唐志華，段志貴，徐瀝泉

(南京曉莊學(xué)院 教學(xué)督導(dǎo)組，江蘇 南京 211171)

一、 引論

習(xí)近平總書記多次號召并推動全黨學(xué)習(xí)辯證唯物主義和歷史唯物主義基本原理和方法論。在革命、建設(shè)、改革各個歷史時期，馬克思主義哲學(xué)都是我們的看家本領(lǐng)。當(dāng)然教育領(lǐng)域中也不例外。有一項數(shù)學(xué)教學(xué)改革，正是以辯證唯物論的認(rèn)識論和反映論觀點為指導(dǎo)的，它就是《貫徹數(shù)學(xué)方法論的教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)》數(shù)學(xué)教育實驗(下稱MM實驗，它所確證的數(shù)學(xué)方法論的教育方式簡稱MM教育方式，MM取自數(shù)學(xué)方法論英文“Mathematical Methodology”的兩個首寫字母)。

引論1 馬克思主義哲學(xué)的指導(dǎo)作用

馬克思主義哲學(xué)即辯證唯物主義和歷史唯物主義。它是關(guān)于自然界、人類社會和思維發(fā)展最一般規(guī)律的科學(xué)，它既是世界觀又是方法論。任何學(xué)科的發(fā)展都應(yīng)當(dāng)以馬克思主義哲學(xué)為指導(dǎo)思想，在認(rèn)識世界和改造世界的任何活動中都應(yīng)當(dāng)自覺運用馬克思主義哲學(xué)相關(guān)原理。馬克思主義哲學(xué)對數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)教育實施方法論指導(dǎo)，則集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)方法論這一新的學(xué)科分支上。

錢學(xué)森認(rèn)為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的頂層是馬克思主義哲學(xué)，馬克思主義哲學(xué)是科學(xué)的哲學(xué)。每一部類在通往馬克思主義哲學(xué)層面都有一個“橋梁”(1)馮亞，孟云飛：《錢學(xué)森的文藝觀：利用最新的科學(xué)技術(shù)成果發(fā)揚文藝傳統(tǒng)》，《光明日報》2020年12月18日，第13版。。按照錢學(xué)森的觀點，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)通往馬克思主義哲學(xué)的橋梁是數(shù)學(xué)哲學(xué)，具體就是數(shù)學(xué)方法論。

引論2 數(shù)學(xué)方法論是辯證唯物論的認(rèn)識論與反映論觀點在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)與運用

恩格斯對數(shù)學(xué)有著根本的看法。他在《反杜林論》中指出：“純數(shù)學(xué)具有脫離任何個人的特殊經(jīng)驗而獨立的意義，……，但是在純數(shù)學(xué)中悟性絕不能只處理自己的創(chuàng)造物和想象物。數(shù)和形的概念不是從其他任何地方，而是從現(xiàn)實世界中得來的?！償?shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系，所以是非?，F(xiàn)實的材料。這些材料以極度抽象的形式出現(xiàn)，這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界的事實。但是為了能夠從純粹的狀態(tài)中研究這些形式和關(guān)系，必須使它們完全脫離自己的內(nèi)容，把內(nèi)容作為無關(guān)重要的東西放在一邊；這樣，我們就得到?jīng)]有長寬高的點、沒有厚度和寬度的線、……常數(shù)和變數(shù)等等。”(2)恩格斯：《反杜林論》，載《馬克思恩格斯全集》第20卷，人民出版社2006年版，第40-42頁。

“反映論”這一術(shù)語是由列寧最終確立和使用的。(3)陳中立等著：《反映論新論:馬克思主義反映論及其在現(xiàn)時代的發(fā)展》，中國社會科學(xué)出版社1997年版。它的基本點就是把人的認(rèn)識看作是客觀現(xiàn)實而存在的東西，而不是脫離客觀現(xiàn)實而存在的東西，從而否定了一切形式的先驗論。這正是唯物主義認(rèn)識論的根本觀點，即物質(zhì)第一性，意識第二性，人的認(rèn)識就是客觀物質(zhì)世界的反映。把辯證法的認(rèn)識論與反映論觀點應(yīng)用于數(shù)學(xué)就產(chǎn)生了數(shù)學(xué)方法論。

引論3 辯證思維方法與數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究內(nèi)容

恩格斯有一句名言：“數(shù)學(xué)：辯證的輔助工具和表現(xiàn)方式?！瘪R克思把數(shù)學(xué)作為豐富唯物辯證法的一個源泉。他通過自己對數(shù)學(xué)的多年鉆研，在高等數(shù)學(xué)中他找到了最符合邏輯的，同時也是形式最簡單的辯證運動。辯證法作為認(rèn)識論和方法論就成為辯證思維方法，它是人們把握客觀事物的一種認(rèn)識工具。辯證思維方法是人們正確認(rèn)識世界的中介，是人們正確進行理性思維的根本方法。辯證思維方法是一個整體，它是由一系列既相區(qū)別又相聯(lián)系的方法所組成的，主要有歸納演繹、分析綜合、抽象具體、邏輯和歷史的統(tǒng)一等等。

把它們作用與應(yīng)用到數(shù)學(xué)，便構(gòu)成了數(shù)學(xué)方法論中的微觀方法論因子。演繹(邏輯)推理方法：抽象分析法、數(shù)學(xué)模型法、公理化方法；合情推理方法：觀察、實驗、類比、聯(lián)想、猜測、經(jīng)驗歸納法；一般解題方法：分析、綜合、一般化、特殊化、關(guān)系映射反演原則等等。

