王輝堤，肖友剛，李蔚，韓錕

(1.中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075；2.中南大學 軌道交通安全關鍵技術國際合作聯(lián)合實驗室，湖南 長沙 410075)

長期以來，起重機作業(yè)依賴于吊車司機的操作經驗。操作不當、加減速運動及外界干擾等因素都會造成負載擺動，不僅降低效率，也產生安全隱患。如何抑制起重機運行過程中的擺動問題，并高效、安全、準確地將貨物搬運到目標位置，是目前國內外學者研究的熱點問題[1-3]。現(xiàn)有的起重機防擺控制方法大多針對單級擺型起重機提出[2-7]。然而當?shù)蹙哔|量與負載質量相近且距離較遠時，二者不可視為同一整體，此時系統(tǒng)易呈現(xiàn)出復雜的雙擺現(xiàn)象。雙擺效應使系統(tǒng)運動維數(shù)增加，欠驅動性和非線性更強，控制器設計難度增加。目前，已有學者針對雙擺起重機控制問題提出了一些行之有效的控制方法，如經典無狀態(tài)反饋的開環(huán)控制法。其中，肖友剛等[8]利用擴張狀態(tài)觀測器估計負載擺動狀態(tài)，設計了雙擺型吊車滑模控制器，但沒有考慮擾動的影響。陳鶴等[9]考慮了系統(tǒng)物理約束，利用高斯偽譜法求解得到全局時間最優(yōu)、具有消擺功能的臺車運行軌跡。孫寧等[10]充分考慮了系統(tǒng)的物理約束和控制性能指標，提出了帶有狀態(tài)約束的雙擺吊車最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法；需指出的是，開環(huán)控制方法雖易于實現(xiàn)，但對參數(shù)不確定性和外界干擾十分敏感，魯棒性較差，因此閉環(huán)控制法得到了更多學者的青睞。其中，MAR 等[11]提出了輸入整形和PID 控制相結合的方案，克服了輸入整形器抗干擾能力差的局限。QIAN 等[12]提出了一種基于單輸入規(guī)則模塊的模糊控制器，抑制了兩級擺角擺動。ZHANG 等[13]考慮了控制輸入約束，利用能量整形的思想，設計了一種帶有跟蹤誤差約束的自適應跟蹤控制器；歐陽慧珉等[14]設計了一種變閉環(huán)阻尼比的非線性滑?？刂扑惴?，解決了旋轉起重機的旋臂定位和兩級擺動抑制問題；SUN 等[15-16]設計了一種飽和非線性輸出反饋控制器和一種非線性PID控制器，解決了雙擺橋式吊車防擺定位問題。這些雙擺起重機閉環(huán)控制方法均需利用所有系統(tǒng)狀態(tài)的實時反饋信息進行控制，然而在實際中負載擺角不易通過安裝傳感器直接測量。此外起重機系統(tǒng)存在模型不確定和外部隨機擾動的影響。如何解決這些問題是本文研究的關鍵。光滑整形(Command Smooth‐ing)是一種簡單、高效的前饋控制技術，通過與輸入信號相卷積形成平滑的光滑整形指令，從而有利于抑制柔性系統(tǒng)的振蕩[17-18]。自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)把作用于被控對象的所有不確定因素都歸結為未知“總擾動”，利用擴張狀態(tài)觀測器(Extended state observer,ESO)進行實時估計并給予補償[19]。ADRC 不依賴于被控對象的精確模型，具有結構簡單、魯棒性強的優(yōu)點，尤其適用于非線性控制系統(tǒng)。綜上所述，為在無負載擺角反饋的前提下，有效控制雙擺起重機的負載擺動，并進一步提升系統(tǒng)性能，本文提出了開環(huán)光滑整形技術和閉環(huán)自抗擾控制技術相結合的混合控制法(Smoothing ADRC,S-ADRC)。首先，基于系統(tǒng)的固有特性設計光滑整形器，對傳統(tǒng)的梯形軌跡進行光滑處理，以保障臺車平穩(wěn)安全運行；其次在起重機模型變換的基礎上，利用線性擴張狀態(tài)觀測器估計包含負載擺動信息的系統(tǒng)總擾動，并反饋到控制器進行補償，進而形成前饋加反饋的雙通道自抗擾復合控制方案，實現(xiàn)了對臺車位移和兩級擺角的有效控制。仿真結果驗證了所提方法的有效性。

