程 林，柯賢波，霍 超，楊 慶，白莉紅，高煒欣，劉興華

（1.國家電網(wǎng)有限公司西北分部，陜西西安 710048；2.中國能源建設(shè)集團西北城市建設(shè)有限公司，陜西西安 710038；3.國網(wǎng)陜西電力科學研究院，陜西西安 710100；4.西安石油大學電子工程學院，陜西西安 710065；5.西安理工大學電氣工程學院，陜西西安 710048）

0 引言

目前，電網(wǎng)大面積停電的風險依然存在。2019年阿根廷及其周邊國家曾遭遇有史以來最嚴重的大停電事故。研究大范圍停電事故發(fā)生時的電力供應的快速恢復問題，已經(jīng)成為電力研究的重要課題。文獻[1]利用改進模擬退火算法進行網(wǎng)架重構(gòu)以保證待恢復節(jié)點和電源距離最短，優(yōu)先恢復一類負荷提高了網(wǎng)絡的恢復效率。文獻[2]以停電損失最小作為目標，對主動配電網(wǎng)建立了黑啟動分區(qū)的混合整數(shù)規(guī)劃模型，實現(xiàn)了以經(jīng)濟手段量化大停電事故損失。文獻[3]以子系統(tǒng)之間的割集邊的數(shù)量最少為目標，構(gòu)建了整數(shù)線性規(guī)劃（Integer Linear Programming，ILP）模型，通過添加“割”約束，得到足夠多數(shù)量的子系統(tǒng)劃分方案，通過改進模塊度指標Q、子系統(tǒng)恢復時間和無功裕度等指標，使方案更加合理。文獻[4]在停電電網(wǎng)分區(qū)時考慮了各子系統(tǒng)的恢復時間，提出基于粗糙集的分區(qū)調(diào)整策略。文獻[5]針對黑啟動并行恢復過程，將黑啟動分區(qū)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成了求解凸二次規(guī)劃的問題，降低了黑啟動分區(qū)求解的難度。文獻[6]以最小化停電損失為目標建立了輸配電網(wǎng)黑啟動優(yōu)化模型，利用目標級聯(lián)法提高了系統(tǒng)的恢復效率。文獻[7]將黑啟動分區(qū)優(yōu)化問題和廣域向量測量系統(tǒng)結(jié)合起來，在整數(shù)線性規(guī)劃基礎(chǔ)上，提出一種計及系統(tǒng)客觀性的分區(qū)規(guī)劃模型。文獻[8]以電網(wǎng)結(jié)構(gòu)堅強性為主要目標，建立了計及恢復均衡性的柔性分區(qū)優(yōu)化模型。文獻[9]以網(wǎng)架恢復時間最短為目標構(gòu)建數(shù)學模型，并利用小生境遺傳算法進行求解，取得了較好的效果。文獻[10]針對黑啟動分區(qū)方法太過依賴算法、難以直接求解獲得全局最優(yōu)解的特點，提出了一種半監(jiān)督黑啟動分區(qū)方法。文獻[11]考慮風力發(fā)電的不確定性，以機組恢復成功率為約束，提出一種隨機相關(guān)機會目標的黑啟動規(guī)劃模型，并結(jié)合粒子群算法和隨機模擬技術(shù)進行求解。文獻[12]對微網(wǎng)黑啟動過程的多個步驟進行研究，提出含DG 特性的黑啟動指標并將其應用于黑啟動電源的選擇，以恢復負荷最大化為目標，通過二進制粒子群算法求得最優(yōu)解。文獻[13]以最小停電損失和最大恢復發(fā)電為目標，構(gòu)建了一種將微網(wǎng)視作為黑啟動電源的網(wǎng)架重構(gòu)模型。文獻[14]針對系統(tǒng)恢復過程中的眾多不確定因素，提出了保底網(wǎng)架構(gòu)建方法，對恢復過程中多個影響因素量化處理并進行選優(yōu)，提高恢復成功率。文獻[15]建立了一種魯棒優(yōu)化機組恢復模型，考慮機組恢復時間的不確定性，通過交叉粒子群算法得到了機組的最優(yōu)恢復順序。文獻[16]針對黑啟動恢復初期的電壓不穩(wěn)定現(xiàn)象，提出風儲火多源調(diào)控思想，并對多個指標進行自適應調(diào)節(jié)。文獻[17]以發(fā)電量最大和子系統(tǒng)聯(lián)系最小為目標，提出一種考慮黑啟動分區(qū)機組重啟的全局優(yōu)化方法，采用廣義Benders 分解法獲得最優(yōu)解。文獻[18]提出基于復雜網(wǎng)絡理論的黑啟動分區(qū)方法，反映了各子系統(tǒng)間緊密程度、分區(qū)質(zhì)量和最佳分區(qū)數(shù)量。文獻[19]提出了一種雙層優(yōu)化網(wǎng)絡重構(gòu)模型，利用粒子群算法求解證明了黑啟動電源不足情況下，電動汽車充電站作為黑啟動電源的可行性。文獻[20]提出了一種基于混合整數(shù)線性技術(shù)，考慮各子系統(tǒng)恢復過程的黑啟動分區(qū)方法，可迅速得到多種劃分方案供系統(tǒng)運營商選擇。文獻[21]以模糊機會約束規(guī)劃為基礎(chǔ)，建立了黑啟動的最優(yōu)網(wǎng)絡骨架模型，采用粒子群和模糊仿真相結(jié)合的優(yōu)化算法進行求解。文獻[22]提出了一種考慮恢復可靠性的子系統(tǒng)劃分方法，采用二元決策圖算法進行求解，以更好的適應實際運行條件。文獻[23]提出了一種新的網(wǎng)絡分區(qū)算法，以提高各子系統(tǒng)恢復時間和發(fā)電負荷比。文獻[24-25]基于不同算法分別提出了黑啟動的優(yōu)選方案。

