郭思嘉 李昱增 李天梓 范喜迎 邱春印

(武漢大學物理科學與技術學院,武漢 430072)

二維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型是在拓撲物理領域受到廣泛研究的一種模型,具有許多獨特的物理性質.它屬于高階拓撲絕緣體,在第二條和第三條能帶間會產生具有連續(xù)譜束縛態(tài)(bound states in the continuum,BICs)性質的角態(tài).本文首先介紹了二維SSH 模型的拓撲性質,在此基礎上論證了第二條和第三條能帶何時會在整個布里淵區(qū)上產生能隙.隨后,計算了模型的電荷極化分布和電荷密度分布,證明了當x 方向上胞內躍遷幾率和胞間躍遷幾率較大時,x 方向的邊緣電荷極化激發(fā)了y 方向的邊緣態(tài),反之亦然.同時,邊緣電荷極化激發(fā)了角上的異常填充,產生了具有良好局域性與魯棒性的拓撲角態(tài).最后,構建了一種聲學諧振腔模型,并證明了該模型可以較好的模擬各向異性二維SSH 模型的拓撲性質.

1 引言

拓撲學是數(shù)學領域的一個重要分支,主要研究幾何圖形或空間在連續(xù)形變下的不變性質.拓撲學進入物理領域的標志是凝聚態(tài)物理中整數(shù)量子霍爾效應的發(fā)現(xiàn):1980 年Klitzing 等[1]在強磁場中第一次發(fā)現(xiàn)了量子化的霍爾電導,緊接著在1982 年Thouless 等[2]指出霍爾電導來源于能帶的非平庸拓撲性質.量子化霍爾電導的發(fā)現(xiàn)賦予了拓撲學全新的物理意義,由此拓撲物理學作為一個新興領域得到了廣泛關注.在拓撲學研究中一般用拓撲不變量描述拓撲物態(tài)的性質:當兩種具有不同拓撲不變量的界面接觸時,會產生空間局域化的邊界態(tài).除非帶隙關閉,系統(tǒng)的拓撲不變量在擾動或變形下保持不變,因此拓撲保護的邊界態(tài)具有抗邊界無序的魯棒性和單向傳播的邊緣態(tài)等新穎的物理性質[3-9].用于描述聚乙炔原子鏈的一維Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型是具有非平庸拓撲性質的最簡單模型,它是一種具有交錯躍遷幾率的無自旋費米子模型,特點是當胞間躍遷幾率v大于胞內躍遷幾率w時,會產生一對局域在有限長SSH鏈兩端點的態(tài),即拓撲孤子態(tài);當v小于w時,拓撲孤子態(tài)消失.這一現(xiàn)象可由拓撲不變量“纏繞數(shù)”(winding number)進行描述:當v ＞w時,纏繞數(shù)為1,體系對應拓撲非平庸;當v＜w時,纏繞數(shù)為0,體系對應拓撲平庸.這兩種不同的拓撲相不能在不關閉帶隙的前提下絕熱地相互轉換.

近年來隨著對拓撲物態(tài)的進一步研究,人們提出了高階拓撲絕緣體(high order topological insulators,HOTIs)的概念[10,11].高階拓撲絕緣體的“高階”主要體現(xiàn)在其獨特的體-邊界對應關系上.對于d維的傳統(tǒng)拓撲絕緣體,一般具有 (d-1) 維邊界態(tài);而d維的n階拓撲絕緣體具有 (d-n) 維邊界態(tài),n滿足 1≤n≤d.研究表明,作為一維SSH 模型的擴展,在二維方向具有躍遷幾率交替變化的體系可擁有高階拓撲特性.典型的代表包括電四極子模型、Kagome 晶格模型、方形晶格模型等[12-27],它們可支持零維的角態(tài)[28,29].對于這類模型,早期的研究集中于其第一、二條(或第三、四條)能帶間的邊緣態(tài)與角態(tài)[30-36];最近,隨著研究的深入,人們發(fā)現(xiàn)了在第二條和第三條能帶之間的角態(tài).特別地,當模型具有手性和C4對稱性時[37-41],這種角態(tài)是一類連續(xù)譜束縛態(tài)(bound states in the continuum,BICs)[42-51].因此,對于這種角態(tài)的拓撲性質的系統(tǒng)性研究顯得尤為必要.

