翟世東 劉佩 高輝

同步(一致)行為是生物、生態(tài)、工程和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中最普遍的群聚現(xiàn)象之一.在過去十幾年里,耦合系統(tǒng)中僅由局部交互引起的同步問題引起了大量研究者的關(guān)注[1-5].在自然和工程系統(tǒng)中,合作、競爭關(guān)系普遍存在,且很多實(shí)際系統(tǒng)同時(shí)存在合作與競爭關(guān)系,例如社會(huì)網(wǎng)絡(luò)[6]、存在合作與競爭的種群[7]、競爭性細(xì)胞神經(jīng)元[8]和個(gè)性化推薦[9].為了描述系統(tǒng)中的合作與競爭關(guān)系,研究者們引入了符號(hào)圖,其中正數(shù)邊表示合作關(guān)系,負(fù)數(shù)邊表示競爭關(guān)系.

目前,越來越多的研究人員開始利用符號(hào)圖來研究網(wǎng)絡(luò)中的各種群聚現(xiàn)象[10-16].在文獻(xiàn)[10]中,Altafini 研究了定義在符號(hào)圖上的一個(gè)積分器網(wǎng)絡(luò),并得到了關(guān)于雙向一致的一些定理.這里的雙向一致表示所有的智能體都收斂到一個(gè)模量相等、符號(hào)不同的值.其中,作者假設(shè)符號(hào)圖是結(jié)構(gòu)平衡的,即所有節(jié)點(diǎn)可以被分為兩個(gè)陣營,每個(gè)陣營內(nèi)部是合作關(guān)系,兩個(gè)陣營之間是競爭關(guān)系.這個(gè)假設(shè)對雙向一致性結(jié)論的得出至關(guān)重要.文獻(xiàn)[10]的結(jié)論推廣到了更一般的線性多智能體系統(tǒng)[11-13],其中每個(gè)智能體都由一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)表示.例如對于有向圖上的積分器網(wǎng)絡(luò),文獻(xiàn)[13]在符號(hào)圖含有生成樹的情況下得到了達(dá)到雙向一致的一些充分條件.很多研究者陸續(xù)對各種特定網(wǎng)絡(luò)展開了雙向同步問題研究,例如雙向聚集[14]、區(qū)間雙向一致[15]、含有時(shí)滯的雙向一致[16]等.基于壓縮性分析,文獻(xiàn)[17]研究了耦合非線性網(wǎng)絡(luò)的雙向同步問題.對于耦合離散系統(tǒng)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò),其雙向同步問題也受到了很多研究者的關(guān)注[18-19].對于更多的關(guān)于雙向同步的研究,可以參見綜述文獻(xiàn)[20-21].

在實(shí)際系統(tǒng)中,隨著時(shí)間的推移,網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能會(huì)發(fā)生變化.而且,網(wǎng)絡(luò)所形成的符號(hào)圖可能不滿足結(jié)構(gòu)平衡特性.例如,在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中,個(gè)體之間的關(guān)系可能會(huì)由合作(友誼)到競爭(敵意)變化,反之亦然;在多黨制的國家,很多成員經(jīng)常會(huì)從一個(gè)黨派轉(zhuǎn)向另一個(gè)黨派.當(dāng)符號(hào)圖不滿足結(jié)構(gòu)平衡性時(shí),網(wǎng)絡(luò)不能達(dá)到雙向同步.在文獻(xiàn)[22]中,作者利用矩陣的最終為正性質(zhì),分別研究了連續(xù)和離散時(shí)間輿論動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為.當(dāng)符號(hào)圖隨著時(shí)間變化的時(shí)候,網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成一個(gè)切換系統(tǒng).文獻(xiàn)[23-24]考慮了所有符號(hào)圖在結(jié)構(gòu)上都是平衡的,且敵對陣營的成員隨著時(shí)間的推移是不變的情況.具體地,在文獻(xiàn)[23]中,作者得到了使非線性系統(tǒng)達(dá)到模同步的充分條件;在文獻(xiàn)[24]中,作者設(shè)計(jì)了一種牽引控制,使閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)雙向同步.如果這些符號(hào)圖中的節(jié)點(diǎn)隨著時(shí)間變化,那么雙向同步將不可能達(dá)到.