從已有研究來看，當停電范圍較大，系統(tǒng)內(nèi)具備多個黑啟動電源時，將停電系統(tǒng)分為若干子系統(tǒng)進行獨立恢復，是黑啟動研究的一個重要思路。但此類問題從數(shù)學上看是一種多目標、多約束的非線性組合優(yōu)化問題，難以用解析式準確描述，用常規(guī)的求解方法難以處理。本文以各分區(qū)聯(lián)絡最簡和簡化操作為目標，建立了可以用解析式描述的黑啟動分區(qū)數(shù)學模型，并利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡進行求解。

1 分區(qū)方案數(shù)學模型

1.1 分區(qū)方案的目標函數(shù)

合理的電網(wǎng)黑啟動分區(qū)方案可以提高恢復供電的效率，提高電網(wǎng)供電可靠性。從降低供電復雜性的角度考慮，分區(qū)方案首先要保證各個分區(qū)之間的連接線路最少且各個分區(qū)的操作最簡，因此數(shù)學模型可以描述為：

式中：Scut為各分區(qū)聯(lián)絡線之和；Oi為分區(qū)i的操作簡單程度；M為黑啟動電源個數(shù)；N為除黑啟動電源外其它節(jié)點數(shù)；si為分區(qū)i的黑啟動電源的輸出功率；wj為負荷節(jié)點j的功率；Ji為分區(qū)i所供節(jié)點的集合。dij為分區(qū)i的黑啟動電源至節(jié)點j的最小拓撲距離，即分區(qū)i的黑啟動電源通過廣度搜索方式連接至節(jié)點j的最少供電路徑。αi為分區(qū)i的黑啟動電源最小出力系數(shù)。vij，firj和ctrlj分別為節(jié)點j是否劃入分區(qū)i的標志變量、節(jié)點j是否為一類負荷的標志變量和節(jié)點j是否為可調(diào)負荷的標志變量，定義如下：