高階拓撲絕緣體的拓撲相變已經有了一套標準化的描述方法,如通過威爾森循環(huán)(Willson loop)方法計算電四極矩(三維模型為電八極矩),從而得到其電荷極化與分數(shù)電荷.又如通過計算的Zak phase 來區(qū)分不同的拓撲態(tài).但以上的方法都有其局限性,無法解釋二維SSH 模型中角態(tài)是如何產生的.就此,本文主要做了以下工作:1) 打破二維SSH 模型的各向同性,并在各向異性體系中,找到了第二條和第三條能帶間存在完全帶隙的情形;2) 在帶隙打開的前提下,通過求解半無限大條帶模型的混合瓦尼爾函數(shù)問題計算系統(tǒng)的電荷極化空間分布,并進而計算電荷密度分布,尋找其與電荷極化分布的對應關系;3) 驗證了邊緣電荷極化與分數(shù)電荷(fractional charge)和二維SSH 模型中分布于能隙內部的邊緣態(tài)與角態(tài)的對應關系,以此為依據(jù)解釋了這類邊緣態(tài)與角態(tài)的產生機理;4) 構建了一種聲學諧振腔模型,并通過改變諧振腔之間導管的直徑來控制格點之間的躍遷幾率,從而使其可以模擬不同參數(shù)的SSH 模型.最后計算證明其確實可以模擬各向異性二維SSH 模型的拓撲性質.

2 二維方形晶格SSH 模型

2.1 二維SSH 模型簡介

一般的二維SSH 模型示意圖如圖1(a),陰影區(qū)域代表單個原胞的范圍,wx,wy代表各原子間x方向和y方向的胞間躍遷;vx,vy代表x方向和y方向的胞內躍遷.我們給出一般二維SSH 模型在坐標空間中的哈密頓量:

圖1 (a) 二維SSH 模型原胞示意圖;(b) 二維SSH 模型在倒空間的示意圖;(c) 二維SSH 模型的相圖.圖中黑色,綠色,藍色五角星標記了三種典型的拓撲相,其代表的參數(shù)(α,β)分別為 (1.5,3),(2,3),(2.5,3) ;(d)圖1(c)中黑色五角星代表的模型的帶結構圖,紅色圓形標記了高對稱點X 上第二條和第三條能帶的變化過程;(e) 綠色五角星代表的模型的帶結構圖;(f) 藍色五角星代表的模型的帶結構圖Fig.1.(a) Schematic diagram of the original cell of the 2D SSH model;(b) schematic diagram of the 2D SSH model in inverse space;(c) phase diagram of the 2D SSH model.The black,green and blue pentagrams in the figure mark the three typical topological phases with the parameters (α,β)as (1.5,3),(2,3)and (2.5,3) respectively;(d) a diagram of the band structure of the model represented by the black pentagram in Fig.1(c),and the red circles mark the evolution process of the second and third energy bands at the high symmetry point X;(e) band structure for the model represented by the green pentagram;(f) band structure for the model represented by the blue pentagram.

其中a,b,c,di,j標定了x方向第i個原胞和y方向第j個原胞中的4 種不同原子.令h.c.為0,對其進行傅里葉變換,可以得到動量空間中的哈密頓量:

求解其本征值問題可得到色散關系:

二維SSH 模型的第一條能帶與第二條能帶間存在著拓撲邊緣態(tài),其拓撲性質由胞內躍遷與胞間躍遷的比值決定:1) 當vx/wx ＞1 且vy/wy ＞1時,存在沿x方向和y方向分布的邊緣態(tài);2) 當vx/wx ＞1且vy/wy＜1或vx/wx＜1且vy/wy ＞1時,存在沿y方向或沿x方向分布的邊緣態(tài);3) 當vx/wx＜1且vy/wy＜1,不出現(xiàn)邊緣態(tài)[52].