本文將研究含有對抗性關(guān)系和時(shí)變拓?fù)涞鸟詈想x散系統(tǒng)的有界雙向同步(Bounded bipartite synchronization,BBS)問題.考慮以下情形:1)在某些時(shí)刻,所有個(gè)體不能被分為兩個(gè)敵對陣營;2)雖然所有個(gè)體可以被劃分為兩個(gè)陣營.但所形成敵對陣營中的成員會(huì)隨時(shí)間改變.當(dāng)情形1)和2)出現(xiàn)時(shí),將這種耦合離散系統(tǒng)看成是一個(gè)特定網(wǎng)絡(luò)的擾動(dòng),在這個(gè)特定網(wǎng)絡(luò)中,所有的個(gè)體都可以被分成兩個(gè)敵對陣營,且二者中的成員隨著時(shí)間的推移會(huì)保持不變.在該特定網(wǎng)絡(luò)的所有符號(hào)圖都是連通的條件下,本文得到了使系統(tǒng)達(dá)到有界雙向同步的一些充分條件.最后,利用一個(gè)數(shù)值例子來說明所得結(jié)論的有效性.

本文符號(hào)說明如下:|x|表示實(shí)數(shù)x的絕對值,Z+表示正整數(shù)域,||y||表示向量y的范數(shù),IN表示N維單位矩陣,1N表示元素都為 1的N維列向量,運(yùn)算符?表示Kronecker 積.對于矩陣A,符號(hào)λmin(A),λmax(A)分別表示矩陣A的最小特征值和最大特征值. diag{·}表示一個(gè)對角矩陣,sgn(·)代表符號(hào)函數(shù).如果對于每個(gè)固定的s,函數(shù)β(r,s)是嚴(yán)格遞增的且β(0,s)≡0,對于每個(gè)固定的r,函數(shù)β(r,s)是嚴(yán)格遞減的且 lims→∞β(r,s)=0,那么函數(shù)β(r,s)稱為 KL 類函數(shù).

1 問題描述

考慮包含N個(gè)離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)

其中,i=1,2,···,N.xi∈Rn是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài),A,B是常數(shù)矩陣,ui(k)是控制輸入.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湓趐個(gè)無向符號(hào)圖G(Ek)(符號(hào)圖定義見附錄A),k=1,2,···,p之間切換,其中切換信號(hào)是σ(k):Z+→P:={1,2,···,p},它是一個(gè)分段右連續(xù)的函數(shù).控制輸入ui(k)設(shè)計(jì)為

其中,K是一個(gè)需要設(shè)計(jì)的增益矩陣,eij是圖G(Ek)的邊值.令是σ(k)的切換時(shí)刻.存在正常數(shù)T＞1,使得ki+1-ki≥T,?i ≥0.

注1.網(wǎng)絡(luò)在切換信號(hào)下構(gòu)成一個(gè)切換系統(tǒng).本文中要求存在正常數(shù)T＞1,使得ki+1-ki≥T,?i ≥0.這里的T＞1 可以看成是駐留時(shí)間.如果沒有駐留時(shí)間,那么在有限時(shí)間內(nèi)可能會(huì)有無限次切換,對于系統(tǒng)的收斂性會(huì)有很大影響.

通常來說,如果符號(hào)圖結(jié)構(gòu)平衡,那么其所有節(jié)點(diǎn)可以劃分為兩個(gè)敵對陣營,其中每個(gè)陣營中的個(gè)體之間的關(guān)系是合作的,屬于不同陣營的個(gè)體之間的關(guān)系是對立的.對于符號(hào)圖G(Ek),k=1,2,···,p,可能存在以下情況:1)雖然每一個(gè)符號(hào)圖都滿足結(jié)構(gòu)平衡,即每個(gè)符號(hào)圖都可以劃分為兩個(gè)敵對陣營,但是每一個(gè)符號(hào)圖的兩個(gè)敵對陣營中的個(gè)體是不一樣的,例如在多黨派執(zhí)政的國家,一些個(gè)體隨著時(shí)間變化從一個(gè)陣營轉(zhuǎn)移到另一個(gè)陣營;2)可能存在某些不滿足結(jié)構(gòu)平衡的符號(hào)圖.在這些情況下,網(wǎng)絡(luò)很難達(dá)到雙向同步.為了研究這兩種情況下的網(wǎng)絡(luò)的同步問題,將這些符號(hào)圖看成是某些特定結(jié)構(gòu)平衡符號(hào)圖的擾動(dòng).具體地,假設(shè)符號(hào)圖G(Ek)的鄰接矩陣可以分為兩個(gè)鄰接矩陣,即其中,是關(guān)于符號(hào)圖G()的一個(gè)鄰接矩陣.把控制輸入(2)中的符號(hào)圖改為G(可以得到一個(gè)新的輸入

因此,由符號(hào)圖GEk形成的耦合系統(tǒng)(1)和(2)可以看成是由符號(hào)圖G()形成的耦合系統(tǒng)(1)和(3)的擾動(dòng).而且,假設(shè)符號(hào)圖G(),k=1,2,···,p的節(jié)點(diǎn){1,2,···,N}可以劃分為兩個(gè)敵對陣營V1,V2,且存在一個(gè)符號(hào)矩陣Ψ(Ψ=diag{σ1,···,σN},σi∈{±1}),使得矩陣 ΨEˉkΨ,k=1,2,···,p都是非負(fù)矩陣.

