劉金旺，陳穎

(湖南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的一種素養(yǎng)[1]。筆者精讀新課標(biāo)后對直觀想象素養(yǎng)的內(nèi)涵有了較深入的理解：幾何直觀是借助圖形認(rèn)識數(shù)學(xué)問題并將知識進(jìn)行直觀遷移，從而解決相應(yīng)的問題；空間想象則是從生活情境出發(fā)，對幾何圖形進(jìn)行加工、改造，從而創(chuàng)造新的圖形。兩者既有不同點(diǎn)也有共同點(diǎn)，我們應(yīng)該側(cè)重其相同點(diǎn)，在問題解決的過程中要處理好幾何直觀與空間想象的關(guān)系。直觀偏具體，想象偏抽象，直觀想象素養(yǎng)綜合了具體與抽象。

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中，直觀想象主要表現(xiàn)為以下四個(gè)方面：(1)建立數(shù)與形的聯(lián)系；(2)借助幾何圖形描述問題；(3)借助幾何直觀理解問題；(4)運(yùn)用空間想象認(rèn)識事物[1]。這四個(gè)方面沒有簡單、復(fù)雜的難易之分，也沒有低級、高級的層次之分，它們是緊密相連的，但學(xué)生所能達(dá)到的水平是有差異的。新課標(biāo)中將直觀想象素養(yǎng)劃分為三個(gè)水平：水平一，能夠在熟悉的情境中抽象出實(shí)物的幾何圖形，建立數(shù)與形的聯(lián)系；水平二，能夠在關(guān)聯(lián)的情境中想象出幾何圖形，并能借助圖形解決實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題；水平三，能夠在綜合的情境中利用圖形，通過直觀想象建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，形成解決問題的方法[1]。

調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中對直觀想象素養(yǎng)的考查占比越來越大，進(jìn)一步突顯出直觀想象素養(yǎng)在高中數(shù)學(xué)課程中的重要地位。學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展離不開直觀的感知，在教學(xué)過程中利用現(xiàn)實(shí)情境問題驅(qū)動教學(xué)，可激發(fā)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)；結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)的教學(xué)方式，能夠?qū)?fù)雜問題直觀化，學(xué)生在切身感受圖形的變化過程中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；教學(xué)內(nèi)容的延伸，能夠訓(xùn)練學(xué)生思維的延展性和綜合性，為學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展提供導(dǎo)向，進(jìn)而提高學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

1 情境問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)課堂中的情境引入已然是近幾年的熱點(diǎn)，成功的情境引入能夠迅速吸引學(xué)生的注意力，牽動學(xué)生思維，讓學(xué)生調(diào)整學(xué)習(xí)狀態(tài)融入課堂學(xué)習(xí)；在學(xué)生不會解決又急于解決問題的心理之間制造一種懸念，激發(fā)其強(qiáng)烈的興趣與求知欲。很多學(xué)生對直觀想象的認(rèn)識比較模糊、抽象，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要多利用現(xiàn)實(shí)情境問題驅(qū)動教學(xué)，激發(fā)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。

創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境能夠讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓其了解數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活。教師在教學(xué)過程中可以通過一系列問題驅(qū)動讓學(xué)生找到數(shù)與形之間的特征與關(guān)系、歸納類比出不同實(shí)例的共性與差異。學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)中圖形的抽象、圖形的產(chǎn)生、圖形的變換進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圖形中復(fù)雜的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師在PPT上展示天安門前的旗桿與地面、地下車庫的立柱與地面、公路大橋的橋柱與水面位置關(guān)系的圖片時(shí)，可請學(xué)生利用圖形的直觀性并充分發(fā)揮空間想象指明上述圖片的位置關(guān)系，從而導(dǎo)入新課。這樣的引入方式能幫助學(xué)生形象化地認(rèn)識直線與平面的垂直關(guān)系、在學(xué)習(xí)新知之前腦海中就儲存一些直線與平面垂直的圖形信息，激發(fā)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。源于生活的實(shí)例，能夠減少對新知的陌生感，更能觸動學(xué)生心靈。也有教師從播放《日晷》視頻引入教學(xué)，學(xué)生在體會中華文明源遠(yuǎn)流長的同時(shí)，亦可通過視頻中直觀的幾何圖形與關(guān)鍵詞“盤面與赤道平行，指針與地軸同向”抽象出直線與平面垂直的位置關(guān)系。學(xué)生發(fā)揮空間想象動手制作日晷模型，從而導(dǎo)入新課。