把馬克思和恩格斯的自然科學(xué)辯證法研究(《反杜林論》哲學(xué)篇和《自然辯證法》)應(yīng)用于數(shù)學(xué)，就產(chǎn)生了一個新的馬克思主義的哲學(xué)分支——數(shù)學(xué)哲學(xué)。數(shù)學(xué)哲學(xué)是哲學(xué)與數(shù)學(xué)相互聯(lián)系和滲透的交叉學(xué)科，是對數(shù)學(xué)的哲學(xué)概括和總結(jié)，是研究數(shù)學(xué)理論、概念及數(shù)學(xué)發(fā)展中哲學(xué)問題的學(xué)科，著重研究數(shù)學(xué)的對象、性質(zhì)、特點、地位與作用，數(shù)學(xué)新分支、新課題提出的重要概念的哲學(xué)意義，數(shù)學(xué)本體論的研究，數(shù)學(xué)真理性的研究，著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)流派的數(shù)學(xué)和哲學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等問題；探討數(shù)學(xué)的研究對象是否為客觀的真實的存在等。數(shù)學(xué)哲學(xué)的這些研究內(nèi)容，也正是宏觀的數(shù)學(xué)方法論所要研究與探討的對象，由它們可以構(gòu)成宏觀方法論因子：數(shù)學(xué)哲學(xué)問題、數(shù)學(xué)美學(xué)問題、數(shù)學(xué)心理學(xué)問題、數(shù)學(xué)家成長規(guī)律的一般分析、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育史研究等等。

現(xiàn)代科學(xué)研究高度分化和高度綜合相統(tǒng)一的時代特征，使辯證思維與科學(xué)研究的相互依賴性更加密切。習(xí)近平總書記非常強調(diào)和注重運用辯證思維能力，他曾說過：“在任何工作中，我們既要講兩點論，又要講重點論。”他強調(diào)，“我們的事業(yè)越是向縱深發(fā)展，就越要不斷增強辯證思維能力”。他認(rèn)為，增強辯證思維能力，才能提高駕馭復(fù)雜局面、處理復(fù)雜問題的本領(lǐng)，才能把各項工作做得更好。(4)岳小喬，左瀟：《習(xí)近平為什么這樣重視“辯證思維”》，《人民日報》客戶端2019年1月4日，http:∥www.chinanews.com.cn/gn/2019/01-25/8739169.shtml.

如今，在數(shù)學(xué)科學(xué)的核心范圍內(nèi)已經(jīng)進一步分化出將近一百種可以辨認(rèn)的分科，與這一分化過程相反，數(shù)學(xué)科目之間也在進行著互相滲透的統(tǒng)一的過程。無論是純數(shù)學(xué)還是應(yīng)用數(shù)學(xué)，都有一個共同的邏輯基礎(chǔ)，集合論的思想成了統(tǒng)一的思想，這種統(tǒng)一的基礎(chǔ)又是所謂的“基本結(jié)構(gòu)”，任何數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不過是不多的幾條公理的各種不同的組合而已。現(xiàn)代數(shù)學(xué)以其特有的思維方式證實和豐富了馬克思主義哲學(xué)辯證思維的觀點，并進一步促使辯證思維方法具體化、精確化。如果說數(shù)學(xué)通往馬克思主義哲學(xué)的橋梁是數(shù)學(xué)哲學(xué)，那么數(shù)學(xué)方法論則是數(shù)學(xué)思維通往馬克思主義哲學(xué)辯證思維的橋梁。其中凝聚在數(shù)學(xué)方法論之中的看不見摸不著的數(shù)學(xué)思想方法將在學(xué)生全面素質(zhì)與核心素養(yǎng)的培育與提高上，扮演著尤為重要的角色。

引論4 馬克思主義關(guān)于人的全面發(fā)展學(xué)說與全面發(fā)展教育

馬克思主義關(guān)于人的全面發(fā)展理論具有豐富的思想內(nèi)涵，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：一是人的活動的全面發(fā)展；二是人的社會關(guān)系的全面發(fā)展；三是人的素質(zhì)的全面提高；四是人的個性的全面發(fā)展；五是人類的全面發(fā)展。其中，人的素質(zhì)的全面提高表現(xiàn)為人的身體素質(zhì)、心理素質(zhì)、思想道德素質(zhì)和科學(xué)文化素質(zhì)等的發(fā)展和完善，以及各種素質(zhì)之間的均衡協(xié)調(diào)發(fā)展。

所謂全面發(fā)展教育，是對含有各方面素質(zhì)培養(yǎng)功能的整體教育的一種概括，是使受教育者多方面得到發(fā)展而實施培養(yǎng)的教育活動的總稱，是由多種相互聯(lián)系而又各具特點的教育所組成，以德育、智育、體育、美育、勞動技術(shù)教育作為全面發(fā)展教育的構(gòu)成主體。馬克思主義關(guān)于人的全面發(fā)展學(xué)說，正是我們黨制訂教育方針的理論基礎(chǔ)。它必須貫徹落實到各級各類學(xué)校的教育教學(xué)工作中去，貫徹落實到每一門學(xué)科的課堂教學(xué)中去，小學(xué)數(shù)學(xué)教育更不能例外，因為“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，是其他科學(xué)研究的主要工具”。

二、 數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論

辯證唯物主義認(rèn)為，世界觀是人們對世界總體的看法，諸如自然觀、社會歷史觀、倫理觀、科學(xué)觀等都是對世界的根本看法。哲學(xué)是世界觀的理論形式。方法論是關(guān)于認(rèn)識世界和改造世界的方法的理論。方法論在不同層次上有哲學(xué)方法論、一般科學(xué)方法論和具體科學(xué)方法論。不同層次方法論的關(guān)系是互相依存、互相影響、互相補充的對立統(tǒng)一關(guān)系。