接下來,本文將研究當(dāng)控制輸入為式(2)時(shí),網(wǎng)絡(luò)(1)將在何種條件下達(dá)到有界雙向同步.雙向同步和有界雙向同步的定義分別如下.

定義1.如果存在依賴于非零初始條件的函數(shù)ζ(k)≠=0,使得以下條件成立:limk→∞(xi(k)-ζ(k))=0,?i∈V1,limk→∞(xi(k)+ζ(k))=0,?i∈V2,那么控制輸入為式(3)的網(wǎng)絡(luò)(1)達(dá)到雙向同步.

定義2.如果滿足以下兩個(gè)條件,那么控制輸入為式(2)的網(wǎng)絡(luò)(1)達(dá)到有界雙向同步:1)網(wǎng)絡(luò)(1)在形式為式(3)的控制輸入下達(dá)到雙向同步;2)存在一個(gè)正常數(shù)ξ(依賴于非零初始條件),一個(gè)KL 類函數(shù)β(·,·)(依賴于圖G(Ek),k=1,2,···,p),使得||δ(k)||≤β(||δ(0)||,t)+ξ成立,其中δ(k)=x(k)-

2 主要結(jié)論

本節(jié)將研究以下兩種情形:1)在某些時(shí)刻,所有個(gè)體不能劃分為兩個(gè)敵對陣營;2)雖然所有個(gè)體可以劃分為兩個(gè)陣營,但形成的敵對陣營中的成員會(huì)隨時(shí)間改變.如果符號(hào)圖G(),k=1,2,···,p都是連通的,那么可以得到條件使得控制輸入為式(2)的網(wǎng)絡(luò)(1)達(dá)到有界雙向同步.為此,給出以下假設(shè):

假設(shè)1.假設(shè)矩陣A的所有特征值是模為1 的半單特征值,即所有約當(dāng)塊都是一維的.

進(jìn)而,針對存在對抗關(guān)系和時(shí)變拓?fù)涞鸟詈想x散系統(tǒng),可以得到定理1.

定理1.考慮網(wǎng)絡(luò)(1),假定假設(shè)1 成立且符號(hào)圖G(),k=1,2,···,p連通.如果存在μ使得不等式(4)成立(其中 Δj=Lj-),

證明.選擇K=μBTPTPA,則控制輸入為式(2)的網(wǎng)絡(luò)(1)變?yōu)?/p>

其中,i=1,2,···,N.式(5)可以寫成如下所示的緊湊形式.

由于圖G(),k=1,2,···,p的節(jié)點(diǎn){i=1,2,···,N}可劃分為兩個(gè)敵對陣營V1和V2,且圖G(),k=1,2,···,p是連通的,基于定理1[25],可知網(wǎng)絡(luò)(1)和(3)在任意切換信號(hào)下達(dá)到雙向同步.

令z(k)=(Ψ?P)x(k),則控制輸入為式(2)的網(wǎng)絡(luò)(1)可表示為

其中,不等式第1 部分可由條件(4)得到.由于圖G(),k=1,2,···,p是連通的,因而存在正交矩陣Qσ(k)∈RN×N,使得

其中,0＜θ＜1.所以下面的關(guān)系成立:

當(dāng)式(16)成立時(shí),式(15)成立.

從而得到控制輸入為式(2)的網(wǎng)絡(luò)(1)達(dá)到有界雙向同步.□

注2.由定理1 的證明過程可以看出,最終界為因此,為了使最終界比較小,可以選擇使‖x(0)‖很小或者α很大的初始條件.

注3.在定理1 中,假設(shè)矩陣A的所有特征值是模為1 的半單特征值,即所有約當(dāng)塊都是一維的.在這種假設(shè)條件下,矩陣A是正交矩陣,即ATA=I.這時(shí)矩陣A是中立穩(wěn)定的.

3 數(shù)值例子

本節(jié)將給出一個(gè)數(shù)值例子來驗(yàn)證所得結(jié)論的有效性.

例1.對于網(wǎng)絡(luò)(1),令N=4,其中矩陣A,B為

因?yàn)榫仃嘇是正交的,所以假設(shè)1 成立.定義切換信號(hào)σ(k)如式(21),其中s∈Z+.