在創(chuàng)設(shè)的情境中滲透數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，既可以擴(kuò)大學(xué)生文化視野，又可以弘揚(yáng)人文精神。與此同時(shí)，在課堂中訓(xùn)練學(xué)生動手操作能力對激發(fā)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)也是一種好方法。

2 教學(xué)方式變革，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

當(dāng)今社會儼然是一個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代，各種數(shù)據(jù)與圖形的處理方式已經(jīng)逐步成熟，多媒體技術(shù)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中使用的好處逐漸顯現(xiàn)。因此，教師熟練掌握相關(guān)軟件的操作方法，合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，充分挖掘信息技術(shù)在數(shù)學(xué)直觀化教學(xué)中的作用，對學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)有著重大意義。在傳統(tǒng)教學(xué)中教師只是單純直白地講授知識，學(xué)生需要根據(jù)老師的語言描述在頭腦中構(gòu)造出相應(yīng)的教學(xué)情景，因此不具備直觀性，而現(xiàn)代教學(xué)方式隨著時(shí)代的變化不斷變革。現(xiàn)代課堂教學(xué)中教師通過多媒體展示的直觀圖形可靜可動，甚至借助靜態(tài)圖形進(jìn)行動態(tài)變換，通過向?qū)W生展示圖形的移動、折疊、翻轉(zhuǎn)等變換，讓學(xué)生在圖形的變換中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美、找到解決問題的本質(zhì)和思路。學(xué)生可在動靜結(jié)合的背景下感知幾何圖形的性質(zhì)特征和數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)特征，在這個(gè)過程中充分培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)是一門探究空間形式與數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，以“形”的直觀尋找問題中的已知條件、隱藏條件和未知條件，通過多媒體中直觀形象的圖形去理解問題，運(yùn)用空間想象去思考問題，從而找到解決問題的方法。例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師高效利用信息技術(shù)，采用翻轉(zhuǎn)課堂式教學(xué)。課前先請學(xué)生觀看幾何畫板中光源下旗桿影子變化的動畫(如圖1所示)，讓學(xué)生對直線與平面垂直提前有直觀感知，再請學(xué)生結(jié)合對下述問題的思考，試著概括直線與平面垂直的定義。

圖1 光源下旗桿影子變化示意圖

(1)光源下，旗桿AB與它在平面上的影子BC所形成的角度是多少?

(2)隨著光源的挪動，影子BC的位置也會挪動，旗桿AB與影子BC所形成的角度會隨之變化嗎？

(3)旗桿AB與平面上任何一條不過B點(diǎn)的直線B’C’的位置關(guān)系是怎樣的呢?

在課前安排學(xué)生觀看教師的視頻講解，既節(jié)省了課堂教學(xué)時(shí)間，又培養(yǎng)了學(xué)生的自學(xué)能力。教師利用現(xiàn)代教學(xué)軟件幾何畫板直觀的動畫展示，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)旗桿AB所在的直線與平面上任何一條過B點(diǎn)或不過B點(diǎn)的直線都垂直，學(xué)生可從中理解直線與平面垂直定義的實(shí)質(zhì)，嘗試概括直線與平面垂直的定義。課堂上，教師在學(xué)生概括的基礎(chǔ)上得出直線與平面垂直的精確定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α。直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足[2](如圖2所示)。

圖2 直線與平面垂直的定義示意圖

教學(xué)方式的變革不僅體現(xiàn)在現(xiàn)代信息技術(shù)在課堂中的運(yùn)用，還體現(xiàn)在教師與學(xué)生的角色互換。傳統(tǒng)的課堂中教師占主體地位，主要采用的是講授法，學(xué)生被動接受知識；而現(xiàn)代課堂中學(xué)生占主體地位，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，多種教學(xué)方式齊頭并進(jìn)，學(xué)生主動探索知識。例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師提出了一個(gè)問題：“除了用定義法判斷線面垂直，還有沒有其他的方法呢？”定義法確實(shí)可以作為判斷命題是否成立的依據(jù)，這種判定方法雖然在理論上是可行的，但是在實(shí)際檢驗(yàn)的過程中是有難度的。因此，找到一種比定義法更簡單、操作性更強(qiáng)的判定方法就顯得尤為重要。為了獲得最直接的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生親手操作，更直觀地感受圖形的變化，這充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，也充分證實(shí)了王道俊先生提出的“主體學(xué)習(xí)的核心是學(xué)生能動的、創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)活動”這一觀點(diǎn)[3]。教師以數(shù)學(xué)活動的形式推動教學(xué)能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與積極性。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了“四基”，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是其中之一。它是指學(xué)生通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程所獲得的具有個(gè)性特征的經(jīng)驗(yàn)。這種活動經(jīng)驗(yàn)不僅僅指獲得解題的經(jīng)驗(yàn)，更重要的是在多樣化的數(shù)學(xué)活動中去思考、探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論及其本質(zhì)，在數(shù)學(xué)活動中充分培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)。因而教師設(shè)計(jì)了一個(gè)折紙活動：學(xué)生分組合作完成一個(gè)折紙實(shí)驗(yàn)，首先剪出一個(gè)三角形紙片abc,之后經(jīng)過頂點(diǎn)a將紙片翻折，得到折痕ad(如圖3所示)，然后將翻折后的紙片豎直放置在桌面α上(如圖4所示)。最后請每個(gè)小組代表依據(jù)本組折紙活動的情況，觀察折痕ad所在的直線L與桌面所在的平面α是否垂直，并說明理由。