哲學(xué)方法論與世界觀具有一致性。因為一定的世界觀原則在認(rèn)識和實踐過程中的運用表現(xiàn)為方法，方法論則是有關(guān)這些方法的理論。所以說，沒有脫離世界觀的孤立的方法論，也沒有不具備方法論意義的純粹的世界觀，即世界觀決定方法論，方法論包含或反映世界觀。

(一) 數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論的界定

數(shù)學(xué)哲學(xué)作為哲學(xué)的分支學(xué)科，辯證唯物主義的上述原理同樣適用，即數(shù)學(xué)觀是對數(shù)學(xué)總體的看法，例如，數(shù)學(xué)發(fā)展觀、數(shù)學(xué)性質(zhì)觀、數(shù)學(xué)真理觀、數(shù)學(xué)文化觀、數(shù)學(xué)美學(xué)觀等都是對數(shù)學(xué)的看法。數(shù)學(xué)哲學(xué)則是數(shù)學(xué)觀的理論形態(tài)。數(shù)學(xué)方法論是人類認(rèn)識和研究數(shù)學(xué)方法的理論，它在方法論的三個層次中屬于具體科學(xué)方法論。

20世紀(jì)下葉，國內(nèi)外一些著名數(shù)學(xué)家都致力于對數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究，在某種程度上把數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)方法論明確化具體化了。他們從本體論(數(shù)學(xué)對象及存在方式)與認(rèn)識論的角度提出了“數(shù)學(xué)是一種模式真理”的數(shù)學(xué)觀。按照這種觀點，數(shù)學(xué)模式在本體上具有兩重性。就其內(nèi)容而言具有明確的客觀意義，它是思維對于客觀實在的能動反應(yīng)，任何數(shù)學(xué)模型都有它的現(xiàn)實原型；就其形式結(jié)構(gòu)而言，數(shù)學(xué)并非客觀世界中的真實存在，而只是創(chuàng)造性思維。從前者而言，數(shù)學(xué)是人們所發(fā)現(xiàn)的；從后者而論，數(shù)學(xué)又是人們所發(fā)明的。而數(shù)學(xué)的每一次重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明，都是以決定數(shù)學(xué)向本質(zhì)上的嶄新狀態(tài)過渡的杰出成就為標(biāo)志的。這中間伴隨著認(rèn)識論與方法論上的突破，伴隨著數(shù)學(xué)思想方法的革命性的變革。有一門學(xué)問就是專門以數(shù)學(xué)的思想方法作為研究對象的，它就是數(shù)學(xué)方法論。

徐利治指出：“數(shù)學(xué)方法論主要是研究和討論數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法以及數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則的一門學(xué)問?！薄八寝q證法的認(rèn)識論與反映論觀點在數(shù)學(xué)上的表現(xiàn)與運用?！?5)徐利治：《數(shù)學(xué)方法論選講》序言，華中工學(xué)院出版社1983年版。數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)觀具有一致性，數(shù)學(xué)觀決定數(shù)學(xué)方法論，數(shù)學(xué)方法論蘊含和反映著數(shù)學(xué)觀。

(二) 數(shù)學(xué)方法論研究的重要性及其研究內(nèi)容與分劃

就數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)外因素而言，數(shù)學(xué)方法論又可以分劃為宏觀與微觀兩個范疇。如果拋開數(shù)學(xué)發(fā)展的社會因素，數(shù)學(xué)方法論的研究對象和內(nèi)容大體可劃分如下(表1)：

表1 數(shù)學(xué)方法論因子分劃表

按照宏觀的數(shù)學(xué)方法論觀點，數(shù)學(xué)發(fā)展的巨大動力源泉與社會生產(chǎn)實踐及技術(shù)發(fā)展的客觀要求緊密相連。由于現(xiàn)代社會高技術(shù)的出現(xiàn)，世界各國對高技術(shù)的研究和開發(fā)競爭十分激烈，許多科學(xué)家都指出，高技術(shù)在本質(zhì)上講是數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)學(xué)方法論屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)的范疇，它的原則性高，普適性強，可以用來指導(dǎo)尖端科學(xué)的研究，用好了可以影響到整個一代人的素質(zhì)，培養(yǎng)出一批具有世界一流水平的科學(xué)技術(shù)專家，從而有可能使我國成為數(shù)學(xué)大國和科技強國。

習(xí)近平總書記指出：基礎(chǔ)研究是科技創(chuàng)新的源頭。我國的基礎(chǔ)研究雖然取得了顯著進步，但同國際先進水平的差距還是明顯的。我國面臨的很多“卡脖子”的技術(shù)問題，根子是基礎(chǔ)理論研究跟不上，源頭和底層的東西沒有搞清楚。(6)習(xí)近平總書記在2020年9月11日科學(xué)家座談會上的重要講話。

