邵明玉，李 濤，馬馳騁，張忠偉，邵素娟

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255000)

流固耦合系統(tǒng)廣泛存在于海洋石油管道、水下設(shè)備、船舶、潛艇和潛射彈道導(dǎo)彈等應(yīng)用中，周圍的流體會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼產(chǎn)生不同程度的影響。在某些情況下，結(jié)構(gòu)會(huì)在流動(dòng)或變深度的流體中振動(dòng)，流體的流動(dòng)速度及浸沒深度會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)產(chǎn)生額外的附加效應(yīng)。為了對(duì)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行抑制或主動(dòng)控制，保證結(jié)構(gòu)安全工作，必須對(duì)結(jié)構(gòu)在時(shí)變流體中的振動(dòng)特性進(jìn)行詳細(xì)分析。

在流固耦合特性研究中，大都忽略流體黏性和時(shí)變特性的影響，將流體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用簡(jiǎn)化為附加質(zhì)量[1]，以分析其對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響，而流體本身的運(yùn)動(dòng)則基于速度勢(shì)理論求解[2-3]。對(duì)于尺寸較大的結(jié)構(gòu)，雷諾數(shù)較大，不計(jì)黏性引起的誤差很小，可以忽略。而對(duì)于微尺度結(jié)構(gòu)，雷諾數(shù)較小，黏性對(duì)結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼均會(huì)產(chǎn)生較大的影響。針對(duì)懸臂梁在黏性流體中的振動(dòng)問題，Blom等[4-5]將梁簡(jiǎn)化為串珠模型，求解了作用在梁上的流體力，分析了梁在黏性流體中的頻率和阻尼。Kirstein等[6]基于N-S方程求解了無限長圓柱體在流體中振動(dòng)時(shí)的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)，并分析了懸臂梁在黏性流體中的振動(dòng)問題。Sader等[7-10]對(duì)圓柱梁的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)進(jìn)行了修正，導(dǎo)出了矩形截面梁的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)，并研究了矩形截面懸臂梁在不同流體環(huán)境中的振動(dòng)特性。隨著計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的發(fā)展，Liu等[11-13]對(duì)梁在流體中的振動(dòng)穩(wěn)態(tài)進(jìn)行了數(shù)值分析，并通過雙向流固耦合方法研究了梁和運(yùn)動(dòng)流體間的相互作用[14]。

目前，懸臂梁流固耦合振動(dòng)研究大都針對(duì)流體所引起的附加質(zhì)量，以及微尺度機(jī)械中黏性的效應(yīng)，而針對(duì)懸臂梁在流動(dòng)或變深度液體中的流固耦合問題則研究較少。

本文基于N-S方程的近似解，導(dǎo)出了懸臂梁在時(shí)變流體中的運(yùn)動(dòng)方程，分析了流體浸沒深度、流動(dòng)速度、黏性及梁幾何尺寸對(duì)流固耦合系統(tǒng)頻率和阻尼的影響，并通過紐馬克-β法求解了懸臂梁在下降流體中的瞬態(tài)響應(yīng)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 幾何模型

懸臂梁在時(shí)變流體中振動(dòng)的流固耦合系統(tǒng)如圖1所示。懸臂梁的下端固定，上端自由，梁的總長度L=180 mm，厚度δ=1 mm，寬度b=10 mm，材料為鋁。流體從容器底部流入或流出，速度為v(t)，沿著梁長度方向(x方向)為正，流體浸沒梁的深度為h(t)。流體的種類為水或重油。

圖1 流圖耦合系統(tǒng)示意圖

1.2 流動(dòng)動(dòng)力學(xué)函數(shù)

懸臂梁在流體中做橫向振動(dòng)時(shí)，梁上作用的流體力可通過周圍流體的N-S方程而求得。忽略質(zhì)量力，不可壓流體的N-S方程和連續(xù)方程可以表示為：

(1)

▽·u=0

(2)

