ΔBtn+1=Btn+1-Btn，然后在等式兩側(cè)同時取條件期望Εtn[·]，可得

(25)

以式(24)和式(25)為基礎(chǔ)，對參考方程中的積分進行數(shù)值逼近，可得到各類求解BSDE(式(23))的數(shù)值方法。

3.1 Euler方法

考慮到式(24)和式(25)中出現(xiàn)的積分都是確定性積分，被積函數(shù)也是確定性的，故可以使用Euler方法對其進行估計：

(26)

其中，Ry、Rz是截斷誤差，以此為基礎(chǔ)提出下面求解BSDE的Euler格式。

給定隨機變量X0、YN和ZN，通過求解以下方程組得(Yt,Zt)在tn處的數(shù)值解(Yn,Zn)，其中n=N-1,…,1,0。

Yn=Etn[Yn+1]+Δtng(tn,Xn,Yn,Zn)，ΔtnZn=Etn[Yn+1ΔBn+1]。

在每個小區(qū)間[tn,tn+1]上Euler格式對應(yīng)數(shù)值算法1。其中，E(tn,Xn)=(Etn[Yn+1],Etn[Yn+1ΔBtn+1])。

算法1 求解BSDE的Euler格式 Input:tn,Xn,EtnYn+1 ,EtnYn+1ΔBtn+1 ,ε Output: Yn,Zn 1) function ALG. BSDE. Eu(tn,Xn,E(tn,Xn)) 2) Zn←(1/Δtn)EtnYn+1ΔBn+1 3) l←1 4) Yn,l←EtnYn+1 5) Yn,l+1←EtnYn+1 +Δtng(tn,Xn,Yn,l,Zn) 6) whileYn,l+1-Yn,l>ε do 7) l←l+1 8) Yn,l+1←EtnYn+1 +Δtng(tn,Xn,Yn,l,Zn) 9) end while 10) Yn,l←Yn,l+1 11) return (Yn,Zn) 12) end function

3.2 Crank-Nicolson方法

使用矩形公式對確定性的積分進行估計，可以得到Crank-Nicolson格式。

算法2 求解BSDE的Crank-Nicolson方法 Input: tn,Xn,EtnYn+1 ,EtnZn+1 ,Etngn+1 ,EtnYn+1ΔBtn+1 ,Etngn+1ΔBtn+1 ,ε Output: Yn,Zn 1) function ALG. BSDE. CN(tn,Xn,E(tn,Xn)) 2) Zn←(2/Δtn)EtnYn+1ΔBtn+1 +Etngn+1ΔBtn+1 -EtnZn+1 3) l←1 4) Yn,l←EtnYn+1 5) Yn,l+1←EtnYn+1 +12Δtng(tn,Xn,Yn,l,Zn)+12ΔtnEtngn+1 6) while Yn,l+1-Yn,l>ε do 7) l←l+1 8) Yn,l+1←EtnYn+1 +12Δtng(tn,Xn,Yn,l,Zn)+12ΔtnEtngn+1 9) end while 10) Yn,l←Yn,l+1 11) return (Yn,Zn) 12) end function

3.3 預(yù)估校正方法

Euler方法和Crank-Nicolson方法在數(shù)值求解BSDE的過程中都需要求解非線性方程。無論使用哪種迭代方法，整個運算過程中都占用了大部分的運算時間，為提高運算效率，提出求解BSDE的預(yù)估校正方法。

首先，引入一個新的隨機過程

(27)

(28)

將式(28)作為新的參考方程，根據(jù)數(shù)值積分和預(yù)估校正的思想，給出求解BSDE的預(yù)估校正方法如下。

給定隨機變量X0,YN,ZN，對n=N-1,…,1,0，可以通過下列方程組求解(Yn,Zn)：

算法3 求解BSDE的預(yù)估校正方法 Input: tn,Xn,EtnYn+1 ,Etngn+1 ,EtnYn+1ΔBtn+1 ,Etngn+1ΔBtn+1 Output: Yn,Zn 1) function ALG. BSDE. PC(tn,Xn,E(tn,Xn)) 2) Zn←2Δtn+1EtnYn+1ΔBtn+1 +2Etngn+1ΔBtn+1 3) Yn←EtnYn+1 +ΔtnEtngn+1 4) Yn←EtnYn+1 +12Δtng(tn,Xn,Yn,Zn)+12ΔtnEtngn+1 5) return (Yn,Zn) 6) end function

3.4 數(shù)值實驗

使用上述3種數(shù)值方法，對計算g-VaR的BSDE(式(17))進行數(shù)值求解。

(28)

然后，分別取N=16、32、64、128和256，并分別使用Euler方法、Crank-Nicolson方法和預(yù)估校正方法對BSDE(式(29))進行求解，結(jié)果如表1所示。

表1 數(shù)值實驗結(jié)果

4 結(jié)論

建立基于g-期望的互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品風(fēng)險度量模型，給出g-VaR的一般公式，并利用求解BSDE的數(shù)值方法進行數(shù)值計算，利用Euler格式、Crank-Nicolson格式以及預(yù)估校正方法進行了一般算法和實驗分析，得出以下結(jié)論。

1)g-期望理論與VaR相結(jié)合可更好地解決互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品領(lǐng)域不確定性風(fēng)險測度。利用一般g-期望探討相容風(fēng)險度量的有關(guān)問題，并結(jié)合VaR提出一種新的風(fēng)險度量工具g-VaR模型，進而對特殊的生成元g給出g-VaR的數(shù)學(xué)定義，構(gòu)造基于g-VaR的風(fēng)險度量模型，在度量互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品的風(fēng)險不確定性方面更具優(yōu)勢，能夠更為準確地度量互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品所面臨的風(fēng)險。

2) 數(shù)值分析結(jié)果顯示了g-VaR在衡量不確定性風(fēng)險中的有效性，且預(yù)估校正方法結(jié)果較優(yōu)?？紤]到直接將實際數(shù)據(jù)代入理論模型中仍有較高難度，分別采用Euler方法、Crank-Nicolson方法以及預(yù)估校正方法等數(shù)值分析方法模擬g-VaR模型的應(yīng)用效果。模擬過程顯示：Euler方法和Crank-Nicolson方法在數(shù)值求解BSDE的過程中，都需要求解非線性方程且運算時間較長。而預(yù)估校正方法相對而言提升了整體運算效率，且計算精度的穩(wěn)定性較好。

本研究僅從理論方面探討了g-VaR模型在互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品中的應(yīng)用，并用數(shù)值模擬的方法初步探索了該模型的應(yīng)用情況。未來需利用互聯(lián)網(wǎng)理財產(chǎn)品的實際數(shù)據(jù)來驗證該理論模型的可行性。