胡 爍， 任劍瑩,2， 張 宇,2， 李俊良

(1.石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 工程訓(xùn)練中心，河北 石家莊 050043)

胡爍，任劍瑩，張宇，等.基于有限元和數(shù)據(jù)重構(gòu)的連續(xù)梁移動(dòng)荷載識別研究[J].石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2022,35(1):7-12,91.

0 引言

移動(dòng)車輛荷載的準(zhǔn)確識別是橋梁結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測與安全評估的重要內(nèi)容，也是發(fā)現(xiàn)超載車輛的重要方法，對保障公路橋梁的安全運(yùn)營具有重要的意義。O’Connor et al[1]提出了可以得到荷載時(shí)間歷程的識別方法——解析法Ⅰ;Law et al[2]在時(shí)域內(nèi)采用卷積方法對移動(dòng)荷載進(jìn)行了識別;Chan et al[3]使用了梁的歐拉方程模擬橋面，進(jìn)而對移動(dòng)荷載進(jìn)行識別;卜建清等[4]采用廣義正交函數(shù)對橋梁應(yīng)變進(jìn)行擬合，利用正則化技術(shù)得到識別結(jié)果;趙煜等[5]基于反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，分析了輸入?yún)?shù)對荷載識別精度的影響。移動(dòng)荷載識別主要是通過模態(tài)疊加法[2, 3, 6, 7]或有限元法[1, 8-10]，得到系統(tǒng)的振動(dòng)方程，采用不同的逆求解方法，識別出移動(dòng)荷載。連續(xù)梁橋[11]的移動(dòng)荷載識別大多采用模態(tài)疊加法，而采用有限元法進(jìn)行移動(dòng)荷載識別的研究相對較少，因此，本文采用有限元法對連續(xù)梁橋進(jìn)行移動(dòng)荷載識別研究，并分析荷載移動(dòng)速度、切比雪夫多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)、荷載大小和連續(xù)梁跨數(shù)等對移動(dòng)荷載識別結(jié)果的影響。

圖1 兩跨連續(xù)梁計(jì)算模型

1 連續(xù)梁在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)

圖2 等效節(jié)點(diǎn)荷載模型

圖1所示為2個(gè)間距不變的移動(dòng)力P1(t)和P2(t)，從左向右以速度v在一座兩跨連續(xù)梁上勻速移動(dòng)時(shí)，連續(xù)梁計(jì)算模型示意圖。L為橋梁總長，x1(t)、x2(t)分別表示P1(t)、P2(t)的作用位置，a為P1(t)和P2(t)的間距。橋梁為等截面直梁(不考慮軸向變形的影響)，將橋梁離散為m個(gè)單元，共有m+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖2為將作用在第j個(gè)梁單元上任意位置的荷載，等效為節(jié)點(diǎn)荷載的模型。l為單元長度，x為載荷位置，關(guān)系式

(1)

式中，Pl(t)(l=1,2)為移動(dòng)荷載；l為連單元的長度；F1、M1、F2和M2為等效節(jié)點(diǎn)荷載；Hj為第j個(gè)梁單元的形函數(shù)，表示為

(2)

橋梁的運(yùn)動(dòng)方程表示為

(3)

最后，采用Newmark直接積分法求解式(3)得到橋梁的位移響應(yīng)。

對于復(fù)雜連續(xù)梁橋在移動(dòng)車輛荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)[12-13]計(jì)算，也可以采用有限元軟件建模計(jì)算。為了便于分析，基于上述有限元理論，編制了連續(xù)梁在2個(gè)移動(dòng)荷載P1(t)、P2(t)作用下動(dòng)力響應(yīng)的計(jì)算程序。

2 移動(dòng)荷載識別方法

由于在實(shí)際工程應(yīng)用中，同時(shí)測量位移、速度和加速度響應(yīng)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力，且誤差較大，因此僅采用位移響應(yīng)來進(jìn)行移動(dòng)荷載的識別。

基于式(3)計(jì)算或測得橋梁位移響應(yīng)，采用切比雪夫多項(xiàng)式[14]擬合位移響應(yīng)函數(shù)和曲線

(4)

式中，Ti(t)為切比雪夫正交多項(xiàng)式；Nf為切比雪夫正交多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)，需小于位移響應(yīng)的數(shù)據(jù)量；Ci(x)為展開式中的系數(shù)；R1為擬合后的橋梁位移響應(yīng)。

