高一涵，楊婉鈺，徐光明

(1.中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075；2.武漢市黃陂區(qū)人民政府 天河街道辦事處，湖北 武漢 430000)

高速鐵路日益成為中長距客運中更被旅客青睞的選擇，但我國鐵路客流在各時段、各區(qū)段差異化較大。因此，合理分配票額是增加鐵路企業(yè)收益和提高旅客服務水平的重要保障。對于票額分配的研究，CIANCIMINO 等[1]首次將收益管理引入鐵路客運中，建立了鐵路客運票額分配的線性規(guī)劃模型。YOU[2]基于隨機需求，以收入最大化為目標優(yōu)化鐵路全額和打折票額。MEISSNER 等[3]綜述了鐵路收益管理相關研究。趙翔等[4]以鐵路收益最大化為目標，構建了多列車多停站方案的非線性票額分配模型。劉華森等[5]對遺傳算法進行改進，以收益最大化和席位利用率最高化為目標；CHANG 等[6]針對單城際線路，分別以收入最大化以及旅客不舒適程度最小化為目標建立模型。ONGPRASERT[7]考慮旅客購票選擇行為，以客座率最大化、拒絕旅客數(shù)量最少以及收益最大化為目標。在票額分配評價方面，駱泳吉等[8]研究了隨機需求下考慮通售席位的票額分配優(yōu)化方法。宋文波等[9]構建了高速鐵路多列車票額分配隨機非線性整數(shù)規(guī)劃模型。李博等[10]引入隨機樂觀值描述鐵路部門風險決策態(tài)度，構建不確定需求票額分配隨機機會約束規(guī)劃模型。強麗霞[11]考慮客流波動，將票額預分過程劃分為基于給定客流的票額分配及剩余能力優(yōu)化利用，分別建立優(yōu)化模型。劉帆洨等[12]以客流需求預測值和最低票額保護值為約束，構建單列車票額預售控制決策模型。劉帆洨等[13]利用購票強度來描述預售期各OD 票額的動態(tài)需求，提出了非線性回歸支持向量機的預測模型。張琦等[14]應用隨機效用理論，建立多列車限售策略和票額預分模型。宋文波等[15]構建了考慮多OD 旅客動態(tài)購票需求特點的高速鐵路多列車票額分配模型。HU 等[16]構建了聯(lián)合優(yōu)化票額票價的非線性規(guī)劃模型，采用多階段和歧視性定價策略吸引旅客需求以提高收益。秦進等[17]以各售票時段的票額限制和動態(tài)票價為決策變量，以客票總收益最大化為目標構建優(yōu)化模型，并基于蜂群算法設計高效求解算法。在現(xiàn)有研究基礎上，本文基于我國鐵路退票政策，考慮因退票引起的虛擬需求，分別以鐵路收益最大化、旅客服務人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化為目標，構建了考慮退票情形的鐵路多列車票額分配模型?；谀Ｐ头治隽?個簡單算例和廣珠城際鐵路實例，深入探討考慮退票情形對鐵路票額分配的影響機理，并驗證了模型的有效性。

1 問題分析

我國鐵路客運實行較為寬松的退票政策，依照距離開車時間將預售期劃分為4個售票階段，每個階段實行不同的退票費率。如表1所示，旅客在距離開車時間15 d 以上退票不收取任何費用，但隨著開車時間的臨近，退票懲罰費率逐漸增加，距開車時間24 h 以下退票則收取20%的退票費率。設置退票懲罰費用主要有2個目的：一方面是盡量減少旅客退票行為，以避免列車上出現(xiàn)虛靡；另一方面通過收取退票懲罰費用增加鐵路收益，以彌補鐵路因旅客退票而造成的收益損失。

表1 退票懲罰費率Table 1 Refund penalty rate

由于鐵路客運具有相對寬松的退改簽政策，往往會產生大量的退票訂單。對于這些有退票行為的需求，稱之為虛擬需求。這些虛擬需求往往會導致前期的票額分配方案不能和真正的需求相匹配，而鐵路票額又不能超額發(fā)售，這就造成某些區(qū)段席位虛糜，而某些區(qū)段席位供不應求的現(xiàn)象。因而，在構建票額分配模型時，將旅客退票的因素考慮進來，并以退票率的形式加入到模型中，從而使票額分配模型更加符合鐵路售票實際情況。