李克強總理多次論及數(shù)學(xué)的重要作用，并且就數(shù)學(xué)科學(xué)的特點、研究方式和我國當(dāng)前的研究現(xiàn)狀指出：“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究在我國是薄弱環(huán)節(jié)，對許多領(lǐng)域形成瓶頸制約?！薄皣H數(shù)學(xué)界的最高獎項菲爾茲獎，中國至今沒有一人獲得?，F(xiàn)在IT業(yè)發(fā)展迅猛，源代碼靠什么？靠數(shù)學(xué)！我們造大飛機，但發(fā)動機還要買國外的，為什么？數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不行?！薄盎A(chǔ)研究決定一個國家科技創(chuàng)新的深度和廣度?；A(chǔ)研究沒有捷徑可走。要有十年磨一劍的專注精神，潛下心來把冷板凳坐熱。數(shù)學(xué)則是基礎(chǔ)研究的基礎(chǔ)，是其他科學(xué)研究的主要工具?！?7)李克強總理在2015年1月27日教科文衛(wèi)體界人士和基層群眾代表座談會上的講話，2016年4月15日在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院考察時的講話，2019年9月2日在國家杰出青年科學(xué)基金工作座談會上的講話。

以上的重要講話是發(fā)人深省的。要使我國的數(shù)學(xué)研究進入世界先進水平，要振興中國數(shù)學(xué)，就必須從小學(xué)數(shù)學(xué)教育開始打下堅實的基礎(chǔ)，尤其應(yīng)該重視學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生思考問題、分析問題的方法，要重視引導(dǎo)學(xué)生掌握發(fā)現(xiàn)真理、尋找真理的本領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生對形成數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識過程的分析，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

徐利治教授在MM課題組所作的專題報告中指出：“搞數(shù)學(xué)方法論的目的無非是兩個，一是進行科學(xué)研究，要用微觀的方法論；另外，改革數(shù)學(xué)教育必須用方法論指導(dǎo)，把數(shù)學(xué)方法論的原則貫徹到數(shù)學(xué)教育中去?！?因此，無論是從宏觀方法論方面著眼，還是從微觀方法論方面著手，在數(shù)學(xué)教學(xué)中如能貫徹數(shù)學(xué)方法論的教育方式，必將有助于培養(yǎng)學(xué)生從總體結(jié)構(gòu)上把握數(shù)學(xué)思想體系、數(shù)學(xué)思維方式的本領(lǐng)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動中的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)。我們確信數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是一種技巧，發(fā)現(xiàn)的能力可以通過靈活的教學(xué)方式加以培養(yǎng)。尤其在我國當(dāng)前的招生制度和選拔機制一時難以改變的大環(huán)境中，改革教學(xué)方法，就是把學(xué)生從當(dāng)前那種苦教苦學(xué)的惡性循環(huán)中解放出來，真正落實“雙減”的唯一有效途徑。

三、 MM教育方式

(一) 數(shù)學(xué)的兩重性和全面的數(shù)學(xué)教學(xué)

如上所知，數(shù)學(xué)的研究對象是空間形式和數(shù)量關(guān)系。而當(dāng)一門學(xué)科把它自身作為研究對象時就產(chǎn)生了該門學(xué)科的方法論。我們把數(shù)學(xué)科學(xué)放到它本身的發(fā)展進程中來考察，正是數(shù)學(xué)的高度抽象性，決定了它的應(yīng)用廣泛性。因此，人們常把數(shù)學(xué)看作是精密科學(xué)，但這僅是數(shù)學(xué)的一個側(cè)面。數(shù)學(xué)的另一個側(cè)面卻是鮮為人知的。“因為以前從來就沒有把處于發(fā)現(xiàn)過程的數(shù)學(xué)照原樣提供給學(xué)生。”喬治·波利亞(G.Polya)認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有兩重性，它既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)(從最后被確定的定型的數(shù)學(xué)來看)，又是一門實驗性的歸納科學(xué)(從創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)來看)，因此，“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的這兩個側(cè)面，使學(xué)生受到全面的數(shù)學(xué)教育，忽視數(shù)學(xué)的歸納性的一面的教學(xué)是不完全的數(shù)學(xué)教學(xué)”(8)郁建輝：《對數(shù)學(xué)教育中合情推理教育方法的認(rèn)識》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》1995年第1期，第57-60、78頁。。

另外，運用數(shù)學(xué)方法論的觀點和高級神經(jīng)活動生理學(xué)已有的研究成果分析數(shù)學(xué)思維，我們可以看到，數(shù)學(xué)思維也有兩重性，一類是進行邏輯推理的抽象思維(左腦思維)，另一類是進行合情推理的形象思維(右腦思維)。這后一類思維的具體表現(xiàn)形式是觀察、實驗、類比、聯(lián)想、猜想、不完全歸納等，它們不僅在數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程中起著十分重要的作用，而且廣泛應(yīng)用于社會生活之中。因此，我們不應(yīng)該把數(shù)學(xué)單純地理解為一門工具學(xué)科，而應(yīng)該把它當(dāng)作一種文化形態(tài)來對待，在數(shù)學(xué)教學(xué)中致力于提高人們的一般文化修養(yǎng)。當(dāng)然，要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的這種文化教育功能，就必須采用一定的方式來組織教學(xué)。為此，無錫市教育科學(xué)研究所特級教師徐瀝泉教授領(lǐng)銜設(shè)計了《貫徹數(shù)學(xué)方法論的教育方式，全面提高學(xué)生素質(zhì)》，即MM教育方式的實驗方案。

(二) 數(shù)學(xué)方法論的數(shù)學(xué)教育方式

由引論4可知，數(shù)學(xué)教育的最終目的是在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中全面提高學(xué)生素質(zhì)。因此，從教學(xué)和教育的總目的出發(fā)，從數(shù)學(xué)科學(xué)的特點出發(fā)，從數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)中的地位和作用出發(fā)，從它在現(xiàn)代生活中的意義出發(fā)，我們把“全面提高學(xué)生素質(zhì)”作為MM教育方式的總目標(biāo)，即一級指標(biāo)。其分類表述如下。