為更加清楚地描述電網(wǎng)結(jié)構(gòu)，算法采用最小拓撲關(guān)系矩陣dij對黑啟動電源Bi與負荷節(jié)點wj之間的最小距離進行描述，如表1 所示。其中，w1～wN為系統(tǒng)中的負荷節(jié)點；B1～BM為M個可以黑啟動的電源節(jié)點。

表1 最小拓撲關(guān)系矩陣Table 1 Minimum relation matrix among topologies

由于求解的目標是分區(qū)聯(lián)絡線之和Scut，它和節(jié)點間的連接屬性密切相關(guān)。根據(jù)各個節(jié)點的關(guān)聯(lián)關(guān)系，可以建立如表2 所示的節(jié)點關(guān)系矩陣表，其中各單元用eij表示。

表2 節(jié)點關(guān)系矩陣Table 2 Relation matrix among nodes

eij的數(shù)學描述為：

在黑啟動分區(qū)明確的基礎(chǔ)上，由式（2）的定義可以構(gòu)建如表3 所示的規(guī)劃狀態(tài)矩陣。

表3 分區(qū)規(guī)劃狀態(tài)矩陣Table 3 Partition planning status matrix

表3 中單元（i，j）的值即為vij。vij=1 的單元表示對應列的負荷點劃入對應行黑啟動電源所在子系統(tǒng)分區(qū)，vij=0 則不劃入對應的子系統(tǒng)分區(qū)。由式（2）定義可知，由于1 個負荷點僅能劃入1 個黑啟動分區(qū)，因此表3 中每一列元素之和應為1。

1.2 分區(qū)方案目標函數(shù)的數(shù)學模型

對于分屬于黑啟動分區(qū)i和m（i≠m）的不同節(jié)點j和n而言，j和n是否存在聯(lián)絡線可以表示為：

式中：i和m為分區(qū)編號；j和n為節(jié)點編號。

由式（6）可得分區(qū)i與m之間的聯(lián)絡線數(shù)目Sim為：

其中，增加系數(shù)1/2 是因為式（7）同時統(tǒng)計了j和n以及n和j之間的聯(lián)絡線，使聯(lián)絡線數(shù)目增加了1 倍。由式（7）可得各個分區(qū)聯(lián)絡線總數(shù)Scut為：

在表1 和表3 基礎(chǔ)上可定義操作復雜度Oi為：

因此，分區(qū)方案目標函數(shù)式（1）的數(shù)學模型可以表示為：

其求解目標為vij，i=1～M，j=1～N。式（10）為1個有各類約束條件的0-1 規(guī)劃問題，屬于整數(shù)規(guī)劃問題。

從計算復雜性來看，幾乎所有整數(shù)規(guī)劃問題都屬于困難問題，很少有精確的多項式算法。對此類問題的求解，主要考慮各種特殊問題的近似算法。而式（10）的表示形式與Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的計算能量函數(shù)形式相同。與圖論算法和規(guī)劃算法相比，連續(xù)型Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的傳遞方式是通過并行傳播實現(xiàn)數(shù)據(jù)的同時處理，其計算量不會隨著時間的增長而發(fā)生維數(shù)上的變化，避免了“組合爆炸”問題。數(shù)值計算中，通過解微分方程組的方式，Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的能量函數(shù)是朝著梯度減小的方向變化的。因此利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡進行0-1 規(guī)劃問題的求解時，僅需要網(wǎng)絡演化的最終狀態(tài)，而不關(guān)心詳細的狀態(tài)演化軌跡，這對黑啟動分區(qū)問題求最優(yōu)解極其有利。求解時，可以使用較大的時間步長，而無需擔心數(shù)值模擬的中間結(jié)果是否接近某一條狀態(tài)演化軌跡。這相較于遺傳算法等需要編碼且在交叉變異過程中，每一代均需按照適應度函數(shù)進行優(yōu)勝劣汰的選擇，演化產(chǎn)生更好近似解的方法相比實現(xiàn)過程更為簡單。因此本文提出利用Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡求解分區(qū)方案。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡模型