1 雙擺型起重機系統(tǒng)分析

具有雙擺效應的起重機模型如圖1所示，根據(jù)拉格朗日力學原理可得其動力學方程[10]：

圖1 具有雙擺效應起重機系統(tǒng)模型Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum overhead crane

其中：M，m1，m2分別為臺車、吊鉤、負載的質量，θ1為吊鉤的垂向擺角，容易通過編碼器測得，θ2為負載的垂向擺角，實際中難測；l1為吊繩長度，l2為吊鉤與負載重心之間的距離，g為重力加速度，F(xiàn)為臺車驅動力，x為臺車位移，F(xiàn)r為臺車摩擦力，為與摩擦力相關的系數(shù)。

考慮到雙擺型橋式起重機系統(tǒng)只有一個輸入力作為控制量，但卻需同時控制臺車位移和2個擺角，將控制量F拆分為位移控制量u1，擺角控制量u2及臺車摩擦力補償量Fr，即：

考慮到實際作業(yè)中，應避免產生大幅擺角，在小角度情況下cosθi≈1,cos(θ1-θ2)≈1,sinθi≈θi,sin(θ1-θ2)θi2≈0[10]，結合式(1)～(2)可得雙擺起重機的近似線性模型：

設計控制系統(tǒng)的目的是使得臺車精準到達目標位置xd，且實時消擺。本文著重研究無負載擺角傳感器下的控制器設計問題，在后續(xù)內容中將設計一種光滑整形結合自抗擾的混合控制策略來實現(xiàn)控制目標。

2 光滑整形器的設計

在實際應用中，一般多采用梯形速度軌跡作為臺車速度曲線。由于這種軌跡的加速度具有與起重機系統(tǒng)的固有頻率相同的諧波成分，因此起重機加、減速過程中會引發(fā)負載強烈震蕩，對其安全與高效作業(yè)帶來不利影響。

光滑整形技術通過光滑函數(shù)與期望輸入相卷積，形成平滑的光滑整形指令作為系統(tǒng)的實際輸入，從而消除原信號中與系統(tǒng)固有頻率相同的諧波成分，以避免柔性系統(tǒng)的振動[17-18]。光滑整形器(Smoother)的設計僅需知道起重機系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比，因此具有簡單易實現(xiàn)的優(yōu)點。雙擺起重機的兩級擺角可看作2 個二階系統(tǒng)，由文獻[20]可知，雙擺起重機系統(tǒng)2個模態(tài)的振動頻率ω1，ω2可分別表示為：

其中，R，β為輔助參數(shù)，滿足：

雙擺起重機系統(tǒng)2 個固有頻率不僅與繩長有關，且與負載和吊鉤的質量之比也有關系，系統(tǒng)振動為2種不同固有頻率振動的組合，因此需設計控制器進行消除。Smoother 可幫助消除多模態(tài)系統(tǒng)的高頻振動，且根據(jù)第一模態(tài)設計的Smoother也能消除第2 模態(tài)頻率的振動[18]。為簡化Smoother的設計，本文僅利用雙擺起重機系統(tǒng)的第1模態(tài)振動頻率信息。