A. 通過數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該首先致力于提高學(xué)生的一般科學(xué)素養(yǎng)。即使學(xué)生從數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)會合理地進行思考、清楚地表述思想和有條不紊的工作的習(xí)慣。

B. 增進學(xué)生的社會文化修養(yǎng)。即在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的政治覺悟、辯證唯物主義的思想觀點和為維護社會生活正常秩序而必須具備的良好的行為規(guī)范。

C. 形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)。即使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)基本知識(包括基本技能技巧)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)才智(所謂的“數(shù)學(xué)頭腦”，主要是計算能力、邏輯思維能力和空間想象能力)，發(fā)展數(shù)學(xué)才能(主動獲取數(shù)學(xué)知識和具有廣義應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力)。

問題是，怎樣把數(shù)學(xué)方法論思想有機地融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中去呢？數(shù)學(xué)課不能上成數(shù)學(xué)方法論課。我們把數(shù)學(xué)方法論因子分劃表(見表1)中的MM因子(數(shù)學(xué)方法論因子的簡稱)分離或分解出來，轉(zhuǎn)化為可控的可操作的MM可控變量，即教學(xué)措施。在學(xué)生的參與下，使他們的數(shù)學(xué)意識和素質(zhì)狀態(tài)發(fā)生變化，并且不斷地增強或提高，從而達到全面提高學(xué)生素質(zhì)這一總體目標(biāo)。

MM數(shù)學(xué)教育方式的界定：所謂MM數(shù)學(xué)教育方式，也就是運用數(shù)學(xué)方法論的觀點指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，即應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法，數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新機制設(shè)計和改革數(shù)學(xué)教學(xué)的一種數(shù)學(xué)教學(xué)方式。具體地說就是：教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的2個功能(科學(xué)技術(shù)功能和文化教育功能)；自覺地遵循2條基本原則(既教證明又教猜想的原則&教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)原則)；瞄準(zhǔn)3項具體目標(biāo)(引導(dǎo)學(xué)生自我增進一般科學(xué)素養(yǎng)，提高社會文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)品質(zhì))；自覺地恰當(dāng)?shù)夭僮骱?個可控變量(通俗地說也就是掌握好八項教學(xué)措施：數(shù)學(xué)返璞歸真教育，數(shù)學(xué)審美教育，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法教育，數(shù)學(xué)家優(yōu)秀品質(zhì)教育，數(shù)學(xué)史志教育，演繹推理、合情推理和一般解題方法的教學(xué))，從而達到全面提高學(xué)生素質(zhì)的目的。具體可參見基本操作表和指標(biāo)體系表，其中蘊含了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的深刻內(nèi)涵和豐富外延。(9)徐瀝泉：《教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)——MM方式演繹》，科學(xué)出版社2003年版。它要求教師能站在馬克思主義哲學(xué)辯證思維方法的高度上加以靈活運用，而不是進行機械的操作。更詳細(xì)的詮釋可參閱“MM方式實驗報告”。

為使MM 教育方式蘊含的數(shù)學(xué)觀更加凸顯出來，林夏水研究員將MM基本操作表稍作修改，從而一目了然地顯示出MM因子蘊含的數(shù)學(xué)觀，勾勒出如下的對應(yīng)(見表2)。林先生說：“這表明MM教育方式是具有充分的哲學(xué)理論根據(jù)的?！?/p>

表2 MM因子蘊含的數(shù)學(xué)觀對應(yīng)表

四、 MM實驗

數(shù)學(xué)方法論是徐利治教授開創(chuàng)的，原則性高，普適性強。馬克思指出，一門科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達到了真正完善的地步。那么，數(shù)學(xué)教學(xué)為什么就不能應(yīng)用數(shù)學(xué)本身的思想方法組織教學(xué)呢？對數(shù)學(xué)教育來說，這應(yīng)該是“近水樓臺先得月”。

1989年5月在無錫首開MM教育方式的實驗，分別于1994年和2001年兩次通過了由江蘇省教委(教育廳)委托的以王梓坤院士為首的鑒定組的鑒定，均得到了高度評價。(10)馬思援：《一項數(shù)學(xué)教育實驗通過專家鑒定》，《中國教育報》1994年12月31日，教育科學(xué)版。鑒定組認(rèn)為，這種數(shù)學(xué)教育方式在大、中、小學(xué)以及職教和成人教育中，都是可行的、有效的，值得繼續(xù)實驗和大力推廣。從此，由它確證的MM教育方式開始在全國推廣，由高中階段擴大到小學(xué)、初中、大學(xué)和成人教育等各級各類學(xué)校。

“教學(xué)·研究·發(fā)現(xiàn)同步協(xié)調(diào)”和“既教證明又教猜想”是MM教育方式的兩條基本原則。張奠宙教授指出，“既教證明又教猜想”是MM教育方式的“畫龍點晴之作”。MM教育方式一方面徹底改變了學(xué)生學(xué)習(xí)的被動局面，為他們提供了正確的思想方法和學(xué)習(xí)方法，使他們對數(shù)學(xué)知識的探索規(guī)律產(chǎn)生濃厚興趣，整個教學(xué)過程也就融入發(fā)明發(fā)現(xiàn)的主旋律之中；另一方面在方法論的意義上，中小學(xué)數(shù)學(xué)不再局限于初等數(shù)學(xué)這一小塊彈丸之地，而與整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域連成一片，這就為學(xué)生吸取數(shù)學(xué)科學(xué)中的現(xiàn)代思想，自我增進現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的文化素養(yǎng)開辟了一塊良好的運動場。(11)倪瑞榮，周家禧等:《發(fā)現(xiàn)的設(shè)計&發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》1996年第2期，第24-28頁。