(5)

(6)

(7)

U=HCP識別

(8)

(9)

為了求解式(9)，引入Tikhonov泛函

Fδ(x)=‖HCP識別-U‖2+λ‖P識別‖2

(10)

由L-曲線方法和廣義交叉檢驗(yàn)[8]可以確定參數(shù)λ。

采用最小二乘法求解式(10)得到移動(dòng)荷載

(11)

式中，I為單位矩陣。

3 數(shù)值模擬

3.1 橋梁動(dòng)力響應(yīng)

以河北省境內(nèi)跨冶河的某連續(xù)梁橋?yàn)槔M(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算。其中，橋梁參數(shù)見表1。

表1 連續(xù)梁橋參數(shù)

移動(dòng)荷載采用文獻(xiàn)[8]中的2個(gè)間距不變的時(shí)變集中力

(12)

根據(jù)式(11)計(jì)算得到識別結(jié)果，計(jì)算荷載識別的相對誤差(relative percentage error，簡稱RPE)

(13)

式中，‖·‖為矩陣范數(shù)；P識別為識別結(jié)果。

當(dāng)Pint以15 m/s的速度在連續(xù)梁上移動(dòng)時(shí)，計(jì)算得到該兩跨連續(xù)梁各節(jié)點(diǎn)的位移響應(yīng)，圖3(a)為第一跨(圖1中左邊跨為第一跨)跨中的豎向位移時(shí)程曲線計(jì)算值和采用切比雪夫多項(xiàng)式擬合重構(gòu)數(shù)據(jù)的對比圖，圖3(b)、圖3(c)分別為第一跨跨中速度和加速度的計(jì)算值和采用Newmark方法得到的重構(gòu)數(shù)據(jù)的對比圖。計(jì)算相對誤差(RPE)

(14)

式中，‖·‖為矩陣范數(shù);R1、R分別為重構(gòu)結(jié)果、實(shí)際結(jié)果。

圖3 兩跨連續(xù)梁第一跨跨中位移、速度、加速度響應(yīng)計(jì)算值與重構(gòu)值對比圖

圖4為切比雪夫多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)對位移、速度和加速度重構(gòu)的相對誤差的影響情況。

圖4 多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)對兩跨連續(xù)梁第一跨跨中位移、速度、加速度擬合誤差的影響

由圖3、圖4可以看出位移、速度、加速度的擬合曲線與計(jì)算曲線吻合較好，相對誤差都是隨著項(xiàng)數(shù)的增加而變小，位移的擬合效果最好，相對誤差都在1%以下。當(dāng)切比雪夫多項(xiàng)式達(dá)到500項(xiàng)時(shí)，位移、速度和加速度的擬合誤差分別為0.001 6%、0.095%和2.28%，且項(xiàng)數(shù)大于500后，位移、速度和加速度的擬合誤差保持穩(wěn)定且很小，為了提高計(jì)算效率，選擇500項(xiàng)切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行位移響應(yīng)的擬合。

3.2 荷載識別

位移、速度、加速度重構(gòu)后，由式(11)進(jìn)行荷載識別。圖5、圖6分別為2個(gè)移動(dòng)荷載的識別結(jié)果Pi1、Pi2。

圖5 兩跨連續(xù)梁識別結(jié)果Pi1

圖6 兩跨連續(xù)梁識別結(jié)果Pi2

由圖5、圖6可以看出，識別荷載與實(shí)際荷載很接近。Pi1、Pi2的相對誤差分別為1.94%、5.40%，相對誤差都在10%以內(nèi)。

4 荷載識別的影響因素

4.1 位移、速度和加速度對荷載識別結(jié)果的影響程度分析

由式(9)可知，荷載識別是通過位移、速度和加速度三者對應(yīng)的彈性力、阻尼力和慣性力疊加后，進(jìn)行荷載識別的。下面分析三者對移動(dòng)荷載識別結(jié)果的影響程度。分別將彈性力UK、阻尼力UC和慣性力UM單獨(dú)代入式(11)中，得到分別僅由彈性力、阻尼力和慣性力識別的移動(dòng)荷載PK、PC和PM。圖7為識別荷載與實(shí)際荷載對比圖。

圖7 識別荷載與實(shí)際荷載對比圖

計(jì)算彈性力、阻尼力和慣性力在移動(dòng)荷載識別中所占的比重w，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

