王芬玲，趙艷敏，史艷華，曹方方,2

(1.許昌學(xué)院 數(shù)理學(xué)院,河南 許昌 461000;2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450001)

近年來,對于分布階偏微分方程的研究引起了越來越多專家學(xué)者的關(guān)注，它已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于復(fù)合材料的流變特性、信號控制和處理、高分子聚合物、核磁共振以及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.由于該模型的精確解不易求得，因而求它的數(shù)值解是有效的方法.例如，[1]給出了空間分布階的擴(kuò)散方程有限體積法；[2]提出了一類時(shí)空有限元方法去解決相關(guān)的問題；[3]針對具有光滑和非光滑初始條件的時(shí)間分布階擴(kuò)散方程，建立了有限元全離散格式并進(jìn)行了誤差分析；[4]給出了具有非線性源項(xiàng)時(shí)間分布階的反應(yīng)擴(kuò)散方程的數(shù)值算法；[5]針對時(shí)間多項(xiàng)分?jǐn)?shù)和空間分布階波動(dòng)方程在非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格下得到最優(yōu)誤差估計(jì).但以上的研究成果僅限于分布階偏微分方程收斂性分析方面的討論.

討論一類含變系數(shù)的二維時(shí)間分布階擴(kuò)散方程高效混合有限元逼近問題.首先，借助Gauss積分對分布階算子進(jìn)行近似，將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程.進(jìn)而，空間方向原始變量和中間變量利用雙線性元Q11(K)和Q01(K)×Q10(K)元逼近，時(shí)間方向用修正的L1公式構(gòu)造了全離散格式.然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明了在H1模意義下該格式的穩(wěn)定性，基于雙線性元和Q01(K)×Q10(K)元的高精度結(jié)果和分?jǐn)?shù)階估計(jì)技巧導(dǎo)出了超逼近結(jié)果.最后，利用插值后處理技巧得到了相關(guān)變量的超收斂性質(zhì).

考慮一類具有變系數(shù)的二維時(shí)間分布階擴(kuò)散方程為

(1)

1 有限元構(gòu)造和變分形式

Qij=span{xrys,0≤r≤i,0≤s≤j}.

插值算子Ih,Πh和投影算子Rh的定義為

(2)

(3)

引理1[6].假設(shè)u∈H3(Ω)，則有(?(u-Ihu),?vh)=O(h2)|u|3|vh|1,?vh∈Vh.

2 逼近格式

由Gauss積分，則時(shí)間分布階導(dǎo)數(shù)的逼近格式為

對時(shí)間區(qū)間[0,T]進(jìn)行劃分，步長τ=T/N,且tn=nτ,(n=0,1,…,N)，u(X,t)是[0,T]上的光滑函數(shù)，引入下面幾個(gè)記號為

(4)

3 穩(wěn)定性分析

(5)

(6)

(7)

將式(6)和(7)代入式(5)中，且運(yùn)用Cauchy-Schwartz不等式，則式(5)可表示為

(8)

由式(8)，且利用Cauchy-Schwartz不等式和Young’s不等式，可得

(9)

(10)

(11)

利用數(shù)學(xué)歸納法來證明下面的不等式

(12)

(13)

則式(12)成立.

(14)

從而式(14)可變形為

(15)

(16)

即式(12)在n=r+1也成立，在此利用模的等價(jià)性定理1的第一個(gè)結(jié)論得證.

(17)

4 超逼近和超收斂分析

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

由引理4可得

(23)

由式(18)-(23)，則有

(24)

(25)

利用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的不等式成立.

(26)

(27)

‖ηn‖1=‖Rhun-Un‖1≤C4(h2+τ2-αL+L-L-1).

(28)

根據(jù)引理2和式(28)得

‖Ihun-Un‖1≤‖Ihun-Rhun‖1+‖ηn‖1≤C5(h2+τ2-αL+L-L-1).

(29)

(30)

由引理2和引理3，且利用Cauchy-Schwartz不等式和Young’s不等式，可得

(31)

(32)

(33)

定理3 在定理2的條件下有如下超收斂結(jié)果

證明由引理6可知，‖un-I2hUn‖1≤‖un-I2hIhun‖1+‖I2hIhun-I2hUn‖1≤C(h2+τ2-αL+L-L-1).