式中：ρf為流體密度；u為流體速度矢量；p表示壓強(qiáng)；μ表示動(dòng)力黏度，假設(shè)為常數(shù)。矩形梁做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，上述方程的理論解難以求得，可通過對(duì)圓柱梁的解修正得到。假設(shè)直徑為b的無限長圓柱在流體中以頻率ω做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其位移為：

u(t)=u0eiωt

(3)

單位長度圓柱體上的流體力可表示為[15]：

(4)

F(t)=mfω2Re(H)u0eiωt+imfω2Im(H)u0eiωt

(5)

將上式寫為圓柱的速度和加速度的函數(shù)，即：

(6)

式中：βa=mfRe(H)，表示流體引起的附加質(zhì)量；βv=-ωmfIm(H)，表示流體阻尼。

流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)H的完整表達(dá)式是一個(gè)復(fù)雜的貝塞爾類函數(shù)[6]，對(duì)于無限大的黏性流體區(qū)域，H可表示為：

(7)

式中：α=iRe，Re=ρfωb2/4μ表示雷諾數(shù)；K0和K1分別是零階和一階的第二類修訂貝塞爾函數(shù)。對(duì)于雷諾數(shù)足夠大的無限黏性流體區(qū)域，流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)H可以簡(jiǎn)化為：

(8)

圖2(a)中給出了不同雷諾數(shù)下流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)的精確解和近似解。從圖中可以看出，當(dāng)雷諾數(shù)Re>102時(shí)，近似解和精確解吻合良好。

矩形梁在流體中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，周圍流體的運(yùn)動(dòng)與圓柱體對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)類似，其流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)可通過圓柱體的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)修正而得到[6]，即：

H′(ω)=F(ω)H(ω)

(9)

式中：F(ω)是與頻率有關(guān)的修正函數(shù)[6]。

圖2(b)中給出了圓柱體和矩形梁在流體中簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)的對(duì)比曲線，可以看出，當(dāng)Re>102時(shí)，兩者相差很小。

圖2 不同雷諾數(shù)的流體動(dòng)力學(xué)函數(shù)曲線

1.3 懸臂梁運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)梁在時(shí)變流體中橫向簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，流體沿著梁長度方向的流動(dòng)與流體隨梁的橫向振動(dòng)互不干涉，即忽略長度方向的切應(yīng)力，僅考慮梁橫向振動(dòng)的流體阻力，單位長度梁上的分布載荷可表示為：

(10)

在圖1(b)中，坐標(biāo)η表示流體沿著梁長度方向的坐標(biāo)，取長度為dη的微元，并將微元上的載荷視為作用在η處的可移動(dòng)集中載荷，則有：

(11)

根據(jù)歐拉-伯努利梁理論和牛頓運(yùn)動(dòng)定律，可得在微元集中載荷作用下懸臂梁的運(yùn)動(dòng)方程為[16]：

(12)

式中：EI為梁的抗彎剛度；ρb為梁的密度；A為梁的橫截面積；δ(x)為Dirac函數(shù)。

采用模態(tài)疊加法對(duì)梁的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行坐標(biāo)變化：

w(x,t)=∑jφj(x)qj(t)

(13)

式中：φj(x)表示第j階模態(tài)振型；qj(x)表示第j階振型對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)。

研究表明，采用梁在真空中的振型可獲得足夠的精度[2]，即：

(14)

將式(13)代入梁的運(yùn)動(dòng)方程(12)可得：

(15)

求導(dǎo)后可得：

(16)

式中：v表示流體沿著梁長度方向的流動(dòng)速度；a表示加速度。

將上式兩端同乘以φi(x)，并在(0，L)范圍內(nèi)積分，可得：

(17)

假設(shè)運(yùn)動(dòng)流體微元對(duì)梁橫向振動(dòng)的影響可以線性疊加，流體浸沒梁的高度為h(t)，忽略空氣對(duì)梁的作用力，將上式在(0，h)范圍內(nèi)積分可得：