MM教育方式至今已32年。它的主要成果如下：

已出版專著編著數(shù)十部，發(fā)表專題論文千余篇；圍繞推廣應(yīng)用MM教育方式的全國性學(xué)術(shù)會議已召開12次，部分省市還專門建立了實驗基地；由新疆昌吉州教研中心組織實施的MM子課題(《TEC教學(xué)》)獲新疆維吾爾自治區(qū)哲學(xué)社會科學(xué)優(yōu)秀成果一等獎；師范院校是教師的發(fā)源地，許多數(shù)學(xué)教育專業(yè)的研究生在其導(dǎo)師的指導(dǎo)下，以MM教育方式為選題完成學(xué)位論文，這就從源頭上解決了教師的專業(yè)成長問題，一支既能勝任教學(xué)又能從事科研的新型的數(shù)學(xué)教師隊伍正在形成，其中，中國知網(wǎng)發(fā)布的MM教育方式優(yōu)秀碩士學(xué)位論文已由江蘇鳳凰教育出版社結(jié)集出版——《MM方式全國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文選輯》(12)唐志華編著：《MM方式全國優(yōu)秀碩士學(xué)位論文選輯》，江蘇鳳凰教育出版社2019年版。。

五、 MM教育方式的生命力之所在及其創(chuàng)造性貢獻

從20世紀(jì)80年代開始，一方面我國的教育事業(yè)走上了蓬勃發(fā)展的道路，另一方面由于盲目追求升學(xué)率的錯誤傾向，出現(xiàn)了“千軍萬馬過獨木橋”的現(xiàn)象，“題海戰(zhàn)術(shù)”愈演愈烈，數(shù)學(xué)教育是首當(dāng)其沖，教材內(nèi)容匆匆上完，然后就是不斷刷題，選學(xué)內(nèi)容不選學(xué)，必學(xué)內(nèi)容也未必學(xué)。

為了改變這種被扭曲了的不合理的惡性循環(huán)狀況，有識之士都作出了不懈的努力，各種數(shù)學(xué)教改方案也如雨后春筍般地涌現(xiàn)出來，MM方式也在那時應(yīng)運而生了。但大浪淘沙，多少“實驗”被淘汰，又有多少“教學(xué)法”銷聲匿跡，幾乎只有“MM教育方式”生存了下來，而且得到蓬勃發(fā)展！由中學(xué)發(fā)展到小學(xué)、職校和普通高校，由無錫推廣到全國；實驗班由幾十個發(fā)展到兩千多個，光新疆各地州市，就有400多位老師在800多個教學(xué)班進行MM實驗。不僅如此，MM教育方式還傳播到海外，在丹麥?zhǔn)锥几绫竟匍_的第10屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME-10)上進行介紹。

那么，為什么MM教育方式會取得如上所述的可喜成果？人們不禁要問：它如此誘人的魅力和強大的生命力在何處？林夏水研究員通過跟蹤MM實驗的設(shè)計思路和揭示MM教育方式蘊含的數(shù)學(xué)觀，得出了下面的答案：它是數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育實踐結(jié)合的產(chǎn)物，同時它又蘊含著多種數(shù)學(xué)觀并體現(xiàn)了一種新的數(shù)學(xué)教育觀，表明它具有深刻的哲理根據(jù)，其奧妙就在于，它寓數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)思想方法于數(shù)學(xué)教學(xué)之中。這就是它具有強大生命力的根本原因。

辯證唯物主義認(rèn)為實踐是認(rèn)識的基礎(chǔ)，但認(rèn)識對實踐具有反作用。辯證唯物主義的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)教學(xué)觀是人們對數(shù)學(xué)科學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的正確反映，馬克思主義哲學(xué)指導(dǎo)我們提出了數(shù)學(xué)教學(xué)改革的正確方案，而MM實驗對數(shù)學(xué)教學(xué)改革又起著巨大的推動作用。例如，構(gòu)成MM教育方式的8個可控變量的第一個是“數(shù)學(xué)的返璞歸真教育”，它實際上是“再現(xiàn)或創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的情境”。貫徹這個可控變量，就可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的數(shù)學(xué)發(fā)展觀；就可以使抽象而枯燥的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)變成具體而生動的數(shù)學(xué)教育形態(tài)；就可以讓學(xué)生具體地學(xué)到數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新思想，并從中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思想品質(zhì)以及數(shù)學(xué)史；就可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣、主動性，自覺地培養(yǎng)自己發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和創(chuàng)新的能力，即發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力以及解決問題所需要的各種方法(包括合情推理、演繹推理以及一般解題方法)。長期在全國各地推廣MM實驗的我國著名特級教師楊世明先生說：一線數(shù)學(xué)教師在MM實驗中感受最深的是，或隱或現(xiàn)地融于數(shù)學(xué)教材之中的數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)思想方法使數(shù)學(xué)教學(xué)變得有血有肉；而缺乏數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)教學(xué)使數(shù)學(xué)變成枯燥無味的抽象物，無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，效果往往不盡人意。