對于優(yōu)化目標的設定，大多數(shù)研究中都是將鐵路收益最大化作為目標，這是鐵路部門票額分配的核心目標。然而，在某些情況下，為了提高收益或是客座率，勢必會拒絕部分旅客的需求，這對于提高鐵路社會效益以及旅客服務水平都是不利的。因此，本文的票額分配模型從不同的角度考慮分別設定了3個目標：鐵路收益最大化、旅客服務人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化；對于約束條件，模型要考慮到的約束主要有列車席位能力的約束、售出票數(shù)的票額約束、退票情形下的需求約束等。

2 構建考慮退票情形的票額分配模型

2.1 模型假設

1)各OD對的票價和需求已知；

2)只考慮一種席位等級；

3)不考慮票額超額發(fā)售。

2.2 模型建立

2.2.1 模型約束條件

1) 列車席位能力約束定義OD 對(i,j)集合為RS，列車k覆蓋區(qū)間m的OD 對集合為，列車k在OD 對(i,j)分配的票額為，對于滿足(i,j)∈的所有OD 對，其所分配的票額之和應不超過列車席位能力ck，即

每個OD 分配的票額bij為該OD 所有列車分配的票額的總和，表示為

2)售出票數(shù)的票額約束所有列車在OD 對(i,j)分配的票額之和，應滿足票額上下界約束，即

此約束主要從保障鐵路社會效益的角度出發(fā)，避免因單方面追求鐵路收益最大化而導致某些OD對不能分到票額，以至于相應旅客的出行需求無法滿足。此外，OD 對(i,j)售出票數(shù)xij不應超過該OD對所分配的票額bij。

3) 退票情形下售出票數(shù)的需求約束通過歷史數(shù)據(jù)，可以統(tǒng)計出OD 對(i,j)在預售期內車票售出量Sij，需要注意的是該售出量也統(tǒng)計了售出但被退回的票數(shù)。結合我國退票政策，4 個售票階段表示為n=1,2,3,4。對于OD 對(i,j)，其在售票階段n的退票率定義為該售票階段內旅客退票量占該OD 售出量Sij的比例；其在預售期的退票率Θij定義為預售期內旅客退票量Rij占該OD 售出量Sij的比例。分別表示為：

其中：,Rij,Sij可以由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到，根據(jù)式(5)和式(6)可以統(tǒng)計出各階段退票率以及預售期總退票率Θij。OD 對(i,j)售出票數(shù)xij不應超過需求dij。但需求中包含將會退票的“虛擬需求”，其所退掉的票在后續(xù)會被其他旅客購買。該部分的車票數(shù)量可以通過各階段退票率以及總退票率的差乘以售出票額xij表示，即

所以根據(jù)式(7)可以得到被重復購買的車票數(shù)量，再加上實際售票數(shù)xij得到總售出量，其不應超過該OD對需求dij，即

此外，每個OD 的實際售票數(shù)xij以及每列車在各OD分配的票額都應是非負整數(shù)，即

2.2.2 模型目標

1) 收益最大化。在收益最大化前提下，鐵路部門盡可能售出更多票額以提高收益。在考慮旅客退票的情況下，會產生退票懲罰費用。退票懲罰費用根據(jù)距離開車時間長短不同而有顯著差異，具體懲罰費率見表1。因此，總收益可分為2部分，第1 部分為實際售出席位所得售票收益，第2 部分為旅客退票產生的懲罰費用收益。由于xij記錄的是售出的席位，其中包含了后續(xù)退票的訂單，所以對于第1部分售票產生的收益，可表示為

其中：tij表示OD(i,j)的票價。由于每階段懲罰費用與退票率有所差異，因此對于第2部分的退票懲罰收益，可表示為

μn為第n階段的退票懲罰費率，n=1,2,3,4。其中：μn的取值如表1所示。

綜上，以收益最大化為目標的模型可表示為

2) 旅客服務人數(shù)最大化。旅客服務人數(shù)能最直觀地反映出鐵路客運的服務能力。在運輸能力一定的條件下，服務的旅客越多，說明鐵路運能的利用率越高，鐵路服務水平和旅客出行滿意度也就越高。旅客服務人數(shù)最大化下只關心票額是否售出以及售出多少，而與各階段退票率無關，最終售出的席位數(shù)只與總退票率相關。因此，以旅客服務人數(shù)最大化為目標的模型可表示為