(18)

上式中，各矩陣元素的表達(dá)式為：

(19)

懸臂梁在時(shí)變流體中的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

(20)

式中：M0表示梁的廣義質(zhì)量矩陣；K0表示梁的廣義剛度矩陣；Ma,Ca,Kaa,Kav表示由梁的加速度引起的附加廣義質(zhì)量矩陣、廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣；Cv,Kv表示由梁的速度所引起的附加廣義阻尼矩陣和廣義剛度矩陣。

從上式中可以看出，懸臂梁在時(shí)變流體中振動(dòng)時(shí)，除流體本身的固有阻尼外，還有與流體運(yùn)動(dòng)相關(guān)的附加阻尼和附加剛度。值得注意的是，附加阻尼與流體速度成正比，當(dāng)流體沿著梁長度方向下降時(shí)，將會(huì)引起負(fù)的附加阻尼，產(chǎn)生不利影響。

2 頻率特性分析

2.1 方法驗(yàn)證

懸臂梁在流體中振動(dòng)的固有頻率可通過求解下述特征方程的根而得到：

(21)

式中：ωf表示流體中梁的無阻尼自振頻率。

流體流動(dòng)速度不大，或者梁的厚度較大時(shí)，流體所引起的附加廣義剛度遠(yuǎn)小于梁自身的廣義剛度，梁在流體和真空中的固有頻率之間的關(guān)系可表示為：

(22)

式中：κn為無量綱附加質(zhì)量因子。對(duì)于懸臂梁的一階振動(dòng)，單位長度上的無量綱質(zhì)量因子可表示為：

(23)

(24)

可見，對(duì)于真空中固有頻率一定的梁，其附加質(zhì)量因子與流體的密度、黏性以及梁的寬度有關(guān)。文獻(xiàn)[3]中采用速度勢(shì)理論求解了梁簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)周圍無黏流體的運(yùn)動(dòng)，以及梁上作用的流體載荷，根據(jù)其方法得到的梁一階振動(dòng)附加質(zhì)量因子為：

(25)

式中：a1,a2表示梁到容器兩側(cè)的距離。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]得到的梁一階振動(dòng)時(shí)單位長度上的附加質(zhì)量因子為：

(26)

對(duì)比式(24)可以發(fā)現(xiàn)，文獻(xiàn)[1]的方法沒有考慮黏性的影響。采用本文方法及文獻(xiàn)方法得到的懸臂梁完全浸沒在流體(水和重油)中的一階固有頻率見表1。結(jié)果表明，對(duì)于水和高溫時(shí)的重油，黏性的影響可以忽略，2種方法得到的結(jié)果吻合較好。而對(duì)于低溫時(shí)的重油，黏性引起的附加質(zhì)量較大，不考慮黏性會(huì)引起較大的誤差。

表1 不同方法得到的懸臂梁一階固有頻率

2.2 參數(shù)分析

式(19)(21)(24)表明，對(duì)于真空中固有頻率一定的懸臂梁，其在流體中的固有頻率與流體的浸沒深度、黏性、流速及梁的寬度有關(guān)。

梁在水和重油中的一階固有頻率隨浸沒深度的變化如圖3所示?？梢钥闯?，當(dāng)流體的浸沒深度較小時(shí)，梁的一階固有頻率基本不受影響，而當(dāng)流體的浸沒深度超過梁長度的一半時(shí)，梁的一階固有頻率隨浸沒深度的增加而迅速降低，即對(duì)于梁的一階振動(dòng)，其固有頻率主要受到自由端流體的影響。

圖3 不同浸沒深度的一階固有頻率變化曲線

雷諾數(shù)較小時(shí)，流體引起的附加質(zhì)量會(huì)受到黏性的影響，而對(duì)于有些流體，黏性會(huì)隨溫度的升高而迅速下降，如重油。高溫時(shí)梁的彈性模量也會(huì)隨溫度升高而減小，但在本文研究的溫度范圍內(nèi)幾乎不變，其影響可以忽略；此外，由于梁和流體具有相同的溫度，溫度應(yīng)力的影響也忽略不計(jì)。

