張海俠

(許昌學院 數理學院,河南 許昌 461000)

亞純函數的正規(guī)族理論是復分析的一個重要組成部分,也是研究復分析問題的一個主要工具.上世紀初廣泛應用在復動力系統(tǒng)中.P.Montel引進了正規(guī)族的概念并且給出了一個判定函數族正規(guī)的基本定則,即Montel正規(guī)定則，1931年F.Marty在Montel定則的基礎上建立了另一個著名Marty正規(guī)定則.后來,陳懷惠和顧永興[1]對Marty定則進行了推廣與改進.W.Schwick[2]把亞純函數正規(guī)族與分擔值結合起來考慮亞純函數正規(guī)族理論問題,研究發(fā)現分擔值與正規(guī)定則之間的聯系，隨后,FANG M L等[3],PANG X C等[4],FANG M L等[5]把雙向分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規(guī)性問題并取得了一系列的研究成果，把單項分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規(guī)性問題，得到與導數有單向分擔值的亞純函數族的正規(guī)定則.

1 預備知識

設f(z)和g(z)是區(qū)域D內的兩個亞純函數,a是一個復數,若f(z)-a與g(z)-a在D內有相同的零點,則稱f(z)與g(z)在區(qū)域D內分擔a,或稱IM分擔a.記為

f(z)=a?g(z)=a.

如果f(z)-a的零點為zn(n=1,2,…),且zn(n=1,2,…)也是g(z)的零點(不計重數),則記為

f(z)=a?g(z)=a.

引理4[7](Hurwitz定理) 設函數序列{fn(z)}在區(qū)域D內解析,并且在D內閉一致收斂到一個不恒為零的函數,γ是D內可求長的閉曲線,其內部屬于D,且不經過f(z)的零點,則存在正整數N,使得當n≥N時,在γ內部,fn(z)和f(z)的零點個數是相同的.

引理5[8]設F是區(qū)域D上的亞純函數,且h(z)為D上的亞純函數,k∈N若對于任意的z∈D,有h(z)≠0，假設對任意的f∈F，滿足f(z)=0?f′(z)=h(z)?|f″(z)|≤c(c為常數)，則F在D上正規(guī).

引理7[10]若F滿足引理5的條件,則F在D-0上正規(guī).

2 亞純函數的正規(guī)性

2005年,張國明、孫偉、龐學誠給出了下面結論：

命題[8]設F是平面上區(qū)域D上的亞純函數族,如果對于任意的f∈F,都有

f(z)=0 ?f′(z)=z? |f″(z)|≤c,

其中c為常數且f(0)≠0，則F在D上正規(guī).

該結論是把雙向分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規(guī)性問題，若把單項分擔值與導數結合起來考慮亞純函數的正規(guī)性問題，將得到一個新的有價值的新結論，即是與導數有單向分擔值的亞純函數族的正規(guī)定則.

定理1 設F是區(qū)域D上的一族亞純函數,若對于任意的f∈F,有

(1)f(z)=0?f′(z)=z?f″(z)=0.

(2)若f(0)≠0，則F在D上正規(guī).(不再限制零點的級).

在復平面C的意緊子集上依球面距離內閉一致成立，其中，g為非常數的整函數g#(ζ)≤g#(0)=2.

因此，g(ζ)=0?g′(ζ)=1.

g(ζ)=0 ?g′(ζ)=1 ?g″(ζ)=0，

由引理2,引理3知g(ζ)=ζ-b,所以g#(ζ)≤1與g#(0)=2矛盾，從而結論成立.

類似方法(ⅰ)，可得出G=0 ?G′=z?G″=0.

(2)若G為多項式，結合G′(ζ)=ζ為非常數,則G的次數k至少為2.

若G(0)≠0,由G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ,所以G的零點均為單零點.

又因G的次數為k,知方程G(ζ)=0有k個不同的解,而方程G′(ζ)=ζ有k-1個不同的解,與G(ζ)=0 ?G′(ζ)=ζ矛盾，所以，G(0)=0且G′(0)=0,ζ=0為G(ζ)的至少二重零點.

由此可見，g#(0)≤1與g#(0)=2矛盾.則F1在z=0處正規(guī)，從而定理結論(2)成立.

通過上面的討論可以看到，在利用亞純函數正規(guī)族的有關理論、亞純函數正規(guī)族及其導數與分擔值結合考慮的前提下,得出了涉及導數與單向分擔值的亞純函數的正規(guī)性定理,把亞純函數正規(guī)性的范圍做了一些推廣,得到了關于亞純函數正規(guī)性的重要理論結果.