康愷 王忠康

（第七一五研究所，杭州，310023）

海浪觀測(cè)分析及預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)、海洋環(huán)境研究以及海洋船舶工程等領(lǐng)域都需要研究海浪譜。海浪方向譜觀測(cè)手段按照測(cè)量方法可以分為人工觀測(cè)法、儀器測(cè)量法和遙感反演法。人工觀測(cè)法準(zhǔn)確度和觀測(cè)水域受到限制；儀器測(cè)量法通常使用聲學(xué)儀器進(jìn)行測(cè)波，能夠進(jìn)行水底和水面的測(cè)量，且觀測(cè)連續(xù)性較好；遙感反演法主要利用雷達(dá)測(cè)波和衛(wèi)星測(cè)波，觀測(cè)成本較為昂貴[1]。聲學(xué)多普勒流速剖面儀（Acoustic Doppler Current Profiler，ADCP）測(cè)波時(shí)可安裝在水下或是海底，避免了海面大風(fēng)浪對(duì)觀測(cè)系統(tǒng)的破壞，具有測(cè)量準(zhǔn)確度高、操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。因此對(duì)基于ADCP波向估計(jì)方法的研究具有顯著的理論與應(yīng)用價(jià)值。海浪方向譜描述了一個(gè)組成波在頻率和角度上的分布，而海浪可以看作是多個(gè)隨機(jī)相位組成波的疊加。海浪交叉譜表示任意兩個(gè)海浪特性在頻率上的相關(guān)程度。任意兩個(gè)海浪特性間的交叉譜等于海浪特性與海面間的傳遞函數(shù)與海浪方向譜乘積的傅里葉變換，使用反演算法可以估計(jì)海浪譜[2]。

Barber最早提出基于波高儀陣列測(cè)量海浪方向譜的算法，該方法通過(guò)直接傅里葉變換（Direct Fourier Transformation，DFT）對(duì)海浪譜進(jìn)行了估計(jì)，運(yùn)算速度快，可初步了解海浪分布情況，但方向分辨率不高[3]。Capon提出了最大似然法，相比于DFT法，精度有一定提升且估計(jì)速度較快，是目前工程中比較常用的算法[4]。Hashimoto等人提出了貝葉斯法是目前估計(jì)精度最佳、最穩(wěn)定的算法，但是計(jì)算量過(guò)大[5]。以上方法大都通過(guò)測(cè)得的多個(gè)海浪參數(shù)（如海面高度、海面垂直速度、海面坡度、水質(zhì)點(diǎn)速度等）間的互譜來(lái)估計(jì)海浪方向譜。

受陣列信號(hào)處理中利用波束形成估計(jì)來(lái)波方向原理的啟發(fā)，本文提出了基于波束形成的海浪方向估計(jì)方法。波束形成方法核心是對(duì)于陣列信號(hào)加權(quán)求和后把方向增益集中，形成一個(gè)波束，通過(guò)調(diào)整加權(quán)矢量讓期望信號(hào)輸出功率最大，此時(shí)的波束方向即作為來(lái)波方向的估值。在估計(jì)海浪譜中，利用波束形成方法可以將海浪在傳播過(guò)程中到達(dá)ADCP采樣點(diǎn)時(shí)產(chǎn)生的時(shí)延差用于估計(jì)波向。

1 海浪模型與ADCP波向估計(jì)原理

1.1 海浪模型

海浪方向譜描述了海浪在頻率和角度上的分布情況，一般可以假設(shè)方向分布與海浪的頻率分布無(wú)關(guān)，海浪方向譜表達(dá)式為[6]

式中，S(f)為海浪頻譜，G(θ)為海浪方向分布函數(shù)。常用海浪頻譜模型是PM（Pierson-Moscowitz）譜：

式中，α=8.1×10-3，β=0.74，αg2=0.78，U 是海面上19.5 m高處的平均風(fēng)速。式（2）中的海浪頻譜僅含一個(gè)參量U。海浪頻譜的0階矩為