數(shù)學(xué)方法論的理論研究一旦與數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐相結(jié)合，就能最有效地揭示數(shù)學(xué)“趣、美、真”的特點，“趣”者，來自實踐返回生活，有血有肉生動活潑，合乎情理順乎自然之所謂也；“真”者，內(nèi)容的抽象，形式的簡潔，應(yīng)用的廣泛，結(jié)論的明確無誤和推理的嚴(yán)密；“美”即數(shù)學(xué)的廣泛聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律，因此，它能從多方位多渠道發(fā)揮對人的教育作用。至于它為什么在“題海戰(zhàn)術(shù)”盛行之時能立于不敗之地，是因為解題方法論正是來自于對學(xué)生解題的觀察和研究，“解題”正是它的拿手好戲。

那么，為什么它又會如此突出而又明顯地具有既能提高學(xué)生又能提高教師，使教學(xué)雙方都能獲益的雙重作用？為什么在實踐過程中執(zhí)教者們又會發(fā)自內(nèi)心地感受到“教師自己的提高更大于學(xué)生的提高”呢？這是因為這種教育方式較之其他一些教學(xué)方式更能緊密地結(jié)合和充分運用數(shù)學(xué)本身的特點，所以它能更有效地喚起教師自身的教學(xué)經(jīng)驗，從而提高他們的教學(xué)積極性，這使我們體會到只有當(dāng)教育科研的選題方向預(yù)示著教師本身的提高方向時，才能使一種先進的教育理論轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃邆兊淖杂X行動，才能使師資隊伍的培訓(xùn)和建設(shè)更具有現(xiàn)實意義。MM實驗促使教師站到學(xué)科教育的最前沿，且通過“讀書—報告—備課—觀摩—評議—小結(jié)”這樣一種學(xué)習(xí)和研究的途徑，無異于為他們的繼續(xù)教育和在職提高創(chuàng)辦了一所開放型的函授大學(xué)。

另外，教師的教和學(xué)生的學(xué)總是緊密地聯(lián)系在一起的(它們處于同一教學(xué)系統(tǒng)之中)，正如陶行知先生所言，教的法子必須根據(jù)學(xué)的法子。由于這種教育方式能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性，因而解除了由于學(xué)生的厭學(xué)而帶來的煩惱，師生都從研究科學(xué)方法論和數(shù)學(xué)方法論尤其是解題方法論中獲益，擺脫了“題?！钡牧b絆，從而為教師的業(yè)務(wù)進修和教育科學(xué)理論的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了條件，促使教學(xué)進入良性循環(huán)。

由于數(shù)學(xué)方法論本身是一門新興的數(shù)學(xué)分支，它汲取了現(xiàn)代科學(xué)、現(xiàn)代哲學(xué)的新成果，又緊緊地扣住了數(shù)學(xué)本身的特點，因此這門學(xué)科還具有時代特點和國情特色。MM課題正是以此作為其重要的理論基礎(chǔ)，故它的選題得當(dāng)，能滿足社會實踐和數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，具有先進性、新穎性、獨創(chuàng)性、突破性和研究內(nèi)容的廣泛性；能引起國內(nèi)外專家、學(xué)者的關(guān)注和重視，得到他們的指導(dǎo)和幫助，從而又具有參與度高、認(rèn)同廣泛一致和便于推廣的特點，所以一開始就表現(xiàn)出它的生命力，短期內(nèi)便有成效。

早在1997年底，美國蒙哥馬利大學(xué)數(shù)學(xué)系教授、美籍華人章雪藻女士回國訪問期間，從北京的報刊上了解到無錫正在進行的MM實驗，就專程來錫考察與訪問了當(dāng)時正在組織和進行MM實驗的學(xué)校。她回國后寫來了一封熱情洋溢的信，說：“在無錫，看到我的同行們工作是那么地帶勁，有成效。很是受鼓舞……，我羨慕你們，辛勤勞動不僅自己獲得成就滿足，自己成長，你們的血汗滴在自己的土地上，你們的成長融在祖國的成長中?！?/p>

2007年5月17-19日，柏林自由大學(xué)K. D. 格拉夫教授應(yīng)邀到北京講學(xué)之前，也從香港先專程到無錫訪問、考察了MM實驗，他與實驗學(xué)校的師生進行了座談。最后，他特別認(rèn)真地把他的感受寫下來，對MM實驗給予充分肯定與贊揚。

王梓坤院士非常重視MM教育方式，他說：MM數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)方法系國內(nèi)首創(chuàng)，是數(shù)學(xué)界的重要創(chuàng)新，它不僅有充足的理論依據(jù)，而且在相當(dāng)廣泛的范圍內(nèi)取得了很好的實際效果。

中國社科院科技哲學(xué)室資深研究員林夏水先生在他的《MM方式的生命力》一文中著重從數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)方法論的一致性角度， 探討了MM方式的生命力。他指出，MM方式既是一種新的數(shù)學(xué)教育方式，也是一種新的數(shù)學(xué)教育觀。設(shè)計者獨創(chuàng)性地把抽象的數(shù)學(xué)觀有機地融入了數(shù)學(xué)教育。MM教育方式已被載入中國哲學(xué)社會科學(xué)發(fā)展史冊(13)董誼思主編：《中國哲學(xué)社會科學(xué)發(fā)展歷程回憶(哲學(xué)宗教學(xué)卷)》，載林夏水：《數(shù)學(xué)哲學(xué)發(fā)展的回顧》，中國社會科學(xué)出版社2014年版，第250-263頁。，當(dāng)然也已經(jīng)載入我國數(shù)學(xué)教育的史冊。

MM教育方式源于教學(xué)又高于教學(xué)。概括地說，它做出的創(chuàng)造性貢獻如下。

【理論創(chuàng)新】如大家所知，馬克思從研究商品開始創(chuàng)立了科學(xué)社會主義的理論體系，其代表作是《資本論》和《反杜林論》?！吧唐贰边@個東西每人每天都要碰到多少次，但在馬克思和恩格斯之前，沒有人專門把它作為一種研究對象，深刻地剖析它。

