趙 康

（中鐵第一勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，陜西 西安 710043）

光學(xué)天線(xiàn)又稱(chēng)望遠(yuǎn)系統(tǒng)，一般由主副兩部分光學(xué)鏡片構(gòu)成，通過(guò)擴(kuò)大光束腰半徑來(lái)實(shí)現(xiàn)高斯光準(zhǔn)直整形，在空間光通信準(zhǔn)直上具有廣闊的應(yīng)用前景。學(xué)者們基于光學(xué)天線(xiàn)理論進(jìn)行了一定程度的研究。王紅亞等[1]設(shè)計(jì)的收發(fā)分離伽式光學(xué)天線(xiàn)實(shí)現(xiàn)1 mrad的發(fā)散角壓縮。江萍等[2]將光學(xué)天線(xiàn)在收發(fā)合一的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)成五倍擴(kuò)束，發(fā)散角達(dá)50μrad。針對(duì)徑向輻射光源，穆志豪[3]用卡式天線(xiàn)準(zhǔn)直，并探究弧矢面發(fā)散角和光源半徑的函數(shù)關(guān)系。

目前的研究多是針對(duì)于光參數(shù)積較小即波長(zhǎng)較短的準(zhǔn)平行光束進(jìn)行mrad量級(jí)壓縮，往往為追求小發(fā)散角而無(wú)限擴(kuò)大出射端面光腰尺寸，忽視出射端面過(guò)大造成的接收端面積大幅增加的缺陷[4]。本文基于光參數(shù)積不變理論和幾何光學(xué)知識(shí)構(gòu)建出射端和接收端之間的函數(shù)模型，求得放大倍數(shù)的最優(yōu)解，從而解決了2μm波段在限定光程內(nèi)接收端面積過(guò)大的問(wèn)題。

1 光發(fā)散角概念及光束整形原理

1.1 高斯光束發(fā)散角

自由空間中高斯光束沿著z軸傳播，其電場(chǎng)振幅表達(dá)式：

其中：exp[-r2/ω2（z）]表示光束遵照高斯函數(shù)形式，光場(chǎng)幅度向外降低。ω（z）為光束橫截面模型，即光腰半徑。當(dāng)z=0時(shí)，ω（z）降至ω0，此稱(chēng)作衍射極限下高斯光的束腰半徑。光腰半徑隨著z向兩側(cè)延展而擴(kuò)大，在z軸共面方向上，ω（z）呈雙曲線(xiàn)形狀[5]，如圖1所示。分布ω（z）形式滿(mǎn)足：

圖1 高斯光束束腰與半發(fā)散角示意圖

雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)與光束外延傳播方向的夾角為高斯光半發(fā)散角θ/2，其正切值：

任一點(diǎn)處光腰半徑ω（z）滿(mǎn)足：

當(dāng)z=∞時(shí)，此時(shí)觀(guān)測(cè)點(diǎn)遠(yuǎn)大于瑞利距離，屬于遠(yuǎn)場(chǎng)，發(fā)散角θ=λ/πω0。

可以看到，在遠(yuǎn)場(chǎng)基模高斯光發(fā)散角θ與束腰半徑ω0近似滿(mǎn)足反比關(guān)系。常見(jiàn)的光束整形大多基于卡塞格倫光學(xué)天線(xiàn)擴(kuò)束系統(tǒng)對(duì)束腰大幅增大，繼而轉(zhuǎn)化為對(duì)發(fā)散角的壓縮。

1.2 光參數(shù)積

光學(xué)中將遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角和束腰尺寸乘積稱(chēng)作光參數(shù)積（Beam Parameter Product，簡(jiǎn)稱(chēng)BPP）。由基模高斯光學(xué)的性質(zhì)可知，BPP為定值[6]，即：

其中：ω0、θ0分別表示經(jīng)光學(xué)整形前的束腰半徑和光半發(fā)散角；ωf、θf(wàn)分別表示通過(guò)光學(xué)整形后的束腰半徑和光半發(fā)散角。2μm高斯光因其獨(dú)特的波長(zhǎng)，致使光參數(shù)積較常見(jiàn)波段更大，所以整形難度更大，要求更高。

2 卡式光學(xué)天線(xiàn)小型化設(shè)計(jì)

2.1 卡式光學(xué)天線(xiàn)存在問(wèn)題分析

過(guò)往的卡式天線(xiàn)通常為獲得極小發(fā)散角壓縮，從而大幅增加擴(kuò)束倍數(shù)，使得發(fā)射端主反射鏡上的出射光的光腰半徑大幅增大。這類(lèi)整形方式較適用于超長(zhǎng)距離空間光通信，當(dāng)光傳輸路徑限定在數(shù)公里內(nèi)，缺陷主要體現(xiàn)在：

（1）發(fā)射端主鏡孔徑過(guò)于臃腫，實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)不便且研制成本高昂。較大的孔徑間接增大了主鏡的氧化、磨損接觸面，致使系統(tǒng)性能因外力細(xì)微變化而敏感度受影響。