圖3 三角形紙片折疊示意圖

圖4 三角形紙片翻折后示意圖

由于每個(gè)小組的情況不一致，教師將課堂交給學(xué)生，讓他們各抒己見。有的小組觀察到直線與平面是不垂直的，從圖形的直觀中可以“看”出ad所在的直線L明顯不與bd、cd垂直。學(xué)生通過列舉反例來解釋定義，親自經(jīng)歷“看”出相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是非常重要的，這能使學(xué)生對結(jié)論的理解更深刻，記憶更牢固，運(yùn)用更靈活。著名學(xué)者米秀旭、崔緒春指出，并不是所有的數(shù)學(xué)定理都需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，鼓勵學(xué)生大膽猜想假設(shè)，重要的數(shù)學(xué)結(jié)論往往都是“看”出來的，“看”出來的前提是我們直觀想象素養(yǎng)水平比較高[4]。而有的小組通過自己動手實(shí)驗(yàn)觀察到折痕ad所在的直線L與桌面所在的平面α是垂直的，進(jìn)一步得出ad所在直線與桌面所在平面α垂直的充要條件是折痕ad是bc邊上的高。由于翻折后垂直關(guān)系不變，所以直線ad與平面α內(nèi)的兩條相交直線bd、dc都垂直。

小組內(nèi)學(xué)生動手操作，交流討論，大膽猜想假設(shè)，在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律，通過進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)，無論是將三角形在桌面α上平移或繞折痕ad轉(zhuǎn)動，都能得到折痕ad與桌面α垂直的結(jié)論。因此，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下總結(jié)出直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直[2]。學(xué)生探討結(jié)束后，教師用幾何畫板進(jìn)行動畫演示，驗(yàn)證學(xué)生所得結(jié)論。由此可見，幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中所起的作用十分巨大，正如徐飛雷、吳磊所言，幾何畫板在數(shù)學(xué)直觀化教學(xué)及對學(xué)生幾何直觀與空間想象素養(yǎng)的培養(yǎng)方面有著重大的意義，因而教師可以合理地使用幾何畫板，解決相關(guān)問題[5]。在折紙活動中，學(xué)生通過觀察、操作、猜想、驗(yàn)證、分析、提出問題并解決問題，在探究中總結(jié)出直線與平面垂直的判定定理，充分培養(yǎng)了直觀想象素養(yǎng)。

3 教學(xué)內(nèi)容延伸，提高學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

3.1 內(nèi)容的延伸

教學(xué)內(nèi)容是教師進(jìn)行教學(xué)的任務(wù)與參考，教師需要通過教學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)概念，引導(dǎo)學(xué)生形成對知識的認(rèn)知。在實(shí)際的課堂教學(xué)中，學(xué)生思考、探究數(shù)學(xué)問題的角度不同，知識水平層次存在差異，他們能聯(lián)想到的知識也會有很大的區(qū)別，就會產(chǎn)生很多暫時(shí)無法解答的疑問。因此，在課堂中教師需要對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行不同程度的延伸，以此來解決學(xué)生的種種疑問，同時(shí)也能鍛煉學(xué)生的思維能力，完善學(xué)生的知識體系，提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，學(xué)生已有的認(rèn)知是“在平面上，過一點(diǎn)垂直于已知直線的直線有且只有一條”。類比這個(gè)結(jié)論，學(xué)生會思索在空間中，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有幾條呢？學(xué)生能有此疑問，說明其學(xué)會了系統(tǒng)的思考問題，體會到了平面與空間的聯(lián)系與區(qū)別。為了解決學(xué)生的疑問，教師可引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行必要的推理證明，即使很直觀的結(jié)論，也要設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會到直觀想象的合理要用邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)去驗(yàn)證。由于直接證明這個(gè)結(jié)論較為困難，教師引導(dǎo)學(xué)生采用反證法證明：假設(shè)過點(diǎn)P有兩條直線m、n垂直于同一平面α，設(shè)直線m、n確定的平面為β，且α∩β=l，所以l?α。由線面垂直的定義，知m⊥l,n⊥l，這與“在同一個(gè)平面中，過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線”相矛盾。所以，在空間中，過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條。學(xué)生依據(jù)上述證明過程發(fā)揮自己的空間想象能力并嘗試從幾何角度來解釋此證明過程；教師利用幾何畫板將圖形直觀展示(如圖5、圖6所示)。