2.1 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡原理

Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡是一種可以由硬件實現(xiàn)的連續(xù)型神經(jīng)網(wǎng)絡，這種神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)自身的能量會隨時間不斷減少，在達到平衡狀態(tài)時能量最小[26]。其神經(jīng)元取值范圍為[0，1]的連續(xù)性值。Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的硬件電路如圖1 所示。

圖1 連續(xù)型Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡電路Fig.1 Continuous Hopfield neural network circuit

由圖1 可知，由X個神經(jīng)元構(gòu)成的Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡中，單個神經(jīng)元由電阻Rx0、偏置電流Ix，電容Cx和運算放大器模擬。ux為神經(jīng)元x的內(nèi)部狀態(tài)，運算放大器的輸出vx作為神經(jīng)元的輸出。圖1 所示電路的各個運放單元具有非線性的特征，其互聯(lián)結(jié)構(gòu)模擬了人腦神經(jīng)元互聯(lián)的主要特點。由基爾霍夫定律，可得連續(xù)型Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡的電路方程為：

式中：Rxy為神經(jīng)元x和y之間的連接電阻。

該電路方程描述了神經(jīng)元的輸出vx和其內(nèi)部狀態(tài)ux之間的關(guān)系，式中的f()· 采用S 型函數(shù)時，整理式（11）可得Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)的動態(tài)方程：

式中：wxy=1/（RxyCx）為神經(jīng)元x與y之間的連接權(quán)值；τx=RxCx，；u0為引入的1 個調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的u0會使S型函數(shù)的值發(fā)生變化，當u0不斷減小時，S型函數(shù)逐漸趨于1 個階躍函數(shù)。

因此，式（12）表達的網(wǎng)絡動態(tài)可用1 個計算能量函數(shù)Es表示：

能量函數(shù)值隨著時間的推移將減小至某一平衡狀態(tài)，平衡點即為Es的極小值，因此Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡具有自動求能量函數(shù)極小值的功能。這一特性與式（1）表示的分區(qū)方案優(yōu)化目標函數(shù)求最小值的思想完全吻合，因此可以利用Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡能量函數(shù)表示目標函數(shù)式（1）的數(shù)學模型式（10）。實際規(guī)劃計算中，為了保證電網(wǎng)的穩(wěn)定運行，構(gòu)建能量函數(shù)時需同時考慮保證電網(wǎng)分區(qū)的約束條件。

2.2 黑啟動電網(wǎng)分區(qū)神經(jīng)網(wǎng)絡模型

分區(qū)方案優(yōu)化目標函數(shù)的數(shù)學模型式（10）的求解目標為計算規(guī)劃狀態(tài)表（3）中的vij值?？梢詷?gòu)建輸出如表3 所示的二維Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡模型，將vij作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出。同時計及分區(qū)優(yōu)化目標和系統(tǒng)運行各種約束條件的連續(xù)型Hopfeild 神經(jīng)網(wǎng)絡的能量函數(shù)如式（14）所示：

式中：wj為負荷節(jié)點j的容量；si為黑啟動電源Bi的容量；vij為神經(jīng)元（i，j）的輸出，含義同式（2）；Δ 為比例放大系數(shù)，一般可取為0.01。

能量函數(shù)E由5 個分項E1，E2，E3，E4，E5 共同作用構(gòu)成，分別對應優(yōu)化目標以及各個約束條件，第1 項對應數(shù)學模型式（1）的約束條件1。約束表3 中的每1 列有且僅有1 個單元為1，其余單元為0，以保證每1 個負荷點劃入唯一的黑啟動分區(qū)。第2 項對應目標函數(shù)式（1）的約束條件2。在γi＞0 時=0，否則=1。約束可黑啟動電源點i的容量大于其供電區(qū)域內(nèi)一類負荷總量，以保證供電區(qū)域的供電功率平衡。第3 項對應目標函數(shù)式（1）的約束條件4。約束τi＞0 時否則=1。保證每一個分區(qū)內(nèi)的可調(diào)負荷量大于黑啟動電源的最小出力。第4 項對應目標函數(shù)式（1）數(shù)學模型式（10）的第2 項。保證各個黑啟動分區(qū)的操作最簡。第5 項對應目標函數(shù)式（1）數(shù)學模型式（10）的第1 項。保證各個分區(qū)的聯(lián)絡線最少。

