王東曉，李自強

(鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院，鄭州 450046)

0 引言

混沌現(xiàn)象是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的不規(guī)則運動，一個確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性一不可重復、不可預測，這就是混沌現(xiàn)象?；煦缡欠蔷€性動力系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象。牛頓確定性理論能夠充分處理的多為線性系統(tǒng)，而線性系統(tǒng)大多是由非線性系統(tǒng)簡化來的，在現(xiàn)實生活和實際工程技術(shù)問題中，非線性系統(tǒng)普遍存在，混沌是無處不在的?；煦缋碚撍芯康氖欠蔷€性動力學混沌，目的是要揭示貌似隨機的現(xiàn)象背后可能隱藏的簡單規(guī)律，以求發(fā)現(xiàn)一大類復雜問題普遍遵循的共同規(guī)律。

隨著研究的深入，混沌系統(tǒng)的廣泛存在，混沌同步一直是非線性科學研究的熱點?；煦缦到y(tǒng)的同步有著廣泛的應用前景，同步問題備受關(guān)注，新的系統(tǒng)新的方法層出不窮。毛北行等[1]研究了非線性復雜網(wǎng)絡混沌系統(tǒng)的有限時間同步問題；較早出現(xiàn)的自適應方法也常常用于整數(shù)階或分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步[2-3]；張燕蘭采用自適應方法實現(xiàn)分數(shù)階Rayleigh-Duffling-like系統(tǒng)的廣義投影同步[4]；近年滑模同步方法常被用以混沌同步[5-6]，余明哲等[7]表明滑模自適應同步了一類不確定分數(shù)階系統(tǒng)；鐘啟龍[8]等采用主動滑模研究了分數(shù)階混沌系統(tǒng)同步問題；也可用類似的方法研究整數(shù)階、分數(shù)階同步問題[9]；兩個不同系統(tǒng)的同步也可以利用自適應滑?？刂苼韺崿F(xiàn)[10]; Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]在物理、通訊等方面有著廣泛的應用，張振等[13]研究了分數(shù)階Volta's系統(tǒng)同步問題；李嬌研究了Volta's系統(tǒng)的混合投影同步[14]；張志明等[15]對Volta's混沌系統(tǒng)添加一個新的狀態(tài)變量，得到一個四維的自治超混沌系統(tǒng)。在上述研究的基礎上，本文研究了三維和四維Volta's混沌系統(tǒng)同步問題，給出了系統(tǒng)取得同步的充分性條件，最后的數(shù)值仿真結(jié)果表明該方案的有效性和可行性。

1 主要結(jié)果

此時系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌態(tài)，如圖1。在系統(tǒng)（1）中添加一個新的變量，并令=x+r，當r∈[-40,-32]∪[32,40]，得到一個四維超混沌系統(tǒng)[15]：

圖1 三階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

考慮如下三階Volta's混沌系統(tǒng)[11-12]：

取值 20，混沌吸引子如圖2。

圖2 四階Volta's系統(tǒng)的混沌吸引子

以系統(tǒng)（1）作為驅(qū)動系統(tǒng)，其對應的響應系統(tǒng)設計為：

其中ui，(i=1,2,3)為控制器,令誤差變量ei=yi-xi，(i=1,2,34)，從而誤差系統(tǒng)如下：

系統(tǒng)（1）與（3）同步。

在定理1中，構(gòu)造的控制器含有非線性項，我們嘗試線性控制器來實現(xiàn)混沌系統(tǒng)同步。系統(tǒng)（1）呈混沌態(tài)，系統(tǒng)變量有界，存在常數(shù)Q,M,N ＞ 0，滿足。得到如下定理。

下面考慮四維Volta's混沌系統(tǒng)的同步控題?？紤]如下的響應系統(tǒng)：

誤差系統(tǒng)如下：

定理3：系統(tǒng)（5）在如下控制器作用下：

主從系統(tǒng)（2）與（5）是同步。

證 明：選擇Lyapunov函數(shù)，則Lyapunov函數(shù)關(guān)于時間的導數(shù)為：

系統(tǒng)（2）與（5）同步。

從上述推導過程當中可以看出，該控制方法非常靈活，控制器的第二部分可以任意構(gòu)造，只要滿足矩陣A為負定矩陣，滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的條件，就可以保證誤差系統(tǒng)在零點漸進穩(wěn)定。當然，所構(gòu)造控制器越簡單，實現(xiàn)同步所用時間越短，控制方案也就越好。

2 數(shù)值仿真

以matlab為工具,對各種方案分別做出數(shù)值仿真。系統(tǒng)（1）狀態(tài)變量初始值（8，2，1），系統(tǒng)（3）狀態(tài)變量初始值（1，4，8）。圖3為在定理1所設計方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線,圖4為在定理2所設計控制方案控制下的誤差系統(tǒng)曲線，從誤差曲線可以看出，兩種方案都可以很好地實現(xiàn)系統(tǒng)同步，定理2方案中的控制器為線性控制器，相較于定理1的方案更加簡單，在實際操作中更加容易操作，在加入控制器后主從系統(tǒng)狀態(tài)很快趨近一致，實現(xiàn)同步；且實現(xiàn)同步的時間更短，更具有優(yōu)勢，并且在做仿真的過程當中，控制器不滿足定理條件時，也有可能實現(xiàn)同步，原因是我們給出的條件僅僅是充分條件，而非必要條件。系統(tǒng)（2）狀態(tài)變量初始值（8，2，1，1），系統(tǒng)（5）狀態(tài)變量初始值（1，1，2，8），圖5 為在定理3設計方案控制下系統(tǒng)誤差曲線，圖6為系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（5）的狀態(tài)變量曲線。

圖3 定理1的系統(tǒng)誤差曲線

圖4 定理2的系統(tǒng)誤差曲線

圖5 定理3的系統(tǒng)誤差曲線

圖6 定理3的主從系統(tǒng)狀態(tài)

3 結(jié)論

本文主要研究了Volta's混沌系統(tǒng)的同步控制問題，分別對三維和四維混沌系統(tǒng)設計了控制方案，得到了整數(shù)階Volta’s混沌系統(tǒng)同步的充分性條件，給出了嚴格的數(shù)學證明和推理過程，數(shù)值仿真表明該方法有效性和可行性。