雙擺起重機系統(tǒng)為二階振蕩系統(tǒng)，其對光滑整形函數(shù)u(τ)的響應為[18]：

其中，ξ為系統(tǒng)阻尼比。

系統(tǒng)的振幅響應為：

為保證經光滑整形后的信號與原始信號具有相同的增益，將光滑整形函數(shù)的積分值設定為1，因此u(τ)需滿足約束方程：

根據(jù)式(9)～(11)解出起重機系統(tǒng)光滑整形器的表達式：

若光滑整形器的模型頻率和阻尼比沒有誤差，則可完全消除系統(tǒng)振蕩，由于光滑整形器的指令平滑具有很好的魯棒性，因此模型頻率參數(shù)可在一定范圍內變動。

3 自抗擾控制器設計

3.1 擴張狀態(tài)觀測器的設計

由于吊鉤和負載間的耦合關系，負載擺動勢必對吊鉤擺動造成影響，對吊鉤擺動的抑制，也能減少負載擺動幅度，從而抑制兩級擺動。由于負載擺角信息無法獲取，且式(6)～(7)中的f1，f2結構復雜，并包含未建模部分，因此將負載擺動對系統(tǒng)產生的動態(tài)影響及f1，f2歸并為總和擾動進行估計。

另一方面，上文雖已將控制量進行了拆分，但位移回路和擺動回路的控制量仍相互包含，任一回路控制量的變化都會對另一回路的狀態(tài)產生影響。為解決上述問題，將位移回路中負載擺動的控制量歸入位移回路的總和擾動中予以估計，將擺動回路中的位移控制量歸入擺動回路的總和擾動中予以估計，以實現(xiàn)位移回路和擺動回路間的解耦。綜上，式(6)～(7)重新表示為：

其中：R1=f1+b1u2為臺車位移回路的總和擾動，R2=f2+b2u1為擺動回路的不確定項，R3為擺角2對擺角1回路造成的外擾，R3=。

設計臺車位移回路的擴張狀態(tài)觀測器，將R1視為該通道的擴張狀態(tài)變量，令x1=x,x2=,x3=R1，則式(13)可表示為：

對臺車位移回路設計如下包含模型輔助信息的擴張狀態(tài)觀測器ESO1：

接下來設計擺動回路的擴張狀態(tài)觀測器，對R3和R2進行實時估計。注意到R3與θ2間的聯(lián)系，若能對R3進行準確估計，不僅能消除未知負載擺動狀態(tài)對系統(tǒng)的影響，也可對負載擺角進行“軟測 量”。對式(14)進行擴張，令φ1=θ1,φ2=,φ3=R2，則系統(tǒng)(14)可重新表示為：

因此，對擺動回路設計擴張狀態(tài)觀測器ESO2：

將臺車加速度視為欠驅動方程的輸入量，根據(jù)式(19)定義系統(tǒng)的狀態(tài)變量為：

則式(20)可表示為如下二階系統(tǒng)：

根據(jù)狀態(tài)變量之間關系，可設計如下擴張狀態(tài)觀測器ESO3，估計R3和θ2：

通過擴張狀態(tài)觀測器ESO3 和式(23)可在一定程度上估計出負載擺角信息。為簡化調參，采用帶寬法，將ESO1 和ESO2 的觀測器增益分別配置為：

其中：ωox和ωoθ分別為ESO1 和ESO2 的觀測器帶寬。帶寬的大小決定了ESO 觀測誤差大小及收斂速度的快慢。

3.2 誤差反饋控制律的設計

針對式(15)，可對位移通道設計如下控制律：

式中：k1,k2∈R+為位移通道的控制增益；v1為經光滑整形后的輸入命令。

針對式(17)可對擺角通道設計如下控制律：

其中：k3,k4∈R+為擺角通道的比例增益和微分增益。

對2 個通道控制量進行線性疊加得到總控制量，由式(25)和式(26)可得：

3.3 穩(wěn)定性分析

首先證明所設計的擴張狀態(tài)觀測器的穩(wěn)定性，由于ESO1，ESO2 和ESO3 具有相似的結構，因此下文將僅證明ESO1 的穩(wěn)定性，根據(jù)式(16)所設計的線性擴張狀態(tài)觀測器，作如下定義：