圖4給出了水和重油的黏性，以及完全浸沒的懸臂梁的一階固有頻率隨溫度的變化曲線。從圖中可以看出，水的動(dòng)力黏度較小且隨溫度變化不大，梁的固有頻率基本不變，接近無黏解。而重油低溫時(shí)重力黏度較大，黏性使得附加質(zhì)量較大，頻率較低；隨著溫度升高，動(dòng)力黏性迅速下降，頻率逐漸增大，并趨向無黏解。

圖4 不同溫度的動(dòng)力黏度和一階固有頻率變化曲線

當(dāng)梁自身的剛度較小或流體的流動(dòng)速度較大時(shí)，流體流動(dòng)所引起的附加剛度對(duì)頻率的影響不可忽略。不同流體中，完全浸沒的梁的一階固有頻率隨流動(dòng)速度的變化規(guī)律如圖5所示。可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于水和重油，梁的固有頻率均隨流動(dòng)速度的增加而增大。從式(19)中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于確定的梁，附加剛度還與流體的密度和黏性有關(guān)。對(duì)比15、100 ℃重油中的頻率，低溫時(shí)，重油的雷諾數(shù)較小，黏性影響更大，固有頻率隨速度的變化更加明顯。

圖5 不同流動(dòng)速度的一階固有頻率變化曲線

除流體參數(shù)外，梁的寬度也會(huì)對(duì)其在流體中的固有頻率產(chǎn)生重要影響。圖6中給出了懸臂梁在不同流體中的一階固有頻率隨梁寬度的變化。結(jié)合式(24)可以看出，梁的寬度增加時(shí)，流體引起的附加質(zhì)量逐漸增大，梁的一階固有頻率逐漸減小。

圖6 不同寬度的一階固有頻率變化曲線

3 阻尼特性分析

忽略懸臂梁本身的結(jié)構(gòu)阻尼，梁在時(shí)變流體中一階振動(dòng)的阻尼比可以表示為：

(27)

上式表明，系統(tǒng)的阻尼由2部分組成：一是流體黏性產(chǎn)生的固有阻尼，二是流體沿著長度方向移動(dòng)引起的附加阻尼?？梢钥闯?，系統(tǒng)阻尼比同樣受到流體運(yùn)動(dòng)參數(shù)和梁尺寸參數(shù)的影響。

完全浸沒的懸臂梁一階振動(dòng)的阻尼比隨流體流動(dòng)速度的變化如圖7所示。

圖7 不同流動(dòng)速度的阻尼比曲線

由圖7可以看出，流體的固有阻尼不隨速度發(fā)生變化，而附加阻尼隨流動(dòng)速度的增加而迅速增大，總阻尼也隨流動(dòng)速度的增加而增大。對(duì)于黏性較小的情況，隨著速度逐漸增大，附加阻尼成為系統(tǒng)阻尼的主導(dǎo)因素。

此外，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)流體沿著梁長度方向下降時(shí)，將會(huì)引起負(fù)的附加阻尼，會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不利影響，甚至引發(fā)結(jié)構(gòu)破壞。

完全浸沒懸臂梁的一階振動(dòng)阻尼比隨溫度的變化如圖8所示。當(dāng)溫度升高時(shí)，重油的動(dòng)力黏性迅速減小，導(dǎo)致固有阻尼下降。重油中的附加阻尼也隨溫度升高而逐漸下降，但變化不大，系統(tǒng)總阻尼減小。而水的動(dòng)力黏性隨溫度變化不大，系統(tǒng)阻尼基本不受溫度的影響。

