喬克林，羅 鈞

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

標(biāo)準(zhǔn)利率互換合約是合約雙方在相同名義本金額以及相同貨幣下一方支付固定利率，一方支付浮動利率，利率互換的意義在于為合約雙方提供各自所需的利率支付方式，利率互換的定價(jià)結(jié)果對于互換雙方是一個(gè)重要的參考指標(biāo)。目前為止，標(biāo)準(zhǔn)利率互換依舊在場外市場上流行。在標(biāo)準(zhǔn)的利率互換合約中，一方向另一方支付在今后指定的若干年或者若干月下名義本金按浮動利率所產(chǎn)生的現(xiàn)金流，同樣的，這一方將會收取相同時(shí)間內(nèi)和相同名義本金上按固定利率產(chǎn)生的現(xiàn)金流。利率互換的意義在于減少雙方的融資成本和規(guī)避利率波動帶來的風(fēng)險(xiǎn)，并使雙方獲得自己想要的支付方式［1］。從2006—2021年，人民幣利率互換已經(jīng)經(jīng)歷了長達(dá)15年的發(fā)展，利率互換的定價(jià)問題一直都是研究的重點(diǎn)內(nèi)容。對利率互換交易的合理定價(jià)，是利率互換交易中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，是利率互換交易順利完成的保障，也能夠在一定的程度上活躍交易量，增強(qiáng)利率互換市場的流動性，使得利率互換的定價(jià)效率提高，從而優(yōu)化了資源配置。利率互換的定價(jià)主要受利率波動的影響，所以用哪一種方法去估計(jì)利率的波動是利率互換定價(jià)的前提。

為了更好的去研究利率的動態(tài)變化，研究者提出了均衡模型和無套利模型。均衡單因子模型一般假設(shè)短期利率服從的過程是平穩(wěn)的，從而確定收益率曲線的形狀，其研究代表包括VASICEK等［2］、COX等［3］及CHAN等［4］，均衡模型可以近似地匹配今天的利率期限結(jié)構(gòu)，但無法完全匹配。而無套利模型以收益率曲線作為輸入變量可以做到完全匹配，無套利模型對于利率衍生品定價(jià)效果更好，無套利模型的代表包括HO等［5］、BLACK等［6］、HULL等［7］、HEATH等［8］給出的模型。國內(nèi)的學(xué)者在無套利模型的基礎(chǔ)上對利率互換以及利率互換的應(yīng)用進(jìn)行了研究，黃佐钘等［9］利用利率互換對套期保值進(jìn)行了研究，劉承承［10］系統(tǒng)的對人民幣利率互換定價(jià)問題進(jìn)行了研究。

然而國內(nèi)學(xué)者關(guān)于Ho-lee模型的定價(jià)過程以及定價(jià)結(jié)果研究較少，而且沒有將Ho-Lee模型應(yīng)用到互換付息周期較短的利率互換定價(jià)中。本文基于Ho-Lee模型對6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換進(jìn)行定價(jià)分析，其結(jié)論進(jìn)一步對其他幾種定價(jià)模型的比較提供了分析基礎(chǔ)，定價(jià)日期的選取處在新冠疫情期間，所以能夠從定價(jià)結(jié)果反映出Ho-Lee模型是否具有穩(wěn)定性。

1 利率互換模型的定價(jià)機(jī)制及樹圖結(jié)構(gòu)

1.1 Ho-Lee模型

Ho和Lee提出了一種無套利模型，短期利率滿足以下過程：

其中，短期利率的瞬時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差σ為常數(shù)，θ(t)為時(shí)間t的函數(shù)。變量θ(t)定義了r隨時(shí)間t移動的平均方向，他與r的大小無關(guān)，其中

其中，F(xiàn)(0，t)為時(shí)間0所觀察的在時(shí)刻t的瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率［11］，t∈[t j，t j+1](j=0，1，…，N-1)，令F(0，t)=f j，其中t j+1=t j+Δt，下標(biāo)t表示對于t的偏導(dǎo)數(shù)。