（2）中短距離光程內(nèi)，由于收發(fā)兩端光腰孔徑為厘米級(jí)，因此忽略光束孔徑將其視作點(diǎn)光源的建模思路已不再適用。經(jīng)數(shù)公里光程后的接收端孔徑，主要基于發(fā)射端的直接垂直投影，此外存在由發(fā)散角引起的擴(kuò)張量。因此發(fā)射端主鏡出射的光腰尺寸越大，則直接導(dǎo)致接收端光腰尺寸更大?；诘诙c(diǎn)開(kāi)展探究。

情境一：按比例增大卡式天線(xiàn)主鏡側(cè)的出射光束腰半徑，繼而其在接收端的垂直投影光腰半徑也呈比例增大，此時(shí)發(fā)散角呈相應(yīng)比例縮小。遠(yuǎn)場(chǎng)傳播的高斯光模型簡(jiǎn)化如圖2所示。根據(jù)幾何光學(xué)分析可知接收端垂直投影兩側(cè)的邊際張量與發(fā)散角正弦值正相關(guān)，即發(fā)散角正弦值減小其相應(yīng)減小。此時(shí)發(fā)射端光腰尺寸成為影響接收端光腰孔徑的主要因素。

情境二：當(dāng)主鏡側(cè)出射端光腰半徑減小時(shí)，其在接收端的垂直投影尺寸會(huì)同時(shí)變小。由于光參數(shù)積不變，此時(shí)發(fā)散角會(huì)迅速呈反比擴(kuò)大，在遠(yuǎn)場(chǎng)由發(fā)散角帶來(lái)的光腰孔徑額外擴(kuò)張量會(huì)隨之大幅增加。此時(shí)，接收端光斑孔徑主要決定于發(fā)散角的增大所帶來(lái)的光斑邊際擴(kuò)張量。

大孔徑發(fā)射端的卡式天線(xiàn)顯然屬于第一類(lèi)情況，其主要基于利用極小發(fā)散角產(chǎn)生的相應(yīng)小的光腰邊際擴(kuò)展量，來(lái)制約接收端光腰孔徑，其犧牲了對(duì)初始的出射光腰孔徑的控制[7]。這種思路適用于長(zhǎng)距離傳輸，但對(duì)于限定光程如2 km內(nèi)的空間光通信，盲目擴(kuò)張發(fā)射端孔徑顯然在很大程度上會(huì)造成接收端光斑過(guò)大。因此，對(duì)于限定光程的光傳輸來(lái)說(shuō)，如何在出射光腰孔徑和發(fā)散角之間尋找平衡，使得2 km處接收光斑孔徑最小，是本論文著力解決的問(wèn)題。

2.2 卡式光學(xué)天線(xiàn)小型化建模

光學(xué)天線(xiàn)出射端的孔徑主要由光腰放大倍數(shù)決定，本論文基于發(fā)射端放大倍數(shù)N和接收端光腰孔徑D構(gòu)建函數(shù)模型。發(fā)射端主鏡的光腰孔徑由入射到次鏡光腰尺寸和放大倍數(shù)直接決定，而入射到次鏡上的腰斑直徑由初步準(zhǔn)直效果直接決定[8]。2 048 nm波長(zhǎng)的光束經(jīng)非球面透鏡（折射率n=1.516 8，后表面曲率半徑r=-13.2，焦距f=25.545）一次準(zhǔn)直后，半發(fā)散角為0.014°，光腰截面直徑為3.2 mm。光束照射至次鏡會(huì)反射至主鏡產(chǎn)生光束發(fā)散，光腰直徑擴(kuò)N倍，此時(shí)發(fā)射端主鏡處的光腰孔徑即為3.2N mm。高斯光沿z軸方向延伸，由于發(fā)散角的存在其孔徑逐漸擴(kuò)張。根據(jù)束腰定義，其位于鏡片焦點(diǎn)處，故束腰處光腰直徑為3.2N+δ。而光學(xué)天線(xiàn)焦距f較之于傳輸光程2 km來(lái)說(shuō)極小，故δ可忽略不計(jì)，近似認(rèn)為經(jīng)過(guò)擴(kuò)束的高斯光束腰位于主鏡端面。此時(shí)半發(fā)散角被壓縮N倍至0.014°/N。

由瑞利判據(jù)，高斯光在遠(yuǎn)場(chǎng)傳輸時(shí)，其邊際光線(xiàn)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€(xiàn)。根據(jù)幾何光學(xué)投影定理和正弦定理構(gòu)建方程，在2 km處的接收端，除光束垂直投影外，由0.014°/N半發(fā)散角引發(fā)的光斑邊際擴(kuò)展量滿(mǎn)足關(guān)系：