圖8 不同溫度的阻尼比(v=1 m/s)曲線

梁的寬度也會(huì)對(duì)梁一階振動(dòng)的阻尼比產(chǎn)生重要影響，如圖9所示。從圖中可以看出，隨著梁寬度的增加，雷諾數(shù)逐漸增大，黏性效應(yīng)減弱，流體本身的固有阻尼減小，而附加阻尼則隨著梁寬度的增加而逐漸增大。因此，系統(tǒng)總阻尼隨梁寬度的變化規(guī)律較為復(fù)雜，需考慮流體黏性和流動(dòng)速度綜合分析。如流體為100 ℃的重油時(shí)，系統(tǒng)總阻尼隨寬度先減小后增大，最小值出現(xiàn)在b/δ=5時(shí)。

圖9 不同梁寬度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

梁的一階振動(dòng)阻尼同樣隨浸沒深度而發(fā)生變化，如圖10所示。隨著流體浸沒深度的增加，流體的固有阻尼和附加阻尼均逐漸增大。從圖中可以看出，浸沒深度對(duì)阻尼的影響規(guī)律與其對(duì)一階固有頻率的影響規(guī)律是相同的，即主要在梁的自由端產(chǎn)生作用。

圖10 不同浸沒深度的阻尼比曲線(v=1 m/s)

4 瞬態(tài)響應(yīng)分析

流體沿著梁長度方向上升或下降時(shí)，其頻率和阻尼均隨流體浸沒深度發(fā)生變化，且與流體流動(dòng)速度有關(guān)。尤其是流體下降時(shí)，會(huì)引發(fā)負(fù)的流體附加阻尼，產(chǎn)生不利影響。因此，需要對(duì)梁的瞬態(tài)域響應(yīng)特性進(jìn)行分析。

采用紐馬克-β法求解流體下降時(shí)梁的瞬態(tài)響應(yīng)。初始時(shí)刻，流體的深度h0=L。不同下降速度下，梁的位移響應(yīng)和振幅時(shí)間歷程如圖11～13所示。

從圖11、12中可以看出，當(dāng)流體黏性較小時(shí)，梁的一階固有頻率隨液面的下降逐漸增大，并逐漸接近或達(dá)到真空中的固有頻率，且頻率變化速率隨流體下降速度逐漸增大。

圖11 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng) (水,15 ℃)

圖12 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng) (重油,100 ℃)

圖13 不同下降速度的瞬態(tài)響應(yīng)曲線 (重油,15 ℃)

隨著流體的下降，流體引起的阻尼逐漸減小，振幅隨時(shí)間的減小逐漸減弱。此外，流體的下降會(huì)引起負(fù)的附加阻尼，流體為水(圖11)和100 ℃重油(圖12)時(shí)，梁的振幅隨著流體下降速度的增大而逐漸增加。從圖11中可以看出，若流體下降速度繼續(xù)增大，系統(tǒng)的阻尼將會(huì)小于零，導(dǎo)致梁的振動(dòng)發(fā)散，危害結(jié)構(gòu)安全。而對(duì)于低溫時(shí)的重油，由于流體本身的固有阻尼較大，梁的振動(dòng)迅速衰減，液體下降速度不大時(shí)，對(duì)梁的頻率和阻尼造成的影響很小，可以忽略，梁的瞬態(tài)響應(yīng)特性變化不大。

5 結(jié)論

1) 流體流動(dòng)會(huì)引起附加質(zhì)量、附加阻尼和附加剛度，影響系統(tǒng)固有頻率和阻尼比。

2) 懸臂梁在時(shí)變流體中的一階固有頻率隨流體流動(dòng)速度增大而增大，隨流體浸沒深度、流體黏性和梁寬度的增大而減小;而流體運(yùn)動(dòng)引起的附加阻尼則隨上述參數(shù)的增大而增大。

3) 懸臂梁在下降的流體中做簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，頻率逐漸增大，阻尼減小，且變化率隨流體下降速度的增大而增大，當(dāng)流體黏性較小時(shí)，下降流體引起的負(fù)阻尼會(huì)導(dǎo)致梁的振動(dòng)發(fā)散，對(duì)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不利影響。