為避免原Hopfield 神經(jīng)網(wǎng)絡陷入無效解，根據(jù)文獻[27]提出的求解方法，將網(wǎng)絡的動態(tài)方程改為：

式中：uij為神經(jīng)網(wǎng)絡中神經(jīng)元（i，j）的輸入。

由式（14）和式（17）可得神經(jīng)網(wǎng)絡的動態(tài)方程為：

式中：uv為歸一化系數(shù)，可取為0.01 或更小。

利用歐拉法求解式（18）即可得表3 中各單元的元素值，由表3 即可得各黑啟動電源供電分區(qū)。

在迭代求解式（18）過程中，可能會出現(xiàn)多個可行解的情況，可以通過選取能量函數(shù)最小值的方式獲得最優(yōu)解，實現(xiàn)算法如圖2 所示。其中，K為迭代次數(shù)。

圖2 算法流程圖Fig.2 Algorithm process

3 分區(qū)方案綜合評價

為了論證文中所提分區(qū)方法的可行性，本文運用層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）對所提分區(qū)方法與其他方法分區(qū)方法的分區(qū)效果進行了評價分析，評價指標如下：

1）系統(tǒng)恢復時間C1。系統(tǒng)的恢復時間為各子系統(tǒng)恢復時間的最大值，即：

式中：ti為分區(qū)i的恢復時間。

如果對系統(tǒng)劃分不合理，會出現(xiàn)各子系統(tǒng)間的恢復時間差異過大，1 個子系統(tǒng)的恢復時間過長從而拉長整個系統(tǒng)恢復時間的情況。

2）機組容量分配C2。子系統(tǒng)劃分時，應盡量把非黑機組均勻劃分到各子系統(tǒng)內(nèi)，避免出現(xiàn)一個分區(qū)內(nèi)黑啟動機組功率很小、非黑啟動機組容量很大，而另一個分區(qū)內(nèi)黑啟動機組功率很大、非黑啟動機組容量很小的情況。文中將各分區(qū)內(nèi)單位黑啟動機組功率需承擔的非黑啟動機組功率之間的方差作為評價黑啟動分區(qū)的指標，其定義如下：

式中：Gσ2為各分區(qū)內(nèi)單位黑啟動機組功率需承擔的非黑啟動機組功率之間的方差；Gi為各個子系統(tǒng)單位黑啟動機組功率需承擔的非黑啟動機組功率；G為整個系統(tǒng)單位黑啟動機組功率需承擔的非黑啟動機組功率。

Gσ2越小，說明分區(qū)劃分的越合理。

3）模塊度C3。采用模塊度指標來衡量黑啟動子系統(tǒng)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)強度：

其對應的矩陣形式的計算公式為：

式中：z為邊的個數(shù)；kj為節(jié)點j的度數(shù)；Ajn為節(jié)點j和n是否相連，相連為1，否則為0；cj，cn分別為j節(jié)點和n節(jié)點；δ(cj,cn)為取0-1 函數(shù)，cj，cn在同一分區(qū)時δ(cj,cn)=1，否則為0。Tr()為求矩陣跡的函數(shù)；S為所屬關(guān)系矩陣，其中元素表示為Sij，Sij為節(jié)點j是否屬于子系統(tǒng)i，屬于Sij值為1，否則為0，B為計算過度矩陣，其中元素表示為Bjn；模塊度越大說明劃分越合理。

