周德，張羽龍，王寧波，黃方林 ,周天睿

(1.中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2.中建七局投資有限公司，河南 鄭州 450000)

自錨式懸索橋造型優(yōu)美，跨越能力大，特別適用于地質(zhì)條件受限且主跨在150～400 m 范圍內(nèi)具有景觀要求的橋位。這種橋型主纜錨固在加勁梁上[1-2]，是一種自平衡體系，受力上也較地錨式懸索橋更復雜，其分析多采用基于有限元理論的數(shù)值仿真技術(shù)[3-5]。然而，對大型結(jié)構(gòu)進行仿真分析，存在建模工作量大、修改模型繁瑣和計算耗時久等不足，迫切需要一種簡化且快速的計算方法。國內(nèi)外許多學者對自錨式懸索橋計算理論上進行了大量研究。BATHE 等[6]把U.L 列式和T.L 列式進行了詳細推導，但推導結(jié)果子矩陣較多，構(gòu)造也比較復雜。楊孟剛等[7]基于U.L 的虛功增量方程，建立了一套完整的非線性有限元法，用于求解索力。黃瓊等[8]基于能量法，提出一種計算兩塔三跨自錨式懸索橋受力性能的簡化計算方法，但其在求解時未考慮輔助跨的影響。王曉明等[9]將自錨式懸索橋分為主纜系統(tǒng)和塔梁系統(tǒng)，根據(jù)自錨式懸索橋自平衡體系及主纜的耦合特性，推導出簡化解析公式，通過Newton-Simpson 方法求解，并和有限元計算結(jié)果進行對比。王邵銳等[10]考慮纜-梁聯(lián)合作用的恒載狀態(tài)計算方法，基于加勁梁的撓度理論，通過梁段的平衡微分方程、幾何方程和物理方程推導出加勁梁的線形和索力的解析關(guān)系。劉超等[11]針對分段懸鏈線法收斂性能差、計算效率低等問題，提出了一種新的數(shù)值計算方法用于自錨式懸索橋主纜線形找形。向中富等[12]借鑒結(jié)構(gòu)力學中位移法的求解思路，提出一種基于主纜內(nèi)力狀態(tài)計算吊索力的實用計算方法。上述研究多以雙塔自錨式懸索橋為研究對象，專門針對獨塔自錨式懸索橋的偏少。而在橋梁初步設(shè)計階段，通常需要頻繁修改設(shè)計，變更計算參數(shù)，工作量大，迫切需要一種快速求解的方法，使設(shè)計人員迅速了解參數(shù)修改后的橋梁受力狀態(tài)。為此，本文根據(jù)獨塔對稱自錨式懸索橋的受力特點，提出一種基于最小勢能原理的簡化計算方法，并以主跨(150+150)m 九喬路自錨式懸索橋為算例，對該方法的適用性進行驗證。

1 簡化力學模型

1.1 力學模型

如圖1所示，將獨塔對稱自錨式懸索橋在主纜和吊索處切斷，橋梁分離為主纜體系和加勁梁體系，切斷處主纜力和吊索力均用集中力來代替，分別為圖中Fv和Fi(i=1,2,3,…,n)。

圖1 獨塔對稱自錨式懸索橋簡化力學模型Fig.1 Simplified mechanical model of a single-tower symmetrical self-anchored suspension bridge

1.2 基本假定

根據(jù)獨塔對稱自錨式懸索橋受力特點，理論推導時作如下假定：

1) 成橋狀態(tài)在恒載作用下，橋梁保持“梁平塔直”線形，主纜線形為二次拋物線，吊索保持豎直狀態(tài)；

2)加勁梁為等截面；

3)加勁梁和主塔之間采用簡支約束。

2 成橋狀態(tài)下內(nèi)力和變形的簡化解析解

根據(jù)成橋狀態(tài)下“梁平塔直”的基本假定，可推導獨塔對稱自錨式懸索橋成橋索力和主纜力的解析解。

如圖2所示，取加勁梁體系為研究對象，該體系主要受主纜力、吊索力和輔助跨傳遞的附加力，其中，qd為恒載折算的均布荷載；Hv和Hd對應主纜力的豎直分量和水平分量；m0，Qf對應輔助跨傳遞的附加力矩和附加力；若輔助跨跨度為L0，均布荷載為qf，則m0=qf/8，Qf=5qfL0/8。

圖2 成橋狀態(tài)時獨塔對稱自錨式懸索橋加勁梁受力示意圖Fig.2 Stiffening beam schematic diagram of the force in the completed state

