薛 麗，賈元忠，曹逗逗

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 管理工程學(xué)院,河南 鄭州 450046)

1 引 言

統(tǒng)計過程控制(SPC)應(yīng)用中，通常運用傳統(tǒng)控制圖監(jiān)控一元或者多元質(zhì)量特性值。如果一個產(chǎn)品的質(zhì)量特性值可以用多個響應(yīng)變量與多個自變量之間的函數(shù)關(guān)系表示，則可以采用輪廓控制圖監(jiān)控該產(chǎn)品的質(zhì)量特性值，此時這種函數(shù)關(guān)系稱為輪廓。為了監(jiān)控半導(dǎo)體工業(yè)校準過程中的穩(wěn)定性，2000年Kang 和Albin[1]對壓力和流量之間的關(guān)系用簡單線性輪廓模型進行描述，并提出相應(yīng)輪廓監(jiān)控方法。簡單線性輪廓模型易于處理且可應(yīng)用于許多生產(chǎn)過程，許多學(xué)者先后對涉及簡單線性輪廓監(jiān)控進行了相關(guān)研究(Woodall等[2]，Wang 和Tsung等[3])。

SPC第一階段主要分析生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定，并對生產(chǎn)過程中的參數(shù)進行估計，其中Mestek 等[4]、Kim等[5]、Taghipourde等[6]對控制圖的第一階段方法進行研究。SPC第二階段對生產(chǎn)過程進行監(jiān)控，當過程中存在異常波動時控制圖報警。Kang和Albin[1]提出了T2、指數(shù)加權(quán)移動平均(EWMA)聯(lián)合R控制圖的方法，以監(jiān)控線性輪廓的變化。Kim等[7]對變量數(shù)據(jù)進行中心化處理，使用EWMA控制圖對參數(shù)進行監(jiān)控。Abbas等[8]構(gòu)造了三種單變量貝葉斯EWMA控制圖，分別對截距、斜率和誤差方差進行了監(jiān)控。Abbas等[9]將貝葉斯理論用于累積和(CUSUM)控制圖，研究表明，在共軛先驗下提出的CUSUM控制圖性能更佳。Huwang等[10]運用空間秩的EWMA圖對誤差項不符合正態(tài)性假定的線性輪廓進行監(jiān)控研究。Haq等[11]通過調(diào)整可變抽樣區(qū)間提高控制圖的靈敏度。Yeganeh等[12]提出了一種多元指數(shù)加權(quán)移動平均(MEWMA)控制圖和運行規(guī)則相結(jié)合的方法，提高了監(jiān)控簡單線性輪廓的性能。Zhang等[13]使用CUSUM控制圖對預(yù)先指定的線性輪廓變化進行監(jiān)控。Noorossana等[14]研究了第一階段參數(shù)估計誤差對第二階段輪廓監(jiān)控的影響。

隨著生產(chǎn)過程中數(shù)據(jù)采集技術(shù)的發(fā)展以及抽樣間隔越來越短，許多輪廓數(shù)據(jù)具有自相關(guān)性，此時應(yīng)用傳統(tǒng)獨立過程的監(jiān)控方法會大大增加虛發(fā)警報[15]。針對誤差項遵循一階自回歸模型AR(1)的簡單線性輪廓，Soleimani 等[15]提出了T2控制圖和EWMA控制圖來監(jiān)控生產(chǎn)過程。Chiang等[16]提出了MEWMA控制圖，用于檢測截距和斜率的變化。

以上研究均是基于構(gòu)造統(tǒng)計量建立控制圖以監(jiān)控生產(chǎn)過程，需要對原始數(shù)據(jù)進行處理，其過程較為復(fù)雜。控制圖可以看成區(qū)分受控過程和失控過程的分類器，因此使用機器學(xué)習(xí)方法可以監(jiān)控生產(chǎn)過程，且不需要對數(shù)據(jù)進行復(fù)雜的處理，亦能達到較好的效果。Hosseinifard等[17]以及Yeganeh和Shadman[18]運用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對線性輪廓監(jiān)控進行了研究。賀辰然[19]討論了二分類支持向量機在監(jiān)控線性輪廓中的應(yīng)用。二分類的方法需要大量受控和失控樣本訓(xùn)練分類器，但在實際生產(chǎn)過程中，這一條件有時不能得到滿足，因此在一定程度上限制了其應(yīng)用范圍。針對實際生產(chǎn)過程中僅有受控樣本的情況，SVDD方法被引入輪廓監(jiān)控中，且取得了不錯的效果[20-22]。