2.2 二維各向異性SSH 模型中的拓撲相變

改變模型的參數(shù),即控制wx與wy,vx與vy的比例,可以打開第二條能帶和第三條能帶間的帶隙.在這一過程中存在著拓撲相變,當帶隙完全打開時,會發(fā)現(xiàn)存在著國定在零能處的角態(tài).

首先需要確定拓撲相變會在何時出現(xiàn).我們構建了一組參數(shù)α和β,在保持wy1 的同時令

可以看出:若wx ＞wy,則α ＞1,α越大,代表各向異性越強;若wy ＞wx,則 0＜α＜1,α1 時模型為各向同性.同時β越大,代表模型的拓撲性質越強,β＜1時模型為拓撲平庸態(tài),β ＞1 時模型為拓撲非平庸態(tài).

我們規(guī)定躍遷幾率為正實數(shù),以α和β為參數(shù),畫出的所有可能存在模型的相圖,如圖1(c).所有模型被分為三種相:相①中帶隙打開且存在角態(tài),相②中帶隙關閉,相③代表模型處于拓撲平庸,角態(tài)不存在,在本文中不予以討論.由(2)式可知:

若wx ＞wy第二條能帶與第三條能帶的色散關系式為

若wx ＞wy,第二條能帶與第三條能帶的色散關系式為

若wx ＞wy,若需要確保整個布里淵區(qū)內帶隙打開,只需要滿足在高對稱點X處E3(k)＞E2(k),將α,β帶入,可得

若wx ＞wy,同理可得

這便是相①和相②右左兩條邊界曲線的表達式,兩者與α1 相交于無窮遠處.顯然在相①和相②邊界上存在拓撲相變的過程,在這一過程中第二條能帶與第三條能帶能帶間的帶隙逐漸打開.我們在相圖中挑選3組具有代表性的參數(shù)來描繪這一過程:相②;相①和相②的相邊界;相①,分別以黑色,綠色和藍色五角星標記.其參數(shù)(α,β)分別為 (1.5,3),(2,3),(2.5,3) .由(2)式,作出它們在布里淵區(qū)內的色散關系圖,如圖1(d)、圖1(e)和圖1(f)所示.在圖1(d)中,第二條能帶和第三條能帶有兩個簡并點,而在圖1(e)中只剩下一個,在圖1(f)中簡并點完全消失,帶隙完全打開,這與我們推導出的結論相符.

3 邊緣電荷極化與分數(shù)電荷

3.1 電荷極化分布的計算方法

雖然對于二維高階拓撲絕緣體的研究已有一套行之有效的方法,但它們在解釋該角態(tài)產生機理時都存在著困難.例如,之前的研究中已經證明,通過威爾森循環(huán)法計算不同參數(shù)下二維SSH 模型的Zak phase,可以發(fā)現(xiàn)當占據(jù)能帶數(shù)目為1 時,圖1(c)中相②與相③(即拓撲非平庸態(tài)與平庸態(tài))的Zak phase 不同,這一結果可以解釋第一條能帶與第二條能帶間邊緣態(tài)的成因.但當占據(jù)能帶數(shù)目為2 時,如表1 所列,可以看到Zak phase 始終為0.由于該角態(tài)是電子占據(jù)的第一條能帶和第二條能帶共同作用的結果,因此相①和相②間的拓撲相變無法通過計算Zak phase 得到較好的解釋.

表1 運用威爾森循環(huán)法計算二維SSH 模型Zak phase 的結果Table 1.Results of the two-dimensional SSH model Zak phase using the Willson Loop method.

Benalcazar 等[53]也于2017 年提出了一種通過電四極矩計算電子極化與角分數(shù)電荷的方法,并成功解釋了電四極子中的拓撲現(xiàn)象.但將模型量子化時,需要滿足兩個條件:1) 至少要有兩條被占據(jù)能帶;2) 保護體偶極矩的對稱性需要消失.他們通過在緊束縛模型中引入負數(shù)躍遷幾率從而解決了這一問題,但這也意味著該方法無法直接地被套用在二維SSH 模型上.