忽略剪切變形產(chǎn)生的應變能，恒載作用下系統(tǒng)應變能為：

式中：Mab，Eb，Ib，Ab和L分別為加勁梁在任意截面的彎矩、彈性模量、慣性矩、面積和跨度。

若主纜單位長度重量為qc，則恒載作用下其承受的等效均布荷載q0為：

根據(jù)主纜線形為二次拋物線的基本假定，若矢高為f，則主纜水平分力Hd為：

加勁梁成橋狀態(tài)時任意截面彎矩為：

式中：mab為恒載qd，F(xiàn)v和附加力Qf引起的加勁梁彎矩；mid為吊索力為單位力時引起的彎矩。

根據(jù)成橋狀態(tài)時“梁平塔直”基本假定，δi=0，即：

根據(jù)卡式第二定理，

根據(jù)式(7)即可求出成橋狀態(tài)時恒載作用下吊索力，再將吊索力代入式(2)和式(3)，可求出成橋狀態(tài)時主纜的水平分力，進而求出主纜合力。

3 運營狀態(tài)下內(nèi)力和變形的簡化解析解

3.1 恒載和活載作用下吊索力

如圖3所示，運營狀態(tài)在恒載和活載共同作用下，依然取加勁梁體系為研究對象，圖中，q＇為恒載和活載折算而成的均布荷載，且q＇=qd+ql，ql為活載折算的均布荷載，pj為集中力，，，，Hb，和分別為恒載和活載共同作用下的吊索力、主纜力及其豎直分量、加勁梁軸力、輔助跨傳遞的附加力和附加力矩。

圖3 恒載+活載作用下加勁梁計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of a stiffening beam under dead load+live load

忽略剪切變形產(chǎn)生的應變能，恒載和活載共同作用下系統(tǒng)應變能為：

式中：為恒載和活載共同作用下加勁梁在任意截面的彎矩，其大小為：

式中：為恒載、活載、主纜力和附加力共同引起的加勁梁彎矩；mid為吊索力為單位力時引起的彎矩；Hb為恒載和活載共同作用下加勁梁軸力；Hl為活載作用時主纜水平分力；y為加勁梁撓度；附加力矩m′0和前述m0計算方法保持相同。

根據(jù)卡氏第二定理，同理可求出恒載和活載共同作用下吊索力。

3.2 活載作用下主纜力

主纜在活載作用下產(chǎn)生的水平分力Hl可通過順橋向變形協(xié)調(diào)條件進行求解，即加勁梁壓縮量應等于主纜錨固點水平距離減小量。如圖4 所示，取微小單元為隔離體，主纜長度為ds，荷載作用后長度為ds+Δds，du和dv分別為主纜水平投影增量和豎向投影增量。

圖4 主纜微單元示意圖Fig.4 Schematic diagram of the main cable micro unit

引入變形協(xié)調(diào)條件，可得：

式中：Ac為主纜橫截面積，Ec為主纜彈性模量。

根據(jù)式(10)可求出活載作用下主纜的水平分力Hl。

3.3 恒載和活載作用下內(nèi)力和變形的簡化解析解

圖5為恒載和活載共同作用下獨塔對稱自錨式懸索橋加勁梁受力示意圖。圖6為加勁梁解除主塔處豎向約束后由外荷載和支座反力引起的加勁梁撓曲線示意圖。

圖5 恒載+活載共同作用下獨塔對稱自錨式懸索橋加勁梁受力示意圖Fig.5 Stiffening beam schematic diagram of the force of a single-tower symmetrical self-anchored suspension bridge under dead load and live load

圖6 大跨度獨塔自錨式懸索橋加勁梁撓曲線示意圖Fig.6 Schematic diagram of stiffening beam deflection curve of long-span single-tower self-anchored suspension bridge

