蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 康 聰

1 引言

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“教學(xué)生思考”意味著數(shù)學(xué)教師不只是傳授知識(shí)，還應(yīng)該努力發(fā)展學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力.數(shù)學(xué)教育從關(guān)注“基礎(chǔ)知識(shí)”“基本技能”和“基本思想方法”的“三基”，轉(zhuǎn)向了“四基”，開始重視學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，這無(wú)疑對(duì)教師的課堂教學(xué)水平提出更高的要求.

提高學(xué)生的核心素養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程.在教學(xué)中，教師需要精心設(shè)計(jì)課程，研討具有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題供學(xué)生參與互動(dòng).本文采用蘇教版教材，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)與改進(jìn)提一點(diǎn)筆者的想法，以教學(xué)片斷呈現(xiàn)，供讀者參考.

2 “銜”——整合知識(shí)脈絡(luò)，順應(yīng)思維發(fā)展

教學(xué)片段1：線段、射線、直線.

數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是連續(xù)的，教師教學(xué)要注意學(xué)習(xí)內(nèi)容的銜接，不能在初中階段故步自封.線段和角是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，是組成復(fù)雜圖形的基本元素.學(xué)生在小學(xué)時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)線段、射線、直線的相關(guān)內(nèi)容，以舊知為立足點(diǎn)，抓住知識(shí)的來(lái)龍去脈，本節(jié)以蘇教版七年級(jí)上冊(cè)第6章“平面圖形的認(rèn)識(shí)(一)”的第一節(jié)“線段、射線、直線”為例.

師：相信同學(xué)們對(duì)這個(gè)課題并不陌生，在小學(xué)里，你學(xué)習(xí)過(guò)相關(guān)的哪些內(nèi)容呢？

生1：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，有固定長(zhǎng)度，可以測(cè)量；射線有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一邊無(wú)限延長(zhǎng)；直線沒(méi)有端點(diǎn)，可以向兩邊無(wú)限延長(zhǎng).

師：(在黑板上板書)延長(zhǎng)與延伸.直線向兩邊具有無(wú)限延長(zhǎng)的特點(diǎn)，直線無(wú)限延長(zhǎng)是直線的特性，稱之為直線的無(wú)限延伸性.也就是說(shuō)，直線能夠向兩邊無(wú)限延伸，射線向一邊無(wú)限延伸.

剛才同學(xué)們講，線段有兩個(gè)端點(diǎn)，射線有一個(gè)端點(diǎn)，直線沒(méi)有端點(diǎn).(圖1展示小學(xué)教材對(duì)應(yīng)的內(nèi)容.)

好，同學(xué)們說(shuō)線段是可以測(cè)量的，說(shuō)明線段有什么性質(zhì)？

生2：可度量性.

生3：線段具有度量性，直線和射線沒(méi)有可度量性.

師：很好！(教師展示小學(xué)教材對(duì)應(yīng)內(nèi)容，如圖2.)

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)明，線段、射線、直線有什么聯(lián)系呢？

生4：把線段AB延著AB方向無(wú)限延長(zhǎng)，得到射線AB；同樣地，延長(zhǎng)線段BA，得到射線BA；線段AB兩端都延長(zhǎng)，得到直線AB.(圖3展示小學(xué)教材對(duì)應(yīng)的內(nèi)容.)

師：追本溯源，這是我們小學(xué)四年級(jí)的內(nèi)容(PPT展示圖4).

圖4

教學(xué)說(shuō)明：通過(guò)對(duì)小學(xué)中零散知識(shí)點(diǎn)的整合規(guī)范，師生互動(dòng)，把“線”的區(qū)別與聯(lián)系的內(nèi)容整理出來(lái)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)活動(dòng)有效性的提升.在“問(wèn)題”的提出中，教師直接進(jìn)入課程重點(diǎn)，本章是蘇教版七年級(jí)上冊(cè)“基本平面圖形”的起始課，是幾何入門的第一節(jié)課，同時(shí)讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)幾何內(nèi)容學(xué)習(xí)要經(jīng)歷的“定義—表示—大小—線段和差”的抽象過(guò)程，體現(xiàn)整個(gè)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的完整性.

3 “探”——從式到形，拓展思維的局限

教學(xué)片段2：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1).

在整個(gè)初高中學(xué)習(xí)系統(tǒng)中，解析幾何始終是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).“以形看數(shù)”和“以數(shù)解形”等數(shù)與形的結(jié)合思想，需要教師教學(xué)設(shè)置層層遞進(jìn)的教學(xué)難度，也是教學(xué)目標(biāo)中基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的重要任務(wù).下面以八年級(jí)下冊(cè)第11章第二節(jié)“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)”的教學(xué)片段為例.

生1：圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符號(hào)相同.

師追問(wèn)：說(shuō)說(shuō)你是怎樣分析的呢？

生2：x≠0，因?yàn)榉帜覆荒転?.

師：如果x，y不能取到0，說(shuō)明函數(shù)圖象會(huì)有什么特點(diǎn)呢？

生3：x≠0，圖象與y軸沒(méi)有交點(diǎn)；同樣地，y≠0，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).如果都取不到0，說(shuō)明圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn).

生4：增減性.y隨x的增大而減小.

具體地說(shuō)，當(dāng)x>0時(shí)，x越大，y越?。划?dāng)x<0時(shí)，x越大，y越小.

師追問(wèn)：你是怎樣抽象得到的呢？現(xiàn)在我們要具體化，例如當(dāng)x>0時(shí)，舉例子說(shuō)明.

教師引導(dǎo)(操作畫圖)：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.