1.2 建立基于Ho-Lee模型各期限的利率二叉樹結(jié)構(gòu)圖

在該模型下，每期的波動率可以由（3）式得出：

其中，r(i，j)表示在節(jié)點(diǎn)(i，j)時(shí)的短期利率，p表示利率上升的概率，1-p表示利率下降的概率，Δt表示上個(gè)支付日到下個(gè)支付日間隔的時(shí)間。本文假設(shè)在這個(gè)模型之中利率上升的概率都是0.5，利率下降的概率也都是0.5，將其帶入（3）式能夠得到（4）式：

（4）式等式兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)就可以得到（5）式：

所以，若r(i，j)一旦確定，則r(i，j+1)就可以由（5）式計(jì)算出來，r(i，j)是由兩期零息債券通過二叉樹貼現(xiàn)計(jì)算出來，因?yàn)樵诮鹑谑袌鲋胁淮嬖谔桌麢C(jī)會，所以貼現(xiàn)后的價(jià)格等于債券的市場價(jià)格，通過二叉樹計(jì)算出r(i，j)以及r(i，j+1)，這樣得出來的r(i，j)與r(i，j+1)就能夠匹配第一期的零息債券的收益率。上述第一期利率二叉樹［12］構(gòu)建如圖1所示。

圖1 第一期利率二叉樹結(jié)構(gòu)圖

圖1中P(1，1)和P(1，0)分別是通過模型得出的零息債券貼現(xiàn)到第一時(shí)期的上升價(jià)格和第一期下降時(shí)的價(jià)格，P為100元，因?yàn)榱阆慕K值為100。其中P(1，1)和P(1，0)的貼現(xiàn)過程如下：

期初的價(jià)格P0可以由P(1，1)和P(1，0)繼續(xù)貼現(xiàn)，從而有

因?yàn)槭菬o套利模型，所以不存在套利的機(jī)會，那么由零息債券的終值所貼現(xiàn)到起初的價(jià)格P0必然與零息債券實(shí)際的期初價(jià)格P*相等，通過上述公式，就可以計(jì)算出滿足條件的r(1，1)，r(1，0)。

下面用同樣的方法構(gòu)建第二期利率二叉數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示。

圖2 第二期利率二叉樹結(jié)構(gòu)圖

利率上升的概率和利率下降的概率都為0.5。r(2，2)為在第一期支付日上升且在第二期支付日也上升的利率，r(2，1)為是第一期支付日上升但第二期支付日下降或者第一期支付日下降但第二期支付日上升的利率，r(2，0)表示的是第一期支付日和第二期支付日都下降的概率。

由（4）式可以得到

從而，如果能夠計(jì)算出r(2，1)，那么r(2，2)，r(2，0)就可以計(jì)算出來。并且可以得出r(2，2)，r(2，1)，r(2，0)三者之間的關(guān)系：

借鑒之前的方法，可以用如下的計(jì)算過程得到第二期的各個(gè)利率。

之前通過第一期二叉樹已經(jīng)計(jì)算出來了r(1，1)和r(1，0)，再通過上面的式子可以求出r(2，0)，r(2，1)，r(2，2)。

同樣的方法，可以構(gòu)建第三期利率二叉數(shù)結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示。

圖3 第三期利率二叉樹結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)（4）式可以得到

從而如果計(jì)算出其中一個(gè)利率，那么其他兩個(gè)利率就可以算出來了?？梢杂?jì)算出多期二叉樹的遠(yuǎn)期利率，算出每個(gè)狀態(tài)的遠(yuǎn)期利率后，就可以對利率互換進(jìn)行定價(jià)，因?yàn)槭菬o套利定價(jià)模型，對互換本金進(jìn)行浮動利率也就是用得出的遠(yuǎn)期利率貼現(xiàn)恰好等于固定利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值，從而可以得出固定利率。

2 實(shí)證分析

2.1 估計(jì)波動率公式

其中，Si為基于SHIBOR各期限利率在i天末的值，ui為第i天的連續(xù)復(fù)利收益率。

其中，σn為第n-1天所估計(jì)的基于SHIBOR各期限利率在第n天的波動率，σn2為日方差率。

其中，為ui的平均值。

2.2 利率互換定價(jià)公式

其中，K為固定利率也就是利率互換的價(jià)格，P(t，T k)表示在隨機(jī)利率下的第k期的折現(xiàn)因子，T k為到期日，T k-T k-1是兩個(gè)支付期的間隔時(shí)間，以年為單位。