(15)

由表2可以看出，彈性力對荷載識別結(jié)果的影響最大，約占90%;其次是阻尼力，占10%左右;慣性力對荷載識別的影響最小，只有0.04%左右。實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以不考慮加速度的影響，以提高荷載識別效率。

表2 彈性力、阻尼力和慣性力在移動(dòng)荷載識別中所占的比重w %

4.2 荷載移動(dòng)速度的影響

荷載分別以15、20和25 m/s速度移動(dòng)時(shí)，荷載識別結(jié)果與圖5、圖6相似，由于篇幅有限，此處不再贅述。表3為不同車速對應(yīng)的兩跨連續(xù)梁荷載識別誤差。

表3 兩跨連續(xù)梁在不同速度下的識別誤差

由表3可以看出，隨著移動(dòng)荷載速度的增大，荷載識別誤差也相應(yīng)地在增大，同時(shí)隨車速的增大，Pi1和Pi2識別誤差增長也越來越快，Pi1最大識別誤差僅為1.94%，Pi2最大識別誤差僅為5.30%。

4.3 荷載大小的影響

當(dāng)移動(dòng)荷載以15 m/s的速度在兩跨連續(xù)梁上移動(dòng)時(shí)，P1(t)和P2(t)在式(16)的3個(gè)力中選取，表4和表5中簡寫為6 268、12 332和15 000。表4為不同移動(dòng)荷載作用下的Pi1的識別誤差，表5為不同移動(dòng)荷載的作用下Pi2的識別誤差。

(16)

表5 不同移動(dòng)荷載的作用下Pi2的識別誤差表

由表4可知，Pi1的識別誤差幾乎不受2個(gè)移動(dòng)荷載大小的改變而改變。由表5可以看出，當(dāng)P1=P2時(shí)，Pi2的識別誤差均為1.89%；當(dāng)P2不變時(shí)，Pi2的識別誤差隨著P1的增大而減小；當(dāng)P1不變時(shí)，Pi2的識別誤差隨著P2的增大而增大。只有當(dāng)P1、P2的組合為(12 332、6 268)和(15 000、6 268)時(shí)，Pi2的識別誤差小于Pi1的識別誤差；其他荷載組合時(shí)，Pi2的識別誤差均大于Pi1的識別誤差。因此，Pi1的識別誤差穩(wěn)定，Pi2的識別誤差對荷載大小比較敏感，原因可能是由于識別Pi2的動(dòng)力響應(yīng)是P2和P1共同作用時(shí)動(dòng)力響應(yīng)的疊加，造成Pi2的識別誤差受荷載大小的影響較大。

4.4 連續(xù)梁跨數(shù)的影響

仍采用表1所示的參數(shù)，只將跨數(shù)分別改為3、4時(shí)，分析跨數(shù)對荷載識別結(jié)果的影響情況。表6為不同跨數(shù)連續(xù)梁的荷載識別誤差。

表6 荷載移動(dòng)速度為15 m/s時(shí)，不同跨數(shù)連續(xù)梁的荷載識別誤差 %

由表6可知，隨著連續(xù)梁跨數(shù)的增多誤差也在增大，Pi1最大識別誤差僅為2.11%，Pi2最大識別誤差僅為6.38%。

5 結(jié)論

(1)當(dāng)切比雪夫多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)達(dá)到一定值以上時(shí)，位移、速度和加速度響應(yīng)的重構(gòu)誤差均較小，且趨于穩(wěn)定，采用重構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)可以準(zhǔn)確識別出連續(xù)梁上的2個(gè)移動(dòng)荷載，Pi1的識別誤差小于Pi2的識別誤差。

(2)加速度響應(yīng)對荷載識別結(jié)果的貢獻(xiàn)很小，工程實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可只采用位移和速度響應(yīng)進(jìn)行連續(xù)梁的移動(dòng)荷載識別。

(3)Pi1的識別誤差幾乎不受2個(gè)移動(dòng)荷載大小的影響；當(dāng)P1不變時(shí)，Pi2的識別誤差隨著P2的增大而增大；當(dāng)P2不變時(shí)，Pi2的識別誤差隨著P1的增大而減小。

(4)移動(dòng)荷載的識別誤差隨著荷載移動(dòng)速度的提高和連續(xù)梁跨數(shù)的增多而增大。