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        2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第18題解析

        2022-04-16 17:28:04江蘇省如東縣掘港高級中學(xué)張必榮
        中學(xué)數(shù)學(xué) 2022年19期
        關(guān)鍵詞:題設(shè)關(guān)系式正弦

        ?江蘇省如東縣掘港高級中學(xué) 張必榮

        解三角形問題經(jīng)常與平面幾何、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識交匯與融合,充分落實新課標(biāo)中“在知識交匯點處命題”的指導(dǎo)思想,是高考數(shù)學(xué)命題中的一個基本考點,倍受各方關(guān)注.

        1 真題呈現(xiàn)

        2 真題剖析

        本題通過兩小題的合理設(shè)置,以題設(shè)中的三角函數(shù)關(guān)系式為背景,通過三角恒等變換公式的應(yīng)用與轉(zhuǎn)化來求解對應(yīng)的角的大?。徊⑼ㄟ^角之間的關(guān)系構(gòu)建,以及正弦定理或平面幾何知識的應(yīng)用,化邊為角,利用基本不等式來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值等.

        借助問題的設(shè)置,很好地考查邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).破解問題的關(guān)鍵在于善于審題,妙用定理(三角形的內(nèi)角和定理、正弦定理等),借助公式(誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式等),采用有效的策略,合理化歸與轉(zhuǎn)化,優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

        3 真題破解

        解法1:倍角公式法.

        點評:根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式,利用二倍角公式加以展開,通過兩角和的余弦公式進(jìn)行變形與轉(zhuǎn)化,結(jié)合條件中角的信息求解即可;利用角之間的關(guān)系,綜合正弦定理化邊為角,結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化,利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.二倍角公式是問題破解的關(guān)鍵,同時綜合誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式等.

        解法2:函數(shù)單調(diào)性法.

        (1)由題意得

        點評:根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式,利用誘導(dǎo)公式加以同構(gòu)化處理,利用求導(dǎo)法確定對應(yīng)三角函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而構(gòu)建角之間的關(guān)系,并利用條件中角的信息來求解;利用角之間的關(guān)系,綜合正弦定理化邊為角,結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化,利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值.三角函數(shù)關(guān)系式的同構(gòu)并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的判定,合理構(gòu)建角之間的關(guān)系,是破解問題的關(guān)鍵.

        解法3:半角公式法.

        點評:根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式,利用半角公式、兩角差的正切公式等加以變形,結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)建角之間的關(guān)系,并利用條件中角的信息來求解;而求解三角形的邊所對應(yīng)的關(guān)系式的最值問題,同樣可以利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題.半角公式的巧妙應(yīng)用與轉(zhuǎn)化,為角之間的關(guān)系構(gòu)建提供更加廣闊的思路.

        解法4:平面幾何法.

        圖1

        點評:根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)關(guān)系式,利用三角形的內(nèi)角和公式加以轉(zhuǎn)化,通過兩角差的正弦與余弦公式以及二倍角公式加以展開,進(jìn)而化簡三角關(guān)系式,求得對應(yīng)的角;確定角B的大小以及對應(yīng)角之間的關(guān)系后,要求解三角形的邊所對應(yīng)的關(guān)系式的最值,可以借助平面幾何圖形,引入?yún)?shù),結(jié)合三角函數(shù)的定義、勾股定理等,結(jié)合幾何直觀轉(zhuǎn)化,通過關(guān)系式的變形與參數(shù)的構(gòu)建,借助基本不等式來確定最值.利用平面幾何法分析與解決一些解三角形的相關(guān)問題,更加直觀形象.

        4 教學(xué)啟示

        4.1 思維視角歸納

        破解解三角形問題的兩種常見思維視角:

        ①代數(shù)角度.根據(jù)題設(shè)條件,利用正弦定理或余弦定理等,實現(xiàn)三角形中邊與角之間的巧妙轉(zhuǎn)化,進(jìn)而構(gòu)建關(guān)于三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系進(jìn)行分析與求解;利用平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,通過相應(yīng)的坐標(biāo)表示來尋找三角形的角或者邊等元素之間的關(guān)系來應(yīng)用.代數(shù)角度中,經(jīng)常還要綜合三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何等相關(guān)知識來分析與處理.

        ②幾何角度.根據(jù)題設(shè)條件,作出相應(yīng)的平面幾何圖形,合理尋找平面幾何圖形中蘊(yùn)藏的邊或者角等元素之間的幾何關(guān)系,通過直角三角形以及平面解析幾何知識等來分析與求解.

        4.2 思維能力培養(yǎng)

        數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能只注重“刷題”,做題要注重質(zhì)量,少而精.通過做題掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識,提升數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)思維的多角度,避免思維定式,做到舉一反三,是我們“促雙減”過程中必須要思考的問題.

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