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        Volta's混沌系統(tǒng)同步控制

        2022-04-15 02:00:08王東曉李自強
        安陽工學院學報 2022年2期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        王東曉,李自強

        (鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院,鄭州 450046)

        0 引言

        混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的不規(guī)則運動,一個確定性理論描述的系統(tǒng),其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、不可預測,這就是混沌現(xiàn)象?;煦缡欠蔷€性動力系統(tǒng)的固有特性,是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng),而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的,在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中,非線性系統(tǒng)普遍存在,混沌是無處不在的?;煦缋碚撍芯康氖欠蔷€性動力學混沌,目的是要揭示貌似隨機的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律,以求發(fā)現(xiàn)一大類復雜問題普遍遵循的共同規(guī)律。

        隨著研究的深入,混沌系統(tǒng)的廣泛存在,混沌同步一直是非線性科學研究的熱點?;煦缦到y(tǒng)的同步有著廣泛的應用前景,同步問題備受關(guān)注,新的系統(tǒng)新的方法層出不窮。毛北行等[1]研究了非線性復雜網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題;較早出現(xiàn)的自適應方法也常常用于整數(shù)階或分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步[2-3];張燕蘭采用自適應方法實現(xiàn)分數(shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的廣義投影同步[4];近年滑模同步方法常被用以混沌同步[5-6],余明哲等[7]表明滑模自適應同步了一類不確定分數(shù)階系統(tǒng);鐘啟龍[8]等采用主動滑模研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步問題;也可用類似的方法研究整數(shù)階、分數(shù)階同步問題[9];兩個不同系統(tǒng)的同步也可以利用自適應滑??刂苼韺崿F(xiàn)[10]; Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]在物理、通訊等方面有著廣泛的應用,張振等[13]研究了分數(shù)階Volta's系統(tǒng)同步問題;李嬌研究了Volta's系統(tǒng)的混合投影同步[14];張志明等[15]對Volta's混沌系統(tǒng)添加一個新的狀態(tài)變量,得到一個四維的自治超混沌系統(tǒng)。在上述研究的基礎上,本文研究了三維和四維Volta's混沌系統(tǒng)同步問題,給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件,最后的數(shù)值仿真結(jié)果表明該方案的有效性和可行性。

        1 主要結(jié)果

        此時系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài),如圖1。在系統(tǒng)(1)中添加一個新的變量,并令=x+r,當r∈[-40,-32]∪[32,40],得到一個四維超混沌系統(tǒng)[15]:

        圖1 三階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

        考慮如下三階Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]:

        取值 20,混沌吸引子如圖2。

        圖2 四階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

        以系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),其對應的響應系統(tǒng)設計為:

        其中ui,(i=1,2,3)為控制器,令誤差變量ei=yi-xi,(i=1,2,34),從而誤差系統(tǒng)如下:

        系統(tǒng)(1)與(3)同步。

        在定理1中,構(gòu)造的控制器含有非線性項,我們嘗試線性控制器來實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步。系統(tǒng)(1)呈混沌態(tài),系統(tǒng)變量有界,存在常數(shù)Q,M,N > 0,滿足。得到如下定理。

        下面考慮四維Volta's混沌系統(tǒng)的同步控題??紤]如下的響應系統(tǒng):

        誤差系統(tǒng)如下:

        定理3:系統(tǒng)(5)在如下控制器作用下:

        主從系統(tǒng)(2)與(5)是同步。

        證 明:選擇Lyapunov函數(shù),則Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間的導數(shù)為:

        系統(tǒng)(2)與(5)同步。

        從上述推導過程當中可以看出,該控制方法非常靈活,控制器的第二部分可以任意構(gòu)造,只要滿足矩陣A為負定矩陣,滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的條件,就可以保證誤差系統(tǒng)在零點漸進穩(wěn)定。當然,所構(gòu)造控制器越簡單,實現(xiàn)同步所用時間越短,控制方案也就越好。

        2 數(shù)值仿真

        以matlab為工具,對各種方案分別做出數(shù)值仿真。系統(tǒng)(1)狀態(tài)變量初始值(8,2,1),系統(tǒng)(3)狀態(tài)變量初始值(1,4,8)。圖3為在定理1所設計方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線,圖4為在定理2所設計控制方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線,從誤差曲線可以看出,兩種方案都可以很好地實現(xiàn)系統(tǒng)同步,定理2方案中的控制器為線性控制器,相較于定理1的方案更加簡單,在實際操作中更加容易操作,在加入控制器后主從系統(tǒng)狀態(tài)很快趨近一致,實現(xiàn)同步;且實現(xiàn)同步的時間更短,更具有優(yōu)勢,并且在做仿真的過程當中,控制器不滿足定理條件時,也有可能實現(xiàn)同步,原因是我們給出的條件僅僅是充分條件,而非必要條件。系統(tǒng)(2)狀態(tài)變量初始值(8,2,1,1),系統(tǒng)(5)狀態(tài)變量初始值(1,1,2,8),圖5 為在定理3設計方案控制下系統(tǒng)誤差曲線,圖6為系統(tǒng)(2)和系統(tǒng)(5)的狀態(tài)變量曲線。

        圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線

        圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線

        圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線

        圖6 定理3的主從系統(tǒng)狀態(tài)

        3 結(jié)論

        本文主要研究了Volta's混沌系統(tǒng)的同步控制問題,分別對三維和四維混沌系統(tǒng)設計了控制方案,得到了整數(shù)階Volta’s混沌系統(tǒng)同步的充分性條件,給出了嚴格的數(shù)學證明和推理過程,數(shù)值仿真表明該方法有效性和可行性。

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