在以上研究背景下，為盡快監(jiān)測出自相關(guān)線性輪廓數(shù)據(jù)的異常，本文針對實際生產(chǎn)過程中異常類樣本難以收集或者收集異常樣本需要消耗大量的時間或成本的情況，提出基于一類支持向量機(OCSVM)[23-24]的監(jiān)控方法。以平均運行長度(ARL)為準則，通過仿真實驗討論不同核函數(shù)對監(jiān)控性能的影響，并將結(jié)果與現(xiàn)有的一些傳統(tǒng)方法進行比較。

2 方法簡介

OCSVM是基于支持向量機(SVM)的一種一類分類器[23-24]。模型描述如下：設(shè)有受控訓(xùn)練樣本{z|zi∈Rn,i=1,2,…,m}，坐標原點坐標為(0,0,…,0)nx1，通過核函數(shù)將訓(xùn)練樣本映射到高維特征空間，在特征空間中找到一個最優(yōu)超平面實現(xiàn)訓(xùn)練樣本與坐標原點的最大分離。最優(yōu)超平面表達式為w·z-b=0，w為權(quán)重向量，b為偏差。使最優(yōu)超平面與坐標原點的距離b/‖w‖最大，轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題：

s.tw·zi-b+ξi≥0,ξi≥0.

(1)

其中ξi為松弛變量，u為訓(xùn)練樣本中噪聲數(shù)據(jù)比例。用拉格朗日方法將式(1)轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題，即：

(2)

其中αi≥0,βi≥0為拉格朗日乘子。對式(2)中的變量w,b,ξ分別求導(dǎo)并令偏導(dǎo)數(shù)為0可得：

(3)

(4)

(5)

將得到的式(3)～(5)帶入式(2)可將原問題轉(zhuǎn)化為其對偶問題，并將對偶問題求最小可得：

(6)

式(6)中(zi·zj)為內(nèi)積運算，OCSVM中用核函數(shù)代替內(nèi)積運算。式(6)可以轉(zhuǎn)化為：

(7)

對二次規(guī)劃問題式(7)進行求解，可得到拉格朗日乘子α=(α1,α2,…,αm)，其中αi不為0,對應(yīng)的zi為超平面的支持向量。對新的測試樣本o，該點所屬類別的判別式為：

(8)

根據(jù)f(o)的輸出值判斷測試樣本o的所屬類別。如圖 1所示，以二維數(shù)據(jù)說明OCSVM的原理。

圖1 用于異常檢測的二維OCSVM示意圖圖解

若f(o)≥0，則測試樣本o屬于受控類，若f(o)<0，則測試樣本o屬于失控類。

3 基于OCSVM的線性自相關(guān)輪廓監(jiān)控模型

3.1線性自相關(guān)輪廓

假設(shè)過程或產(chǎn)品質(zhì)量特性Y為某一變量X的函數(shù)，過程處于統(tǒng)計受控狀態(tài)時，Y與X的函數(shù)關(guān)系為：

Y=f(X,β)+α,Xι

(9)

其中，β為受控輪廓的系數(shù)向量，Xι和Xh界定了的X的范圍，α為獨立隨機變量且服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。上述獨立變量X可以是時間、加工產(chǎn)品的測量位置、溫度等。