波利亞從研究解題開始，把解題上升到哲學(xué)的高度，創(chuàng)立了科學(xué)方法論，其代表作是《怎樣解題》《數(shù)學(xué)的猜想》和《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等。“解題”，作為學(xué)生和老師，沒有人比他們再熟悉不過的了，但在波利亞之前，沒有人專門系統(tǒng)深刻地把解題作為研究對象，全身性地考察它。

在中國，徐利治運用辯證唯物論的認(rèn)識論和反映論觀點，把數(shù)學(xué)本身作為研究對象，在大學(xué)層面上首開數(shù)學(xué)方法論的研討與應(yīng)用，并在理論上把數(shù)學(xué)方法論從科學(xué)方法論和科學(xué)哲學(xué)中分離出來，作為一個單獨的數(shù)學(xué)分支。

誠如天津大學(xué)運懷立和寶坻教研中心楊世明所說，在MM方式誕生之前，沒有人具體地解決如何把數(shù)學(xué)方法論用于數(shù)學(xué)教學(xué)的問題，更沒有把它作為一種教學(xué)的方式方法。MM實驗的設(shè)計者，由于弄清了由數(shù)學(xué)方法論基本原理到學(xué)生素質(zhì)的轉(zhuǎn)換機制，從而解決了MM能夠成為一種教育方式的核心問題，并且決定了它的類公理化而又非模式化特征。(14)運懷立，楊之：《MM教育方式與當(dāng)代數(shù)學(xué)教育》，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》2005年第4期，第74-77頁。其轉(zhuǎn)換器如圖1所示：

圖1 數(shù)學(xué)方法論到MM方式轉(zhuǎn)化流程圖

數(shù)學(xué)方法論屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇。MM教育方式的理論與實踐，是我國本土的產(chǎn)物，它具有內(nèi)容的前沿性、觀點的深刻性、理論價值和研究方法創(chuàng)新等特點。它的理論基礎(chǔ)是辯證唯物論的認(rèn)識論與反映論觀點指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)方法論。

【實踐創(chuàng)新】正由于MM教育方式的理論創(chuàng)新，從而也帶來了它的實踐創(chuàng)新。由上可知，MM課題的設(shè)計者和實驗教師把數(shù)學(xué)方法論貫徹到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，把它變成了一種可以操作的數(shù)學(xué)教育方式。正是由于數(shù)學(xué)方法論的原則性高，所以它的應(yīng)用廣泛。西南大學(xué)教育學(xué)部魏曉虹以“MM方式及其對幼兒園數(shù)學(xué)教育的啟示”為題，呼吁人們把它應(yīng)用于幼兒園的數(shù)學(xué)教育之中。(15)魏曉虹：《MM教育方式及其對幼兒園數(shù)學(xué)教育的啟示》，《教育探究》2014年第5期，第31-34頁。試問，在我國有哪一個數(shù)學(xué)教育科研項目能一以貫之地從幼兒園、小學(xué)，一直被推廣應(yīng)用到大學(xué)？從基礎(chǔ)教育推廣應(yīng)用到職業(yè)教育和成人教育等各級各類學(xué)校？“絕后”不敢說，“空前”應(yīng)該沒問題。

【科學(xué)發(fā)現(xiàn)】有發(fā)現(xiàn)的設(shè)計必有發(fā)現(xiàn)的經(jīng)歷。MM教育方式中一般解題方法的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)亟M織抽象分析法的教學(xué)，由經(jīng)驗歸納再用演繹推理達到數(shù)學(xué)中的再創(chuàng)造再發(fā)現(xiàn)。在這方面課題組已經(jīng)出了大批成果。

【結(jié)束語】MM教育方式，運用辯證唯物論的反映論觀點，應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學(xué)的思想方法和數(shù)學(xué)中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新的觀點設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)，既教證明又教猜想，使教學(xué)、研究、發(fā)現(xiàn)同步。實現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法論在不同層次上基本理念的貫通、數(shù)學(xué)教學(xué)從小學(xué)到大學(xué)的貫通和數(shù)學(xué)科學(xué)中高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的貫通。MM方式實現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)哲學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀的貫通，數(shù)學(xué)與人文科學(xué)的貫通，數(shù)學(xué)與認(rèn)知科學(xué)和思維科學(xué)的貫通。

為了完成時代賦予MM實驗的新的更高的使命，2019年11月29日至30日，全國第12屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會暨MM實驗30周年紀(jì)念活動在無錫舉行，來自全國各地的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、專家學(xué)者和教師研討當(dāng)前數(shù)學(xué)教育方法，展望未來發(fā)展之大計，意在提煉“MM實驗”成功的經(jīng)驗，立足當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂，發(fā)掘優(yōu)秀的MM教育方式案例，吸收其他優(yōu)秀教育理論的精髓并加以融會貫通，并在總結(jié)、反思和探索中，凝練MM教育思想，讓MM教育方式在傳承中發(fā)揚光大。MM教育方式定能成為中國數(shù)學(xué)教育的品牌。《數(shù)學(xué)通報》全文刊登了會議紀(jì)要(16)華志遠：《MM 教育方式的源與流》，《數(shù)學(xué)通報》2020年第8期，第32-35頁。，《人民日報》發(fā)布了新聞稿(17)錢一彬：《數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會舉行》，《人民日報》2019年12月3日，國內(nèi)新聞版。。