師：如果不討論x的范圍，從整體看，可不可以這樣描述呢？

師：非常好，請(qǐng)同學(xué)總結(jié)下增減性的生成過(guò)程.

生6：要具體強(qiáng)調(diào)在哪個(gè)象限，當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小.

師：很好，增減性一定要強(qiáng)調(diào)在哪個(gè)象限！

教學(xué)說(shuō)明：教師引導(dǎo)學(xué)習(xí)函數(shù)的一般路徑，利用函數(shù)表達(dá)式分析兩個(gè)變量之間的符號(hào)關(guān)系，從“數(shù)”想“形”，探究出函數(shù)圖象的位置，分布在哪一個(gè)象限，進(jìn)而在不同象限內(nèi)，得到函數(shù)圖象的性質(zhì).在整節(jié)課中，學(xué)生自主探究，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)函數(shù)圖象的結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，包括取值情況與圖象分布；教師適當(dāng)引導(dǎo)，從“模糊”走向“精確”，帶領(lǐng)學(xué)生初步感知圖象的分布區(qū)域和走向，利于學(xué)生思維的培養(yǎng)和能力的提升，從而確定函數(shù)本身的性質(zhì).

4 “歸”——鞏固知識(shí)元之間的聯(lián)系

教學(xué)片段3：直線與圓的位置關(guān)系(1).

教學(xué)是循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師要教的不僅僅是知識(shí)，更重要的是要教會(huì)學(xué)生如何思考以及解決問(wèn)題的能力.在本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，用圓心到定點(diǎn)的距離d與半徑r的大小來(lái)定義，而圓心到點(diǎn)的距離d是點(diǎn)與點(diǎn)之間的最近距離，即“兩點(diǎn)之間線段最短”.由此，直線與圓的位置關(guān)系可以怎樣判定呢，我們?nèi)绾卫脛潥w的思想解決新的難題？[本節(jié)是九年級(jí)上冊(cè)第2章第5節(jié)“直線與圓的位置關(guān)系(1)”].

師：請(qǐng)同學(xué)們用圓規(guī)在操作紙上畫出一個(gè)圓，再將一把直尺在紙上平移.如果把直尺的邊緣看作一條直線，那么在直尺平移的過(guò)程中，請(qǐng)把直線與圓的位置關(guān)系畫出來(lái).

(教師通過(guò)學(xué)生畫出的圖形，展示出以下三種情況.)

現(xiàn)在，如何來(lái)描述直線與圓的位置關(guān)系呢？

生1：通過(guò)直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)描述，圖5沒(méi)有公共點(diǎn)，圖6有一個(gè)公共點(diǎn)，圖7有兩個(gè)公共點(diǎn).

圖5

圖6

圖7

師：很好，觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)，圖5中直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，也就是直線上所有的點(diǎn)都在圓外；圖6是直線上有一個(gè)點(diǎn)在圓上，其他點(diǎn)在圓外；圖7是直線上有兩個(gè)點(diǎn)在圓上，其余的點(diǎn)在圓外.我們按照直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，來(lái)定義直線與圓的位置關(guān)系：

直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交；(如圖7)

直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切；(如圖6)

直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離.(如圖5)

我們知道，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，可以用d與r的大小關(guān)系進(jìn)行衡量，那么，同學(xué)們是否可以用類比的思想，在直線與圓的位置關(guān)系中，也用一組對(duì)應(yīng)的量來(lái)進(jìn)行比較呢？

生2：可以找到直線上的點(diǎn)到圓心的距離與半徑r進(jìn)行比較.

師：好的，請(qǐng)舉一個(gè)實(shí)例.

生2：例如圖8，直線上的所有點(diǎn)與圓心的距離都大于r.

圖8

追問(wèn)：直線上有多少個(gè)點(diǎn)？

生(齊說(shuō))：無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn).

師：既然有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，你是否能找出一個(gè)有代表性的點(diǎn)刻畫與圓心距離大小的情況.關(guān)鍵是要找到什么呢？

生3：要找到圓心到直線的最近距離.

師追問(wèn)：何時(shí)最短呢？

生4：垂線段最短.也就是，直線外一點(diǎn)到直線的最近距離，是過(guò)圓心向直線作垂線段(如圖8).

師：如圖8，也就是與哪個(gè)量之間的比較？

生5：也就是圓心O到直線的垂線段OD與r的大小比較.

師：這樣類比，我們找到了直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)對(duì)，圓心到直線的距離d與r的大小比較.請(qǐng)同學(xué)們依次說(shuō)出相離、相切、相交三種位置關(guān)系中，d與r的大小情況.

生6：相離?d>r；相切?d=r；相交?d

教學(xué)說(shuō)明：這一環(huán)節(jié)具有思維的挑戰(zhàn)性，難點(diǎn)是引出圓心到直線的距離d.直接教學(xué)生作出圖形并不難，而學(xué)生對(duì)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系認(rèn)識(shí)并不深刻.點(diǎn)與圓位置關(guān)系的拓展，使得學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)越來(lái)越深刻，課與課、節(jié)與節(jié)的連貫性，讓學(xué)生進(jìn)入深度思考，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

5 結(jié)束語(yǔ)

深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)是希望學(xué)生在基本數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，自主挖掘相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，深度理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終由“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”.教師在課程設(shè)計(jì)中，要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)和思維，重視對(duì)數(shù)學(xué)必備知識(shí)與關(guān)鍵能力的深度理解，立足教材，活用教材，多方位多角度思考，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，促進(jìn)知識(shí)的融合，給學(xué)生實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)創(chuàng)造良好的條件.在教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析問(wèn)題，并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，是我們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿成功的最主要的標(biāo)志.