對抽樣時刻i(i=1,2,…,m)，可以測得輪廓內(nèi)n個觀測點xi1,xi2,…,xin響應(yīng)變量的值為yi1,yi2,…,yin。每條輪廓為一個觀測樣本，每個樣本由n個數(shù)據(jù)點(xij,yij)，j=1,2,…,n構(gòu)成。為方便分析數(shù)據(jù)，常假設(shè)不同輪廓中點(Xι,Xh)內(nèi)觀測點位置相同，即對任意時刻i的輪廓有xij=xj。用AR(1)模型表示線性輪廓內(nèi)的相關(guān)性[15]。過程處于統(tǒng)計控制狀態(tài)時，線性輪廓內(nèi)自相關(guān)模型可以表示為：

yij=A0+A1xj+εij

εij=ρεi(j-1)+αij

(10)

其中εij為相關(guān)誤差項，αij為獨立隨機變量且服從均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。ρ是自相關(guān)系數(shù)，為已知常數(shù)。本文中，考慮第二階段，即假設(shè)參數(shù)A0,A1,σ2已知。

3.2基于OCSVM的監(jiān)控模型

圖2 OCSVM方法流程圖

利用訓(xùn)練階段得到的超平面對后續(xù)新收集的輪廓數(shù)據(jù)進行監(jiān)控，判斷其生產(chǎn)過程是否處于受控狀態(tài)，如果存在異常原因，則發(fā)出警報。OCSVM控制方法的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 OCSVM控制方法結(jié)構(gòu)圖

4 仿真分析

為驗證所提出方法的監(jiān)控效果，采用Soleimani等[15]的仿真模型來進行模擬。每個輪廓的截距A0=3，斜率A1=2，回歸方程為：

yij=3+2xj+εij,

εij=ρεi(j-1)+αij,

(11)

其中εij是相關(guān)誤差項，αij為獨立隨機變量，且αij～N(0,1)，ρ為自相關(guān)系數(shù)。在模擬仿真中，分別針對自相關(guān)系數(shù)ρ=0.1(弱相關(guān))或ρ=0.9(強相關(guān))兩種情況，所提出的方法與Soleimani等[8]提出方法的監(jiān)控效果進行比較。

假定式(7)中的訓(xùn)練樣本噪聲數(shù)據(jù)比例u=0.001。針對自相關(guān)系數(shù)ρ=0.1(弱相關(guān))或ρ=0.9(強相關(guān))兩種情況，分別采用高斯核函數(shù)和多項式核函數(shù)進行訓(xùn)練，并將這兩種訓(xùn)練模型的監(jiān)控效果進行比較，選擇對具有自相關(guān)性的輪廓數(shù)據(jù)監(jiān)控效果較好的核函數(shù)。最后與Soleimani等[15]提出的方法進行比較。

4.1仿真過程

以平均運行長度為評價準則對不同控制圖性能進行比較。首先確定OCSVM方法參數(shù)，訓(xùn)練階段調(diào)整參數(shù)令控制圖誤警率α=0.005，即受控運行長度ARL0=200，然后比較失控運行長度ARL1，ARL1越小的控制圖監(jiān)控性能越好。

β=(-0.2,-0.3,-0.4,-0.5,-0.6,-0.7,-0.8,-0.9,-1)同時變化的9種異常。

以ρ=0.1(弱相關(guān))時為例，(ρ=0.9過程同ρ=0.1)仿真步驟如下：

步驟一：生成訓(xùn)練數(shù)據(jù)。根據(jù)式(11)生成M個受控樣本數(shù)據(jù)，樣本類別為+1。

步驟二：數(shù)據(jù)預(yù)處理。將步驟一生成的樣本值轉(zhuǎn)化到[0,1]的區(qū)間內(nèi)。

步驟三：確定核函數(shù)及核函數(shù)參數(shù)。本文選取高斯和多項式兩種核函數(shù)進行比較。

步驟四： 尋找最優(yōu)參數(shù)。在[2-10,210]范圍內(nèi)采用遍歷法調(diào)整核函數(shù)參數(shù)，使訓(xùn)練數(shù)據(jù)的誤警率為0.005，誤差為0.0001。訓(xùn)練時對受控數(shù)據(jù)采用10折交叉驗證的方式，將受控數(shù)據(jù)隨機分成10份，其次輪流將其中9份做訓(xùn)練1份做驗證，10次結(jié)果的均值作為對算法精度的估計值，使訓(xùn)練數(shù)據(jù)最終的誤警率為0.005，受控運行長度ARL0=200。