定理1：假設擾動|d|≤δ,δ∈R+，則存在常數(shù)σi＞0 (i=1,2,3)與一有限時間T＞0，對于任意t≥T及ωox＞0，可得

證明：對式(29)求解，可得：

由于|d|≤δ則：

由于Aξ是Hurwitz 的，因此存在一個有限時間T＞0，使得對于任意的t≥T下式成立：

結合式(32)～(33)可得：

結合式(31)～(34)可得：

設初始觀測誤差：

則對于任意t≥T下式成立：

因此ESO1 的觀測誤差是收斂且有界的，定理1 得證。式(38)可以看出提高帶寬，可減小觀測誤差，但同時也越容易引入噪聲信號，因此選取帶寬時，需綜合考慮系統(tǒng)控制指標和抗干擾性能。同理可知ESO2，ESO3的觀測誤差也是有界的。

定義起重機系統(tǒng)跟蹤誤差ψ1=x1-xd,ψ2=,ψ3=θ,ψ4=，定義擾動估計誤差：則系統(tǒng)誤差微分方程可表示為：

通過帶寬法，可進一步簡化參數(shù)個數(shù)，將k1,k2,k3,k4配置為如下形式：

易知矩陣E是Hurwitz 穩(wěn)定的，因此存在一正定矩陣P，使矩陣E滿足ETP+PE=-Q，其中Q為正定矩陣，構造如下Lyapunov函數(shù)：

其中：λmin(Q)和λmax(P)分別表示矩陣Q的最小特征值和矩陣P的最大特征值。

由上式可得(x) ＜0的充分條件為：

因此可通過配置矩陣E的特征值，使條件(42)滿足，從而保證閉環(huán)系統(tǒng)在有外擾下的穩(wěn)定性。

4 仿真結果

雙擺起重機系統(tǒng)的參數(shù)選取為M=20 kg,m1=1 kg,m2=2 kg,l1=0.6 m,l2=0.3 m,g=9.8 m/s2采樣周期為50 ms。臺車的初始位置設置為0，即x(0)=0，臺車的目標位置設置為xd=10 m。摩擦力參數(shù)設為：frx=8,krx=-1.2,εx=0.01。本文所提算法的參數(shù)為：=5,ωox=ωoθ=12,ωo=20。

為給臺車安排運動參考軌跡，首先構造了經典梯形速度軌跡，其加速度和速度參數(shù)分別設置為：am=0.5 m/s2，vm=1 m/s。為保證軌跡的平滑性，對梯形軌跡進行光滑整形，所得結果如圖2 所示?？梢娤噍^于原梯形速度軌跡的線性變化，光滑整形后的速度和加速度軌跡變化更為平滑，更有利于起重機系統(tǒng)運動狀態(tài)的平滑切換，保障系統(tǒng)平穩(wěn)安全運行。

圖2 光滑整形前后的臺車運動參考軌跡對比Fig.2 Comparison of the reference trajectory of the trolley before and after smooth shaping

4.1 控制器對比分析

為驗證本文所提方法的有效性，將光滑整形自抗擾控制器(S-ADRC)與文獻[20]所提基于無源性控制Passivity Based Control (PBC)，文獻[21]所提基于能量耦合控制Energy Coupling Based Con‐trol(ECBC)進行仿真對比，結果如圖3 所示。圖3中從上到下曲線依次為臺車位移、吊具擺角、負載擺角和臺車控制量，負載擺角的估計結果如圖4所示。其中ECBC 數(shù)學表達式為：Fx=Fr-kptanh(ξx)-，對應的參數(shù)充分整定為kp=20，kd=30，λ1=-6，λ2=-1。PBC 控制律如式(43)所示，對應的參數(shù)充分整定為kE=1，kd=20，kp=30，kD=0。為保證臺車平穩(wěn)高效運行，PBC和S-ADRC法采用光滑整形后的軌跡作為臺車的跟蹤軌跡，且參數(shù)和上文均保持一致。ECBC 法因其自身控制律所含tanh函數(shù)具有光滑特性，可不必安排參考軌跡。