4）聯(lián)絡線與操作復雜度之和C4。指標C4是本文所提的分區(qū)方案算法的優(yōu)化目標模型，詳細計算過程見式（14）-式（18）所示。

指標C1～C4中，系統(tǒng)恢復時間與聯(lián)絡線與操作復雜度之和優(yōu)先度最高，即在保證恢復時間和聯(lián)絡線與操作復雜度之和最優(yōu)的前提下保證各分區(qū)的機組均勻分配和緊密連接。建立的指標層對目標層評價矩陣如表4 所示。

表4 指標評價矩陣Table 4 Index evaluation matrix

表4 中為1 的元素表示對應行指標與對應列指標同等重要；為1/2 的元素表示對應行指標沒有對應列指標重要；為2 的元素表示對應行指標比對應列指標重要。以此基礎(chǔ)上，對所提出的分區(qū)方案的可行性進行評價分析。

4 算例分析

采用IEEE 39 節(jié)點系統(tǒng)進行測試，驗證所提模型及算法的有效性，圖3 為IEEE 39 節(jié)點系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)置采用參考文獻[3]的設(shè)置，節(jié)點30，33 機組具有自啟動能力。設(shè)置水電機組αi為0，火電機組αi為0.35，負荷節(jié)點的1 類負荷比例為20%。

圖3 IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)Fig.3 IEEE 39-bus system

各條線路恢復時間如表5 所示。

表5 線路恢復時間Table 5 Recovery time for line min

計算中E1～E5 的取值分別為E1=1 000，E2=200，E3=200，E4=20，E5=80。利用歐拉法求解式（18）時，計算步長取為0.01，比例放大系數(shù)Δ=0.01，迭代計算基數(shù)上限NUM為300 次。計算結(jié)果如圖4 所示。

圖4 電網(wǎng)分區(qū)圖Fig.4 Power supply network partition

圖4 中，虛線為2 個分區(qū)的聯(lián)絡線。利用本文所提算法求出的聯(lián)絡線為4，總供電操作的復雜程度Oi為153。將本文所提算法求得的分區(qū)方案與其他區(qū)方案中子系統(tǒng)間聯(lián)絡線與操作復雜度對比可得表6，其中方案2 為文獻[3]所提分區(qū)方案。

表6 分區(qū)方案Table 6 Partition scheme

分別求取IEEE-39 節(jié)點系統(tǒng)的3 種分區(qū)方案的各指標值，具體數(shù)據(jù)如表7 所示。

表7 方案指標數(shù)據(jù)表Table 7 Indicators of three schemes

根據(jù)表7 的各方案指標數(shù)據(jù)，構(gòu)造方案層對指標層的對比矩陣，3 種方案對于4 個指標C1，C2，C3，C4的對比矩陣T1，T2，T3，T4分別為：

式（24）和式（25）的對比矩陣均滿足一致性檢驗要求，采用AHP 法可得各方案綜合重要度向量θ如下：

由式（26）可知，本文所提的分區(qū)方案1 綜合重要度最大，即方案1 綜合最優(yōu)。

5 結(jié)語

與文獻[3]相比，本文所提方案在模塊度指標上不占優(yōu)，但在聯(lián)絡線和操作復雜度之和、恢復時間和機組容量分配3 個指標中占有明顯優(yōu)勢，機組容量分配均衡程度是其它2 個方案的3 到4 倍。所得方案不僅系統(tǒng)恢復時間最短且非黑啟動機組幾乎均勻的分到了2 個分區(qū)內(nèi)，滿足數(shù)學模型聯(lián)絡線最少且操作最簡的目標。

文中通過構(gòu)建規(guī)劃狀態(tài)表，建立了黑啟動分區(qū)聯(lián)絡線最小的數(shù)學模型解析表達式，為準確求解黑啟動分區(qū)奠定基礎(chǔ)；通過定義總供電操作的復雜程度可以使得黑啟動分區(qū)的操作簡化，完善黑啟動分區(qū)求解中的實際考慮因素；通過定義合理的能量函數(shù)實現(xiàn)利用解微分方程組的方式直接獲得黑啟動分區(qū)方案。而非提供一組需要再進行比較選擇的解集，計算過程簡潔明了，降低了計算的復雜程度。