圖1為PM譜仿真得到海浪頻譜分布模型。

圖1 海浪頻譜S(f)

海浪方向分布函數(shù)的簡(jiǎn)單經(jīng)驗(yàn)公式為

海浪方向分布函數(shù)如圖2所示，峰值處為波浪傳播主波向。

圖2 海浪方向分布函數(shù)G(θ)

目前已有的海浪模型是利用海浪頻譜和方向函數(shù)得到組成波，再根據(jù)隨機(jī)波動(dòng)理論疊加得到模擬三維海浪平面。

1.2 ADCP波向估計(jì)原理

ADCP是一種利用多普勒效應(yīng)的測(cè)流儀器。在測(cè)量中，ADCP以一定的頻率發(fā)射信號(hào)，這些信號(hào)在傳播過(guò)程中發(fā)生反射，根據(jù)回波強(qiáng)度可估計(jì)海面高度[7]。ADCP坐底測(cè)量海浪的采樣示意見(jiàn)圖3。以ADCP為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，使用四個(gè)傾斜波束和一個(gè)垂直波束可獲得5個(gè)點(diǎn)的海面高度測(cè)量數(shù)據(jù)。使用互譜反演算法處理測(cè)量得到的五組海面高度數(shù)據(jù)可以得到海浪主波向的估計(jì)值。

圖3 ADCP空間采樣示意圖

空間采樣要求采樣點(diǎn)間距≤最小波長(zhǎng)的1/2。通常，海水中海浪頻率與波數(shù)的關(guān)系為[8]

式中，d表示水深，g為重力加速度。又因?yàn)棣?2πf和 λ=2π/k，且根據(jù)海浪波速 c=λf=ω/k，可將式（6）改寫(xiě)成海浪波長(zhǎng)λ與海浪頻率f的形式：

在水深d=50 m的條件下，波長(zhǎng)>100 m為淺水環(huán)境，波長(zhǎng)≤100 m為深水環(huán)境。ADCP發(fā)射波束與垂直方向成20°的夾角，可以推算出5個(gè)波束打到海浪平面上，大致的坐標(biāo)點(diǎn)為（±12，±12）和（0，0）。根據(jù)式（6），繪制在水深d=50 m條件下的海浪頻率與波長(zhǎng)之間的關(guān)系曲線，如圖4所示。由圖可知，在被測(cè)波<0.21 Hz的典型水深條件下，海浪長(zhǎng)度符合空間采樣要求。

圖4 水深d=50 m條件下海浪頻率與海浪波長(zhǎng)的關(guān)系

2 基于波束形成的波向估計(jì)方法

鑒于海浪波向估計(jì)與傳感器陣列波達(dá)方向估計(jì)[9]的相似性，本文將波束形成應(yīng)用于海浪波向估計(jì)領(lǐng)域，提出了利用波束形成估計(jì)波向的方法。

假設(shè)第M個(gè)空間采樣點(diǎn)接收海面高度信號(hào)為

式中，Ri表示ADCP測(cè)量得到海面高度的協(xié)方差矩陣。由式（11）可知，此時(shí)輸出功率最大，峰值處對(duì)應(yīng)角度即為估計(jì)波向。

使用常規(guī)波束形成（Conventional Beamforming，CBF）估計(jì)波向，可以推出角度分布上最大輸出功率為

MVDR（Minimum Variance Distortionless Response）波束形成原理是在保證主波向上的信號(hào)輸出為一個(gè)常數(shù)條件下，使陣列的輸出功率極小化，可以表示為

對(duì)于使用 MVDR波束形成估計(jì)波向，得出輸出功率的角度分布為

利用波束形成估計(jì)波向的流程圖見(jiàn)圖5。

圖5 波束形成法估計(jì)海浪波向流程圖

3 建模與驗(yàn)證

通過(guò)建立三維動(dòng)態(tài)海浪模型，采集5點(diǎn)處的海面高度數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。利用波束形成法對(duì)波向進(jìn)行估計(jì)。