圖4 負載擺角理論值和估計值對比Fig.4 Comparison of actual and estimated load swing angle

從圖3可以看出，3種控制器定位都非常精準，同時在不同程度上抑制兩級擺動。具體來講，采用本文設計的軌跡進行跟蹤控制的S-ADRC和PBC法能夠同時無超調到達目標位置，兩級最大擺角均在3°以內，PBC法僅有微小的殘擺，而S-ADRC法幾乎無殘擺。ECBC 法在臺車定位時間、運行過程的最大擺角、消擺性能及控制力等指標均會略差于其他2種算法。因此在暫態(tài)性能上，本方法優(yōu)于其他2種方法。

圖3 3個控制器控制效果對比Fig.3 Comparison of control effects of three controllers

值得注意的是，本算法并未利用負載擺角反饋信息。PBC 法無需任何角度和角速度反饋，導致控制器無抗擺角干擾的能力。ECBC 法需利用兩級擺角和位移信息進行全狀態(tài)反饋，因此需安裝負載擺角傳感器。因此，綜合硬件條件和控制效果來說本算法具有良好的可靠性和實際的應用性。從圖4可以看出，本文設計的觀測器，其觀測值和理論值非常接近，可有效地對負載擺角進行觀測，因此能夠起到替代傳感器進行擺角“軟測量”的作用。

4.2 魯棒性分析

為驗證S-ADRC控制器對模型參數(shù)變化的魯棒性，將負載質量和吊繩長度進行成倍變化，即令m2=2 kg，l1=1.2 m，而控制器增益不變，所得仿真曲線如圖5所示?？梢?，當模型參數(shù)發(fā)生較大變化時，S-ADRC控制器具有與原始參數(shù)不變時幾近相同的控制效果，表明所提控制器對負載質量和繩長變化不敏感，表現(xiàn)出很好的魯棒性。

圖5 模型參數(shù)發(fā)生變化下所提方法控制效果Fig.5 Control effect of the proposed method under the change of model parameters

4.3 抗干擾分析

為驗證本算法的抗外擾能力，在吊運過程中對負載施加3 種不同類型的干擾，具體來說在5～6 s 時加入隨機擾動，在10～11 s 時加入強度為3°的脈沖擾動，在20～21 s時加入強度為3°的正弦擾動，仿真結果如圖6 所示。S-ADRC 法雖未用到負載擺角反饋信息，但在本算法作用下，雙擺起重機系統(tǒng)也能夠快速地抑制并消除這些外擾，使兩級擺角有效消擺，因此本算法具有較強的抗干擾能力。另一方面，即便在擾動作用下，本文設計的觀測器也能夠準確估計擺角信息，進一步表明了其有效性。

圖6 不同干擾下所提方法控制效果Fig.6 Control results for the proposed method with different disturbances

5 結論

1) 通過對傳統(tǒng)的梯形軌跡進行光滑整形，在前饋端構造了具有防擺功能的跟蹤軌跡，保障了系統(tǒng)的平穩(wěn)運行，并且簡單易實現(xiàn)。

2) 將非線性、強耦合造成的系統(tǒng)不確定項和外擾視為總擾動，設計ESO 進行估計和補償；將無法測量的負載擺角動態(tài)進行估計，不僅消除了未知擺角動態(tài)對系統(tǒng)的影響，同時可對負載擺角準確“軟測量”，進而構造了雙通道的自抗擾反饋控制器，并對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了嚴格的理論證明。

3) 仿真結果表明，所提前饋加反饋的混合控制方案可在模型參數(shù)發(fā)生攝動及外擾作用的情況下，全過程平穩(wěn)將吊重搬運到目標位置，有效地抑制了兩級擺角擺動，并較大程度提高了系統(tǒng)的控制性能。