步驟五：構(gòu)建模型。由步驟四得到最優(yōu)參數(shù)，對訓(xùn)練樣本訓(xùn)練得到分離超平面，對后續(xù)過程進行監(jiān)控。

步驟六：生成異常數(shù)據(jù)。對4類異常數(shù)據(jù)每種異常生成1000批數(shù)據(jù)集，每批數(shù)據(jù)集含有1000個對應(yīng)的異常數(shù)據(jù)。

步驟七：計算ARL1。采用步驟五中得到的分離超平面對步驟六中的異常樣本進行監(jiān)控，由于每種異常有1000批數(shù)據(jù)集，故迭代1000次之后得到的均值即為ARL1。

4.2不同核函數(shù)監(jiān)控性能對比

運用高斯核函數(shù)與多項式核函數(shù)的訓(xùn)練模型分別記為OCSVMR、OCSVMP。在受控運行長度ARL0相同的情況下，通過比較不同控制方法對應(yīng)的失控平均運行長度ARL1值的大小來評價其性能。采用上節(jié)中的步驟進行仿真模擬，表1—4顯示了ρ分別為0.1和0.9時截距變化、斜率變化、標準差變化以及截距、斜率同時變化的失控運行長度，其中λ、β、γ分別為截距、斜率、標準差的變化量，變化單位為σ。

表1 截距A0偏移至A0+λσ時OCSVMR模型與OCSVMP模型ARL1比較

表2 斜率A1偏移至A1+βσ時OCSVMR模型與OCSVMP模型ARL1比較

表3 標準σ差偏移至γσ時OCSVMR模型與OCSVMP模型ARL1比較

表4 斜率、截距以同時發(fā)生偏移時OCSVMR模型與OCSVMP模型ARL1比較

為直觀顯示OCSVMP模型與OCSVMR模型的監(jiān)控效果，下面用圖形的方式對表1—4中的情況進行比較，具體見圖 4。

圖4 OCSVMR模型與OCSVMP模型監(jiān)控效果比較

由圖4可知，監(jiān)控截距發(fā)生偏移時，OCSVMP模型優(yōu)于OCSVMR模型。監(jiān)控斜率方面，在自相關(guān)系數(shù)ρ=0.1，斜率偏移小于0.175時，OCSVMP模型優(yōu)于OCSVMR模型；自相關(guān)系數(shù)ρ=0.9時，OCSVMP模型優(yōu)于OCSVMR模型。監(jiān)控標準差方面，OCSVMP模型整體優(yōu)于OCSVMR模型。另外，在監(jiān)控截距、斜率同時變化時，OCSVMP模型整體優(yōu)于OCSVMR模型。從整體看，OCSVMP模型的監(jiān)控效果優(yōu)于OCSVMR模型。

4.3與傳統(tǒng)控制圖方法比較研究

表5 截距A0偏移至A0+λσ時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

續(xù)表5 截距A0偏移至A0+λσ時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

表6 斜率A1偏移至A1+βσ時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

表7 標準差σ偏移至γσ時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

表8 斜率、截距以同時發(fā)生偏移時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

續(xù)表8 斜率、截距以同時發(fā)生偏移時OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖ARL1比較

為直觀顯示OCSVMP模型與傳統(tǒng)控制圖的監(jiān)控效果，下面用圖形的方式對表5—8中的情況進行比較，具體見圖 5。

圖5 OCSVMR模型與傳統(tǒng)控制圖監(jiān)控效果比較

由圖5可知，監(jiān)控截距發(fā)生偏移時，自相關(guān)系數(shù)ρ=0.1,在截距偏移大于1.2時，及自相關(guān)系數(shù)ρ=0.9時，OCSVMP模型優(yōu)于另外四種方法。監(jiān)控斜率偏移時， EWMA-3方法表現(xiàn)最優(yōu)。監(jiān)控標準差發(fā)生偏移時，OCSVMR模型整體優(yōu)于另外四種方法。監(jiān)控截距、斜率同時變化時，OCSVMP模型明顯優(yōu)于另外四種方法。

5 結(jié) 論