忽略剪切變形產(chǎn)生的應變能，系統(tǒng)應變能為：

外力勢能為：

式中：y為跨度2L的簡支梁撓度；yj，yi分別為集中活載pj，吊索力位置處對應的撓度；θ為撓曲線兩端的轉(zhuǎn)角。

總勢能為：

基于Ritz 法，解除支座后簡支梁撓度y可用三角級數(shù)表示如下：

式中：am為待定系數(shù)。

解方程并整理得：

解除支座豎向約束后，簡支梁在跨中處由恒載和活載共同作用引起的撓度y0為：

而作用在支座位置處單位力產(chǎn)生的撓曲線y1為：

同理可得：

解除支座豎向約束后，簡支梁在跨中處由單位力產(chǎn)生的撓度δ1為：

由支座處約束條件可得：

解方程得：

得到總撓度函數(shù)為：

進而求出加勁梁彎矩如下：

式(24)和式(25)即為含輔助跨的獨塔對稱自錨式懸索橋內(nèi)力和變形的簡化解析解，若無輔助跨則計算時m0和取零即可。

4 算例分析

4.1 工程概況

如圖7 所示，九喬路獨塔自錨式懸索橋全長368.4 m，跨徑布置為30 m+2×150 m+30 m，橋面寬40 m，采用半漂浮體系。纜索為雙跨雙索面線形，理論跨徑140.635 m，矢跨比為1/12。索塔高67.0 m，采用異型雙柱式鋼筋混凝土箱型結(jié)構(gòu)，壁厚1.2 m。索塔基礎(chǔ)采用矩形承臺，長×寬×高為25.6 m×15.6 m×6.0 m。全橋設(shè)15 對吊索，吊索順橋向標準間距為8 m，均采用高強度鍍鋅平行鋼絲。

圖7 九橋路大橋總體布置圖Fig.7 Overall layout of Jiuqiao Road Bridge

材料參數(shù)取值如表1所示。

表1 材料參數(shù)Table 1 Material parameter

4.2 有限元模型

采用有限元分析軟件Midas Civil 2020 建立九喬路自錨式懸索橋空間仿真模型。建模時，索塔和加勁梁均采用梁單元模擬，纜索、吊索均采用只受拉索單元模擬，混凝土板和鋼板采用空間板單元模擬，通過調(diào)整纜索和吊索力確定合理成橋狀態(tài)。邊界條件按實際情況施加。全橋空間有限元仿真模型如圖8所示。

圖8 九喬路大橋有限元模型Fig.8 Finite element model of Jiuqiao Road Bridge

4.3 結(jié)果對比

基于本文推導的簡化方法，采用MATLAB 編制程序，按照以下步驟求解：

1)對成橋狀態(tài)進行分析，根據(jù)卡氏第二定理，求出恒載作用下吊索力和主纜水平分力；

2) 通過變形協(xié)調(diào)條件，求出活載作用時主纜的水平分力增量；

3) 根據(jù)卡氏第二定理，同理，求出活載作用時吊索力和主纜力；

4) 基于Ritz 法，根據(jù)最小勢能原理，求待定系數(shù)，求解Ym；

5) 求解Ym+1，當∣Ym+1-Ym∣＜ε時(本文ε取0.001，此時m為21)，結(jié)束求解。

根據(jù)上述步驟對九喬路自錨式懸索橋內(nèi)力和變形解析解進行求解，并與有限元數(shù)值解進行對比。圖9 為成橋狀態(tài)下索力對比圖。圖10 為雙向6車道全橋滿布靜活載(公路I 級)作用下豎向撓度對比曲線。由圖可見：2 種方法的計算結(jié)果吻合較好，索力最大偏差為11.12%，發(fā)生在吊索1處；豎向撓度偏差在15%以內(nèi)。產(chǎn)生偏差的原因是簡化解析解求解時加勁梁假設(shè)為等截面，與實際情況存在差異。

圖9 成橋狀態(tài)下九喬路大橋索力解析解與數(shù)值解對比(半橋)Fig.9 Comparison of analytical and numerical solutions of the cable force of Jiuqiao Road Bridge in the completed state(half bridge)

圖10 活載作用下九喬路大橋撓度對比(半橋)Fig.10 Comparison of deflection of Jiuqiao Road Bridge under live load(half bridge)

5 結(jié)論

1) 基于最小勢能原理，提出了一種求解獨塔對稱自錨式懸索橋內(nèi)力和變形的簡化解析方法。采用該方法對跨徑布置為(150+150)m 的九喬路獨塔自錨式懸索橋求解時，其計算結(jié)果與有限元仿真分析結(jié)果吻合較好，豎向撓度、彎矩和索力的分布規(guī)律基本保持一致，計算值2 種方法相差在15%以內(nèi)，具備工程適用性。

2) 本文提出的簡化解析解可為獨塔對稱自錨式懸索橋的初步設(shè)計階段快速計算內(nèi)力和變形及設(shè)計優(yōu)化提供有益參考。

3) 本文提出的方法，未考慮非線性及剛度折減的影響，因此，對于跨度大于200 m 以上的獨塔自錨式懸索橋，其簡化解析解有必要做進一步的研究。