其中：d為接收端額外擴(kuò)張產(chǎn)生的光腰孔徑。則兩側(cè)光腰尺寸擴(kuò)張量：

則接收端光腰的總直徑：

借助MATLAB繪制N與D的超越函數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)，如圖3所示。

圖3 主鏡放大倍數(shù)與接收端光腰直徑的關(guān)系

圖3橫坐標(biāo)出射端主鏡放大倍數(shù)N，縱坐標(biāo)為接收端光腰直徑ω?？梢钥闯觯吆瘮?shù)關(guān)系曲線(xiàn)近似為中部凹陷的倒U形曲線(xiàn)。當(dāng)N取17時(shí)，接收端光腰直徑取得極小值。當(dāng)N小于15，特別是小于10時(shí)，接收光腰孔徑D會(huì)隨著放大倍數(shù)N的降低而迅速增大。此時(shí)為討論的第二種情況，即發(fā)射端光腰尺寸較小，其接收投影也減小。發(fā)散角的迅速增大，成為制約接收端光腰孔徑的直接因素。當(dāng)N大于17時(shí)，尤其是大于40時(shí)，其接收光腰孔徑D隨著放大倍數(shù)N的增大而迅速增大，此時(shí)代表第一種情況，即放大倍數(shù)過(guò)大，發(fā)散角影響的邊際擴(kuò)張量極小，但出射光腰孔徑過(guò)大，其垂直投影成為制約光腰孔徑的直接因素。綜上，當(dāng)放大倍數(shù)N=17時(shí)，接收端光斑直徑取最小值，約為108 mm。放大倍數(shù)取15～25時(shí)，光斑半徑誤差在10 mm之內(nèi)，屬于合理接收范圍。

為方便計(jì)算，坐標(biāo)原點(diǎn)處放置次鏡的頂點(diǎn)，其YOZ平面上投影的曲線(xiàn)方程：

該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（p2/2，0），p2/2表焦距。次鏡頂點(diǎn)處曲率半徑R=p2。將次鏡焦距設(shè)為10 mm，則曲率半徑為20 mm。根據(jù)建模得出的最佳接收為主鏡較之于次鏡17倍放大，則主鏡曲率半徑為340 mm，焦距為170 mm。根據(jù)卡塞格倫天線(xiàn)原則，主次鏡共焦點(diǎn)放置可實(shí)現(xiàn)光擴(kuò)束，此時(shí)二者間距為150 mm。初始光源經(jīng)非球面透鏡初步準(zhǔn)直后的光腰直徑為3.2 mm，設(shè)置主鏡中開(kāi)圓孔直徑為4 mm，以確保微小誤差下光束仍可完全通過(guò)。

3 仿真驗(yàn)證

光學(xué)軟件ZEMAX中寫(xiě)入優(yōu)化得到的參數(shù)，生成初步準(zhǔn)直和二次卡式天線(xiàn)準(zhǔn)直模擬圖，如圖4所示。根據(jù)拋物面型的幾何光學(xué)原理，將主鏡和次鏡的非球面系數(shù)conic設(shè)為-1。調(diào)節(jié)操作數(shù)TRAC對(duì)模型優(yōu)化。

圖4 卡塞格倫光學(xué)天線(xiàn)仿真圖

在2 km處，接收端光斑圖像和光腰截面半徑如圖5和圖6所示。

圖5 17倍擴(kuò)束下2 km處光斑圖樣

圖6 17倍擴(kuò)束下2 km處光腰半徑

圖5的接收光斑圖像可以看出其能量分布中心密度高，四周密度低，仍滿(mǎn)足高斯型分布。說(shuō)明高斯光經(jīng)過(guò)光學(xué)天線(xiàn)準(zhǔn)直后其場(chǎng)強(qiáng)分布特性保持不變。圖6橫坐標(biāo)表示光腰半徑，縱坐標(biāo)表示位置空間輻射照度。即光腰半徑1.6 mm的高斯光束經(jīng)過(guò)17倍擴(kuò)束，在限定光程傳輸后，接收端光腰半徑為52 mm，與仿真基本一致。

如圖7所示，橫坐標(biāo)表示半發(fā)散角為0.000 82°，合14.35μrad。縱坐標(biāo)表示角度空間輻射照度?？芍?，當(dāng)放大倍數(shù)取17時(shí)，根據(jù)光參數(shù)積不變?cè)?，?zhǔn)平行光經(jīng)過(guò)天線(xiàn)二次準(zhǔn)直，其發(fā)散角相應(yīng)變?yōu)樵瓉?lái)的1/17。實(shí)現(xiàn)了由mrad向μrad級(jí)的轉(zhuǎn)化。

圖7 17倍擴(kuò)束下2 km處光發(fā)散角

4 結(jié)束語(yǔ)

過(guò)往卡式光學(xué)天線(xiàn)為了單純追求發(fā)散角極小從而無(wú)限擴(kuò)張發(fā)射端面積，這會(huì)間接造成接收端垂直投影過(guò)大，從而影響接收端光斑的利用率。本文基于光參數(shù)積不變?cè)?，結(jié)合輸入輸出光斑幾何關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，并通過(guò)仿真驗(yàn)證，從根本上尋找出了限定距離處光斑接收的最佳放大倍數(shù)，從而對(duì)發(fā)射端面進(jìn)行了優(yōu)化，節(jié)省了材料和減少了能量損耗。