假設(shè)有兩個(gè)無向圖G(Ei),i=1,2,如圖1 所示,圖G(E2)的節(jié)點(diǎn)不能劃分為兩個(gè)敵對陣營V1和V2.假設(shè)分別對應(yīng)于圖2(a)和圖2(b).可知圖G(Eˉi),i=1,2 的節(jié)點(diǎn)能劃分為兩個(gè)敵對陣營V1={1,2},V2={3,4}.

圖1 無向圖G(Ei),i=1,2Fig.1 The undirected signed graphG(Ei),i=1,2

圖2 無向圖G(),i=1,2Fig.2 The undirected signed graphG(),i=1,2

對于圖G(),i=1,2,可選擇符號(hào)矩陣 Ψ=diag{1,1,-1,-1}使得 ΨΨ,k=1,2 是非負(fù)矩陣,根據(jù)其拉普拉斯矩陣

圖3 四智能體網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)錇閳D2、切換信號(hào)為σ(k)時(shí)的時(shí)間演變過程Fig.3 Time evolution of 4-agent network with topologies in Fig.2 and switching signalσ(k)

圖4 四智能體網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)錇閳D1、切換信號(hào)為σ(k)時(shí)的時(shí)間演變過程Fig.4 Time evolution of 4-agent network with topologies in Fig.1 and switching signalσ(k)

圖5 四智能體網(wǎng)絡(luò)在切換信號(hào)σ(k)下的范數(shù)誤差和終值Fig.5 Norm error of the 4-agent network with switching signalσ(k)

4 結(jié)論

當(dāng)存在對抗關(guān)系和切換拓?fù)鋾r(shí),本文研究了耦合離散線性系統(tǒng)的同步問題.針對實(shí)際中可能存在的兩種情形,研究了耦合離散系統(tǒng)的有界雙向同步問題,得到了使閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換信號(hào)下達(dá)到有界雙向同步的充分條件.數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所得理論的正確性.本文的結(jié)論對于系統(tǒng)矩陣有一定的要求,后續(xù)工作將考慮更一般的情況.

附錄 A 符號(hào)圖

符號(hào)圖G(V,ε)由一個(gè)有限節(jié)點(diǎn)集和一個(gè)邊集組成,節(jié)點(diǎn)集記為V={1,2,···,N},邊集記為ε={(i,j):i≠j,i,j∈V}?V ×V.令E=(eij)是圖G的一個(gè)鄰接矩陣,利用G(E)來表示鄰接矩陣為E的符號(hào)圖,圖G(E)的拉普拉斯矩陣定義為L=Cr-E,其中由i到j(luò)的邊 (i,j)∈ε是有向邊,其中節(jié)點(diǎn)i,j分別稱為父節(jié)點(diǎn)和子節(jié)點(diǎn).如果 (j,i),(i,j)∈ε,那么圖G(E)是無向圖.文中定義ε+={(i,j)|eij＞0},ε-={(i,j)|eij＜0},ε=ε+∪ε-.由不同節(jié)點(diǎn) (i1,i2),(i2,i3),···,(il-1,il)所組成的邊的一個(gè)序列稱為路徑(路徑長度為l-1).若符號(hào)圖中的任意兩個(gè)不同節(jié)點(diǎn)之間存在路徑,則該圖稱為是強(qiáng)連通的.已知包含相同節(jié)點(diǎn)集的p個(gè)符號(hào)圖G(Ek)= (V,εk,Ek),k=1,2,···,p,則在切換信號(hào)σ(k)下,可以定義一個(gè)時(shí)變符號(hào)圖,即G(Eσ(k))= (V,εσ(k),Eσ(k)).

附錄B 預(yù)備引理

考慮如下差分方程

其中,x∈Rn,f:Rn→Rn是連續(xù)的,f(0)=0.

引理1.令V:Rn→Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù),且滿足

其中,?k ≥0,?x∈Rn,c,c1,c2,c3是正常數(shù).那么,對每個(gè)初始狀態(tài)x(0),存在正常數(shù)ρ≥1,0＜γ＜1,有T≥0 (取決于x(0)和c),使得系統(tǒng)(B1)的解滿足

證明.本引理證明類似于定理4.18[26]的證明.令Ωc={x∈Rn|V(x)≤c},若初始x(0)∈Ω,則系統(tǒng) (B1)的解依賴于 Ωc,這是因?yàn)閂(x(k))在邊界上是負(fù)的.對于 Rn-Ωc內(nèi)部的某個(gè)解,令T是它進(jìn)入 Ωc的起始時(shí)刻,則對于所有的k∈[0,T]∩Z+,有下式成立:

又由于V(x(k))≥0,易得c3/c2＜1.所以(1-c3/c2)＜1.可以得到