圖5 點(diǎn)不在交線的示意圖

圖6 點(diǎn)在交線的示意圖

至此，教師再順勢給出垂線段的定義，指出棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離，學(xué)生理解起來就沒有困難了。這也為之后棱臺體積公式的推導(dǎo)、平面與平面垂直的性質(zhì)定理做好了充足的知識儲備。

3.2 解題方法的延伸

數(shù)學(xué)的魅力在于知識是相互連貫的，譬如習(xí)題的解決方法，一道題目可以從數(shù)學(xué)多個(gè)角度進(jìn)行解決，當(dāng)然也可以從多道題目中發(fā)現(xiàn)其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一致的，即可采取同樣的解題方法，這就是常說的一題多解和多題一解。如果就題講題，不僅對學(xué)生知識學(xué)習(xí)的寬度和深度都沒有延伸，而且對學(xué)生直觀想象能力的提升作用也非常小。因而教師需要鉆研教材教法，關(guān)注數(shù)與數(shù)、數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，從不同角度去探究解題方法，從多維度去拓展變式，在教學(xué)中不斷鍛煉學(xué)生不同的思維能力，這樣就在解題方法拓展的過程中提升了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

例如在“直線與平面垂直的判定”這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，對于教材中例題“如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面”的證明，除了教科書上利用直線與平面垂直的判定定理此種證明方法，教師還可以啟發(fā)學(xué)生利用直線與平面垂直的定義進(jìn)行證明，實(shí)現(xiàn)一題多解。定義是解決問題的根源，因而在數(shù)學(xué)上用定義法解決問題意義重大，教師需向?qū)W生強(qiáng)調(diào)定義法的重要地位，并引導(dǎo)學(xué)生提煉出解決直線與平面垂直問題的方法有判定定理與定義法。教材例題是對直線與平面垂直判定定理的簡單運(yùn)用，在此基礎(chǔ)上，教師引入學(xué)生熟悉的、掌握較好的幾何體模型(正方體，長方體等)補(bǔ)充一道證明線面垂直的例題。以此例題來幫助學(xué)生在直觀圖形中進(jìn)一步理解定理的實(shí)質(zhì)，體會將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直的重要性。教師還需在補(bǔ)充的例題上進(jìn)行變式訓(xùn)練，變式題則以學(xué)生平時(shí)接觸較少的幾何體(直四棱柱，四棱錐等)為載體研究直線與直線垂直的證明方法。變式題既鍛煉了學(xué)生的空間想象能力，又教會學(xué)生如何從線線垂直出發(fā)，逐步將問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，進(jìn)而在問題轉(zhuǎn)化過程中進(jìn)一步理解直線與平面垂直的定義及其判定定理的本質(zhì)。教師需一步步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變式題的解題方法與例題一致，實(shí)現(xiàn)多題一解。

4 結(jié)語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年修訂版)》都凸顯了直觀想象素養(yǎng)的重要性，而直觀想象素養(yǎng)的激發(fā)、培養(yǎng)與提高都需要通過課堂教學(xué)來實(shí)現(xiàn)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活情境，滲透數(shù)學(xué)文化，調(diào)動學(xué)生積極性，從而激發(fā)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)；應(yīng)借助現(xiàn)代教學(xué)技術(shù)，貫徹現(xiàn)代教學(xué)方式，以學(xué)生為主體，在數(shù)學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)；應(yīng)適當(dāng)延伸教學(xué)內(nèi)容，拓展解題方法，完善學(xué)生知識體系，鍛煉學(xué)生思維能力，從而提高學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，為學(xué)生終身發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。