3.1 三維海浪建模

仿真可將海浪平面看作多個(gè)不同初始相位組成波的疊加，在假設(shè)單峰分布情況下，海面上任意一點(diǎn)在某一時(shí)刻的高度為

式中，M表示頻率分割數(shù)，N表示角度分割數(shù)，εij為隨機(jī)相位，范圍在（0，2π）內(nèi)，A(fi,θj)由式（1）確定。

仿真取海面以上19.5 m處、風(fēng)速8 m/s的PM譜和主波向?yàn)?50°的方向分布函數(shù)，代入式（15）生成三維海浪平面。仿真條件如表1所示。將得到的海浪方向分布函數(shù)和海浪頻譜模型相乘，得到海浪方向譜，如圖6所示。

圖6 海浪方向譜仿真結(jié)果

表1 三維海浪模型參數(shù)

假設(shè)水深d=50 m，以ADCP放置位置為原點(diǎn)建立如圖3所示的坐標(biāo)系，根據(jù)波動(dòng)理論建立三維動(dòng)態(tài)海浪平面，如圖7所示。另外，仿真了5波束處海面高度測(cè)量結(jié)果。ADCP采樣時(shí)長(zhǎng)為500 s，采樣間隔1 s，得到的分點(diǎn)海面高度如圖8所示。

圖7 某一時(shí)刻海面高度仿真結(jié)果

圖8 海面高度隨時(shí)間變化仿真結(jié)果

根據(jù)仿真得到的動(dòng)態(tài)海浪三維模型，對(duì)每個(gè)采樣點(diǎn)位置處的海面高度進(jìn)行記錄。波高可定義為上跨零線一側(cè)顯著波峰與另一側(cè)顯著波谷間高度差[6]。通過(guò)上跨零點(diǎn)法統(tǒng)計(jì)每一個(gè)采樣點(diǎn)處有效波高HS，平均波高和平均波周期，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表 2所示。根據(jù)海況表給出實(shí)際波高參考范圍為 1.25～2.5 m，三維海面仿真結(jié)果符合參考范圍[10]。仿真結(jié)果表明，5個(gè)采樣點(diǎn)處采集得到海面高度數(shù)據(jù)可以較好地反映理論海浪譜。

表2 統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果

3.2 波向估計(jì)試驗(yàn)

圖9為原始海浪譜模型和兩種方法得到估計(jì)海浪譜模型。圖 10為根據(jù)海浪譜估計(jì)結(jié)果得到的波向估計(jì)結(jié)果，其中峰值處表示主波向的方向，此處能量最大。通過(guò)仿真結(jié)果可以看出，使用波束形成方法均可估計(jì)出海浪的主波向，兩種估計(jì)方法的主波向均集中在 50°附近?？梢钥闯龀Ｒ?guī)波束形成法估計(jì)范圍比原始方向分布略大，而 MVDR波束形成分辨率較高。受ADCP采樣陣元數(shù)限制，在5波束采樣條件下常規(guī)波束形成分辨率比 MVDR波束形成低。從仿真結(jié)果看，坐底式ADCP可以很好地估計(jì)海浪方向譜和主波向，且對(duì)于有效波高等海浪特性參數(shù)的測(cè)量較為準(zhǔn)確。

圖9 海浪波向譜估計(jì)結(jié)果

圖10 波向估計(jì)結(jié)果

4 結(jié)論

為解決海浪測(cè)量中難以獲得高準(zhǔn)確度波向估計(jì)值的難題，本文將波束形成估計(jì)達(dá)到角的原理應(yīng)用到海浪波向估計(jì)領(lǐng)域。在現(xiàn)有PM海浪譜模型的基礎(chǔ)上，建立了三維海浪模型。根據(jù)海浪頻率與波長(zhǎng)關(guān)系選擇合適仿真頻率條件，使坐底式ADCP滿足空間采樣間距要求。對(duì)仿真海浪的海面高度進(jìn)行測(cè)量，利用波束形成法可求得海浪方向譜，根據(jù)峰值處角度估計(jì)來(lái)波方向。建議使用 MVDR進(jìn)行波向估計(jì)。