我們采用另一種方法來計算二維SSH 模型的電荷極化的空間分布[54,55].首先考慮一y方向上有Ny個格點的二維晶格,為了計算x方向的電荷極化分量(該分量是一以y坐標為參量的方程),讓該模型具有沿x方向的周期性邊界條件.由此可給出系統(tǒng)哈密頓量:

其中n∈1···Norb×Ny.假設該二維布洛赫哈密頓量具有沿y方向變?yōu)殚_放邊界,并存在Nocc條被填充能帶,其對應的贗一維哈密頓量hkx有Nocc×Ry條被填充能帶.依此,(5)式中的哈密頓量可對角化:

其中

由此可以給出混合瓦尼爾方程:

這可以讓我們解決(9)式中的沿y方向的混合瓦尼爾函數(shù)問題.特別地,它讓我們可以確定電荷極化是否局域在某一確定格點,即Ry處.電荷極化x方向分量為

對y方向分量,同理有

使用Matlab 軟件對模型進行計算.在計算前,需要對模型哈密頓量進行修正:

其中τ0為 2×2單位矩陣.與(1)式中的H(k) 不同,h(k)中存在著在位能±δτ0,因為在半填充狀態(tài)下,體帶的負能量部分和四個角態(tài)中的兩個已被填充,需要一無限小的在位能±δτ0歷經一系列絕熱變化來打開角態(tài)處的簡并.δτ0的符號決定了哪一條對角線上的角態(tài)被填充.以下統(tǒng)一取δ1×10-4.

為了保證邊緣電荷極化和角分數(shù)電荷存在,選區(qū)的參數(shù)應位于相①中,同時α和β值應盡可能大以加寬能隙,便于觀察態(tài)分布狀況.選取參數(shù)(α,β)(5,4).作為對照,計算了一種拓撲平庸的情形,使用參數(shù)為 (α,β)(5,0.25) .實際計算結果如圖2(a)和圖2(b)所示:在y方向上,py始終為0;在x方向上,僅當Ry1 或Ry20時,px1/2(由于在位能δτ0的存在,計算時會有輕微誤差),說明此時電荷極化大小為1/2 且僅分布在x方向兩端,即模型的邊緣上.以下記這類分布于邊緣的電荷極化為.而在拓撲平庸的情形下,電荷極化無論在哪個方向上都為0.

圖2 電荷極化與電荷密度分布計算結果 (a) 電荷極化分布計算結果.使用的參數(shù)為 α=5,β=4,計算中使用了半無限大的條帶模型,開放邊界的一側計算了有20 個原胞,從左至右分別為電荷極化的x 方向分量和y 方向分量;(b) 拓撲平庸態(tài)下的電荷極化分布.使用的參數(shù)為 α=5,β=0.25 ;(c) 電荷密度分布計算結果,計算中使用了20×20 個原胞;(d) 拓撲平庸態(tài)下的電荷極化分布Fig.2.Calculation result of polarization and charge density distribution:(a) Calculated results of the polarization intensity distribution.The parameters used are α=5,β=4,a semi-infinite strip model is used,and there are 20 primary cells on the side of the open boundary.From left to right,for the x-and y-directional components of the polarization;(b) calculated results of the polarization intensity distribution in topological trival phase.The parameters used are α=5,β=0.25 ;(c) calculated results of the charge density distribution,20×20 unit cells used in the calculation;(d) calculated results of the charge density distribution in topological trival phase.

由于模型本身的C2v對稱性,vy ＞vx時有相似的結論:x方向上不存在邊緣電荷極化;y方向上存在著1/2 的邊緣電荷極化.事實上,只要模型處于圖1(c)的相①中,就會存在大小為1/2 的邊緣電荷極化.