3) 拒絕次數(shù)最小化。當不能滿足全部出行需求時，就不得不拒絕一部分旅客的需求，但這樣會使得旅客服務水平有所下降，所以要追求盡量少的拒絕次數(shù)。不考慮退票行為時，拒絕次數(shù)可以表示為

而退票行為使得部分旅客買到了其他旅客退掉的票，最終他們的需求得到了滿足，因考慮退票而增加的服務旅客數(shù)量可以由式(7)表示出來。因此，以拒絕次數(shù)最小化為目標的模型可表示為

上述3個模型都是線性整數(shù)規(guī)劃模型，可以使用CPLEX 和GUROBI 等線性規(guī)劃求解器得到最優(yōu)解，本文使用MATLAB 軟件中的intlinprog 函數(shù)求解。

3 實證分析

為了更好地體現(xiàn)模型特點，首先設計2個簡單算例分析模型的性質和特點，之后選取廣珠城際鐵路數(shù)據(jù)進行實例分析，進一步驗證模型的有效性。

3.1 簡單算例驗證

3.1.1 簡單算例1

如圖1 所示，3 趟列車從始發(fā)站S1 出發(fā)，到達終點站S4，共4站，列車定員ck均為557。

圖1 簡單算例中的列車停站方案Fig.1 Train stop plan of two simple examples

給定各OD 對各階段退票率如表2 所示；各OD 對總退票率Θij，票價tij，簡單算例1 需求dij如表3所示。票額的上界不超過需求，即uij=dij，票額的下界設定為lij=0.3dij。

表2 各OD對各階段的退票率Table 2 Refund rate of each OD pair for each stage %

表3 簡單算例1和簡單算例2的輸入參數(shù)Table 3 Input parameters for example 1 and example 2

利用MATLAB 計算，以收益最大化為目標，最大收益Z=43 409 元；以旅客服務人數(shù)最大化為目標，最大旅客服務人數(shù)P=1 918 人；以拒絕次數(shù)最小化為目標，最少拒絕次數(shù)R=5 次。3 個目標下的票額分配結果如圖2所示。

圖2 簡單算例1的3個目標下票額分配結果Fig.2 Result of ticket allocation for example 1

3.1.2 簡單算例2

在簡單算例1 的基礎上，增加旅客出行需求。簡單算例2 需求dij如表3 所示，其他條件與參數(shù)均不變。利用MATLAB計算，以收益最大化為目標，最大收益Z=55 640 元；以旅客服務人數(shù)最大化為目標，最大旅客服務人數(shù)P=2 521 人；以拒絕旅客次數(shù)最少為目標，最少拒絕次數(shù)R=727 次。3 個目標下的票額分配結果如圖3所示。

圖3 簡單算例2的3個目標下票額分配結果Fig.3 Result of ticket allocation for example 2

分析圖2 結果，簡單算例1 中3 個目標下的票額分配方案相同。原因在于旅客需求很小，而列車席位能力能夠滿足所有旅客出行需求，所以不同目標之間的差異就無法得到體現(xiàn)。分析圖3結果可以看出，簡單算例2中不同目標下的票額分配結果有一定差異性。收益最大化目標受到票價以及總退票率的影響，會將票額更多分給票價較高的OD 對，即(1,4)和(1,3)等票價較高的OD 對分配到的票額較多。而旅客服務人數(shù)最大化的目標受限于總退票率，總退票率較低的OD 對會被優(yōu)先分到票額，OD 對(2,4)的總退票率最低，為5.6%，因此被分配到的票額有所增加。對于拒絕次數(shù)最小這一目標，則需要更多滿足需求較高的OD 對。簡單算例2 中的OD 對如(1,3)需求較高，為690，被分配的票額明顯增多。

對比分析簡單算例1 和簡單算例2 的結果可以得出，當席位能力緊張時，模型在不同目標下的票額分配方案能體現(xiàn)出較強差異性。同時，某些目標之間又存在相同的分配趨勢，例如對于旅客服務人數(shù)最大化以及拒絕次數(shù)最小化的目標，都是將票額優(yōu)先分配到較短OD 對，最后分配到較長的OD對。