2.3 數(shù)據(jù)的選取

利率互換以FR007和SHIBOR_3M作為基準(zhǔn)利率的交易量最多，所以本文選用中國貨幣網(wǎng)公布的SHIBOR數(shù)據(jù)來確定利率期限結(jié)構(gòu)，運(yùn)用Ho-Lee模型對6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換進(jìn)行定價(jià)，定價(jià)結(jié)果同公布的當(dāng)日利率互換的成交價(jià)格進(jìn)行比較分析。

本模型設(shè)定不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)，要對利率互換進(jìn)行定價(jià)，就要知道互換合約的內(nèi)容，包括參考利率、固定利率、浮動利率、交易日、起息日以及到期日等等。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換合約如表1所示。

表1 [13]6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換合約

6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換每3個(gè)月交換一次利息，浮動利率為每3個(gè)月重置一次。需要知道每個(gè)付息日的利率期限結(jié)構(gòu)，本文選取了2021年6月10日—2021年9月3日共60 d的SHIBOR期限數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)分別對當(dāng)日的6個(gè)月期SHIBOR_3M利率互換進(jìn)行定價(jià)。表2列出了2021年8月31日—2021年9月3日的有關(guān)數(shù)據(jù)。

表2 SHIBOR期限數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

2.4 Ho-Lee模型的實(shí)證分析

利用Ho-Lee模型進(jìn)行定價(jià)時(shí)需要知道各個(gè)利率的年化波動率，由于Ho-Lee模型中的波動率是一個(gè)不與時(shí)間有關(guān)的常數(shù)，所以為了反映6個(gè)月期SHIBOR_3M利率互換中短期利率的波動率，本文假設(shè)在SHIBOR_3M利率互換交易日時(shí)，就已經(jīng)確定了SHIBOR_3M利率互換中短期利率的波動率，6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換各期限波動率是用該日前60個(gè)交易日的計(jì)算數(shù)據(jù)得到，一年中的交易日為250 d。本文選取2021年6月10日—2021年9月3日60個(gè)交易日的數(shù)據(jù)，用以下方程求得年化波動率：

其中，n為SHIBOR_3M利率互換中短期利率的波動率的起始日期，以天為單位，S n-i是在n天以前的有關(guān)利率數(shù)據(jù)。表3列出了2021年9月3日與2021年9月2日的有關(guān)數(shù)據(jù)。

表3 年化波動率

這樣就得到了2021年9月3日與2021年9月2日的年化波動率。下面使用Matlab［14］編程，基于Ho-Lee模型來構(gòu)造利率二叉樹，得到每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的遠(yuǎn)期利率，從而利用公式計(jì)算出利率互換的固定利率值。結(jié)果如表4所示。由表4可以看出來，Ho-Lee模型的定價(jià)結(jié)果與實(shí)際成交價(jià)格在短期時(shí)間內(nèi)沒有巨大的差異，但是在價(jià)格趨勢的變化上來看有所不同。這是因?yàn)橛捎跀?shù)據(jù)有限，本文假設(shè)選取的由國家發(fā)行的貼現(xiàn)債券發(fā)行價(jià)格在不同的日期是固定不變的，所以導(dǎo)致了9月3日的定價(jià)結(jié)果與成交價(jià)格相對偏差較小，而其他時(shí)期與成交價(jià)格相對偏差略大的情況，還有一個(gè)原因就是Ho-Lee模型中的波動率為常數(shù)，也就是不同時(shí)間下利率互換的利率波動率相同，然而這在現(xiàn)實(shí)情況中可能性很小。

表4 Ho-Lee模型成交價(jià)格與定價(jià)結(jié)果比較

3 結(jié)束語

Ho-Lee模型在基于6個(gè)月期的SHIBOR_3M利率互換中定價(jià)結(jié)果較成交價(jià)格誤差較小，可以給投資者一個(gè)很好的參考。本文只是基于Ho-Lee模型對短時(shí)間的利率互換合約進(jìn)行定價(jià)，不過此模型在一年期或者一年期以上的定價(jià)結(jié)果還需要驗(yàn)證。無套利模型下還有其他幾種模型，定價(jià)出來的結(jié)果可以相互比較進(jìn)行分析，并在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)完善模型，使模型在特殊的時(shí)間段比如疫情期間也有一個(gè)很好的表現(xiàn)。