3.2 電荷密度分布與分數(shù)角電荷

接下來將周期性邊界條件替換為開放邊界條件,假設此時存在Nx×Ny個格點.在開放邊界條件下,邊緣電荷極化會被另一方向的開放邊界截斷,從使電荷在各邊界兩端,即四角上累積.這一結論可以通過計算電荷的空間密度分布加以驗證.定義第 (Rx,Ry)個原胞波函數(shù)為un(Rx,Ry,?),其中?標定了原胞中的一個格點.電荷密度分布定義式為

其中un(Rx,Ry,?)是第n個本征態(tài)|un〉的分量.依據(jù)上式,計算模型的電荷密度分布,如圖2(c)和圖2(d)所示.通過計算結果可知,每個原胞內存在著作為背景的 2e電荷密度,這是由于二維SSH 模型是一類半填充模型,每個格點貢獻了1/2 個電子.除此之外,在四角上電荷密度會發(fā)生大小為1/2 突變,將其記為Qcorner.而在拓撲平庸的情形下,電荷密度不會發(fā)生突變.

3.3 分數(shù)電荷與邊緣電荷極化的關系

從圖2(c)不難驗證角電荷Qcorner與邊緣電荷極化存在著對應關系:.這一點可以加以證明:電荷密度ρ定義為偶極矩密度p的負散度:

Qcorner是ρ在整個平面上的積分

化簡過程中使用了斯托克斯定理(Stokes theorem).由以上計算結果可知,在二維各向異性SSH 模型中,電荷極化全部分布在邊緣上,故存在:

這一結果說明在二維各向異性SSH 模型中,Qcorner完全由邊緣電荷極化所產生.

4 邊緣態(tài)與角態(tài)的生成機理

接下來我們希望驗證當能隙打開時,邊緣電荷極化與角電荷同拓撲邊緣態(tài)與角態(tài)具有怎樣的對應關系.使用Matlab 軟件,運用緊束縛原理,計算一具有 20×20 個原胞的模型的態(tài)密度分布.計算結果如圖3(a)所示,可以看到第二條和第三條能帶的能隙中存在著角態(tài)和邊緣態(tài).我們也計算了x方向和y方向的投影能帶,如圖3(b)和圖3(c)所示.圖3(c)顯示位于帶隙內部邊緣態(tài)的沿y方向分布,需要注意的是,圖3(b)顯示沿x方向也存在著邊緣態(tài),且位于第一條能帶與第二條能帶和第三條能帶與第四條能帶內部.由于模型滿足手性對稱,兩類邊緣態(tài)關于零能對稱分布,且角態(tài)固定在零能處.最后分別計算了體態(tài),y方向邊緣態(tài)及角態(tài)的局域密度分布,結果如圖3(d)、圖3(e)和圖3(f)所示.圖中各格點上的強度是對所有存在的體態(tài)、邊緣態(tài)或角態(tài)中同一格點上強度的歸一平均.

由此可以總結:當邊緣上存在著1/2 的電荷極化時,會觀察到對應方向的邊緣態(tài);同時,存在分數(shù)角電荷時,會觀察到固定在零能處的角態(tài).對此我們給出一種解釋:根據(jù)拓撲多極子絕緣體理論,存在邊緣電荷極化時,電荷會在晶格的邊界處聚集.對于所有被占據(jù)的能帶,這種效應會等效于在電荷極化的分布方向上產生偶極矩,從而激發(fā)拓撲邊緣態(tài).值得注意的是,雖然,但如圖3(b)所示,在第一條與第二條能帶及第三條與第四條能帶間仍存在著x方向邊緣態(tài).這是由于在計算邊緣電荷極化時考慮了第一條能帶和第二條能帶的共同作用.而這類邊緣態(tài)由于僅受第一條能帶或前三條能帶(由于手性對稱,兩者等同)產生的電荷極化影響,因此不適用該結論.

同時邊緣電荷極化在全開放邊界下會產生分數(shù)角電荷.在經典的無自旋且具有時間反演對稱性體系中,具有Cn對稱性的二維拓撲晶格絕緣體(topological crystalline insulators,TCIs)的分數(shù)角電荷與異常填充(filling anomaly)有關:這是TCIs 的一種固有拓撲屬性,其產生機理源自滿足電中性和晶體旋轉對稱性所需的電子數(shù)量間的不匹配.二維SSH 模型具有C4或C2對稱性(各向異性模型為C2對稱性),由于該體系處于半填充狀態(tài),每個原胞只提供兩個電子,為了維持自身的晶體對稱性在角上會自發(fā)地出現(xiàn)1/2 的分數(shù)電荷.這類分數(shù)電荷激發(fā)了如圖3(f)所示的角態(tài).由于晶格對稱性的約束,該角態(tài)會被束縛在原位,因此這類角態(tài)具有很好的魯棒性(robustness):一旦發(fā)生偏離,其強度會很快衰減為0.