3.2 廣珠城際鐵路算例驗證

廣珠城際鐵路是珠三角城際軌道交通的主干線路之一，共設22 座車站。其中，主線為廣州南站至珠海站，共17 站；支線自北向南由小欖站到新會站，共6 站。列車定員均為557。選取廣珠城際鐵路2015年7月1日上午6:00至12:00的主線路下行方向的數(shù)據(jù)，主線線路圖和列車運行圖如圖4所示。主線下行方向共有10 輛列車，依照從廣州南站出發(fā)時間依次編號為列車1～列車10。由圖4可知，順德學院、南頭、珠海北站在上午6:00 至12:00 無經停列車，因此，為簡化計算，將這3 站在計算中剔除，將剩余的14 個車站由北向南依次編號1～14。相應OD 對的票價及需求如表4所示。

圖4 廣珠城際主線線路圖和6：00-12:00列車運行圖(下行)Fig.4 Line diagram and train running diagram from 6:00 to 12:00(down direction)of Guangzhou Zhuhai Intercity Railway

表4 廣珠城際鐵路票價(元)/需求(人)Table 4 Ticket price(yuan)/demand(person)of Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway

根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到整條線路的平均總退票率Θij以及各階段退票率，將其近似地看作是每個OD 的總退票率和階段退票率。各OD 的總退票率Θij均設置為8.5%，各階段退票率以及對應的退票懲罰費率如表5所示。

表5 各階段退票率與懲罰費率Table 5 Refund rate and penalty rate at each stage

為了保證每個OD 對都能被分到一定數(shù)量的票額，票額分配的下界lij設定為0.3dij，票額分配的上界uij不超過需求dij。利用MATLAB 中的intlin‐prog 函數(shù)對模型進行求解，以收益最大化為目標1，最高收益356 226 元；以服務人數(shù)最大化為目標2，旅客最大服務人數(shù)7 646 人；以拒絕旅客次數(shù)最少為目標3，最少拒絕次數(shù)2 275次。3個目標下各OD間的票額分配結果如表6所示。

表6 廣珠城際3個目標下的票額分配結果Table 6 Result for Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway of three objective functions

分析表6 結果，較長OD 對在收益最大化的目標下更占優(yōu)勢，其中需求最大、距離最長的OD 對(1,14)收益最大化目標下被分配到的票額為3 235，是其他2 個目標下的近2 倍；而在旅客服務人數(shù)最大化以及拒絕次數(shù)最小化的目標下，票額分配會向較短OD對傾斜，如(1,6)和(6,8)等在這2個目標下分配的票額顯著增加。因為這2個目標的基本分配原則都是最大限度地利用列車席位，盡可能多地滿足旅客需求。在需求較大時，3 個目標難以同時滿足，這表明增加鐵路收益和提高旅客服務水平很難兼得。但3 個目標中的某2 個目標可以看作是朝著同一趨勢變化的，例如旅客服務人數(shù)最大化和拒絕次數(shù)最小化目標下都是較長OD 對(1,14)的票額有明顯減少，而拆分這些長區(qū)段票額來滿足更多較短OD 對需求或減少拒絕次數(shù)。這表明只追求鐵路收益，可能導致部分旅客無法買到車票。因此，在列車席位能力緊張的情況下，鐵路企業(yè)進行票額分配時應更多考慮旅客服務水平，不能因為過度追求經濟效益而降低社會效益。

4 結論

1) 考慮鐵路售票時因退票引起的虛擬需求，分別以鐵路收益最大化、旅客服務人數(shù)最大化以及拒絕旅客次數(shù)最小化為目標，構建了考慮退票情形的鐵路多列車票額分配模型。

2)設計2個簡單算例分析了不同需求下的模型特征。列車席位能力充足時3個目標下票額分配結果相同；而列車席位能力緊張時3個目標下的票額分配方案具有顯著差異。

3) 以廣珠城際鐵路為例進一步驗證了模型的有效性。收益最大化下票額會向票價較高的OD 對傾斜，而另2個目標下則會拆分較長區(qū)段票額以滿足更多需求或減少拒絕次數(shù)。鐵路企業(yè)在進行票額分配時，可以根據(jù)自身階段發(fā)展需要選擇增加收益或提高旅客服務水平。

4) 本文考慮的旅客需求是確定的，但需求受多方面因素的影響，具有隨機性。后續(xù)研究可以在已有基礎上采用隨機分布函數(shù)描述旅客需求不確定性，以探討更加符合需求特征的票額分配方法。