5 聲學模擬

嘗試利用一組相互連接的聲學共振腔來模擬二維SSH 模型.單個的方形共振腔代表了單一格點,胞內躍遷用共振腔間的水平方形中空導管代替.假設共振腔的外壁是極薄的,并滿足剛性邊界條件,則聲波在共振腔內部會以駐波的形式傳播并不產生耗散.在x,y,z方向上,都會產生無窮多組相互獨立的本征模,大小為各方向基頻的整數(shù)倍.

諧振腔長寬皆為r100 mm,高H340 mm .由于H ?r,可以僅考慮z方向上的z1模,其頻率為 500 Hz(聲速c340 m/s).以最近鄰方式連接的四個共振腔代表了二維SSH 模型的一個原胞,如圖4(a)所示.單個原胞為一邊長為a800 mm 的正方形,兩諧振腔中心的距離為 1/2a.四種不同粗細的導管代表了四種不同的躍遷,分別為44 mm(代表wx),88 mm(代表vx),20 mm(代表wy),40 mm(代表vy).各方向躍遷幾率大小大致與導管直徑的平方成正比,這意味著該模型代表的原胞滿足 (α,β)(5,4),與理論計算所用模型一致.

我們在x方向和y方向添加周期性邊界條件,計算其帶結構,如圖4(b)所示.從圖4(b)可以看到,此時第二條能帶與第三條能帶間的帶隙打開,同時整體帶結構關于500 Hz 呈鏡面對稱.還計算了該模型的態(tài)密度分布,如圖4(c)所示,可以看到模擬計算結果與圖3(a)基本一致.在態(tài)密度分布圖中挑選有代表性的體態(tài),邊緣態(tài)與角態(tài),作出它們的聲壓場分布圖,如圖4(d)—(f)所示,可以看到其與理論計算的強度分布吻合的很好.這說明該聲學諧振腔模型不僅可以模擬二維SSH 模型,次級躍遷對計算結果的影響也比較微弱,能夠較好的符合緊束縛近似.

6 結論

本文研究了各向異性二維SSH 模型的拓撲性質,并在此基礎上探討了一種打開第二條能帶和第三條能帶的簡并,在整個布里淵區(qū)上生成完全帶隙的可行方案.在此基礎上,通過求解半無限大條帶模型的混合瓦尼爾函數(shù)問題來計算電荷極化分布.計算結果顯示,電荷極化僅分布在躍遷幾率較大的方向的邊界上,大小恒為1/2.同時還計算了電荷密度分布,觀察到能隙打開時,電荷密度在四角上存在著大小為 1/2e的突變,進而發(fā)現(xiàn)電荷極化與偶極矩存在著對應關系:,這說明角電荷完全由邊緣電荷極化產生.據(jù)此,我們給出了一種用于解釋各向異性二維SSH 模型中拓撲邊緣態(tài)與角態(tài)產生的理論:引入各向異性后,邊緣偶極矩激發(fā)了拓撲邊緣態(tài);同時在開放邊界下,邊緣偶極矩會使電荷聚集在角上,從而誘導拓撲角態(tài)的產生.這類分數(shù)角電荷屬于異常填充,是模型為了同時保持電中性和自身的晶格旋轉對稱性而自發(fā)形成的.異常填充產生的分數(shù)角電荷具有較好的局域性與魯棒性,這類性質使得此類模型可能在定向傳導以及精確信號傳播等領域具備較好的應用前景.最后,構建了一種聲學諧振腔模型,并運用Comsol 計算,證明了它可以在緊束縛近似下較好的模擬各向異性二維SSH 模型的拓撲性質,這為該模型在聲學及聲子晶體方面的應用找到了一種可能的途徑.