魏震波，余 雷

（四川大學(xué)電氣信息學(xué)院，四川成都 610065）

0 引言

短期電力負荷預(yù)測是電力系統(tǒng)安排發(fā)電計劃、經(jīng)濟調(diào)度電網(wǎng)、確定備用容量的基礎(chǔ)，較高的預(yù)測精度對電網(wǎng)的安全可靠運行有著重要作用[1-3]。隨著智能電表等監(jiān)測設(shè)備的大量安裝，基于大量數(shù)據(jù)分析進行短期負荷預(yù)測成為可能[4-5]。

多年來，為解決負荷預(yù)測中電力負荷序列因隨機性、非平穩(wěn)、非線性所帶來的困擾，許多學(xué)者一直致力于探索更優(yōu)的短期負荷預(yù)測方法[6-8]。有學(xué)者基于隨機森林算法預(yù)測負荷[9]，有學(xué)者基于誤差補償預(yù)測負荷[10]，也有學(xué)者提出考慮利用負荷周期性特征即頻率特性，先將電力負荷進行分類后再做預(yù)測，理論上可以提高總負荷預(yù)測精度。如文獻[11-12]分別以變分模態(tài)分解和經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解對總負荷進行信號分解，再對各信號分量進行負荷預(yù)測，有效提高了預(yù)測精度，但是模態(tài)分解模糊了單個樣本概念，其運算過程亦可能造成樣本特征的丟失。為保持樣本獨立性，可采用聚類算法對所有樣本進行聚類[13]。

目前，主流聚類算法大致分為原型聚類、密度聚類、層次聚類3 類。其中，原型聚類是通過“原型”即樣本空間中具有代表性的點進行聚類，Kmeans 算法是其典型代表，它假設(shè)同簇樣本的分布空間為圓形，極大地限制了算法的合理分類，即使是更加優(yōu)越的高斯混合聚類，依然假設(shè)同簇樣本分布于橢圓空間中。并且，Kmeans 算法中初始簇心對最終結(jié)果會產(chǎn)生較大影響，亦無法識別噪音[14]，最終的聚類數(shù)目往往也需要人為選定[15]。密度聚類，其代表是DBSCAN 算法，它基于1 組鄰域參數(shù)(ε,MinPts)來進行聚類，其中ε代表半徑閾值，MinPts代表半徑范圍內(nèi)需求的樣本數(shù)。該算法雖然不需要手動設(shè)置聚類數(shù)，能自動識別噪音，其簇也不受樣本分布形狀影響[16]，但不同簇密度差異較大時性能受較大影響。此外，由于涉及2 個超參數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)規(guī)模較大時，調(diào)參會變得較為困難[17]。層次聚類的代表是自底向上的AGNES 算法，它不像原型聚類依賴于“原型”，不需要調(diào)參，但需要人為設(shè)定聚類數(shù)，無法識別噪音，而且聚類結(jié)果受簇間距離衡量方式影響較大[18]。因此，若將密度聚類與層次聚類算法相結(jié)合，則密度層次聚類算法（Density-based Clustering-Hierarchical Clustering，DC-HC）可自適應(yīng)聚類數(shù)、甄別噪音、同簇樣本不受樣本分布形狀限制，并且具備較高自適應(yīng)度，多數(shù)情況下不需要手動調(diào)參。

綜上成果與問題，本文考慮采用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT）計算得到樣本期望頻率，并將其作為聚類特征量，采用DC-HC 算法進行聚類，實現(xiàn)對原始數(shù)據(jù)的預(yù)處理；然后，將處理后的各類樣本按類疊加，分別使用長短時記憶（Long Short Term Memory，LSTM）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行負荷預(yù)測，將各分量預(yù)測結(jié)果再次疊加，得到最終負荷預(yù)測值。通過實際算例驗證了本文思路及方法的合理性與有效性。

1 基于FFT的樣本期望頻率

1.1 樣本頻率模型

對有限長離散信號z(n),n=0,1,...,N-1，采用式（1）進行變換，即：

式中：Z（k）為z(n)的離散傅里葉變換，k=0,1,...,N-1；W為單位向量。

FFT 將z（n）按照n的奇偶性分解為偶數(shù)序列z1（n1）與奇數(shù)序列z2（n2），其長度都是N/2，即：

式中：n1為偶數(shù)，n2為奇數(shù)，且n1,n2?n。

則有：

式中：Z1（k）和Z2（k）分別為z1(n1)和z2(n2)的離散傅里葉變換。

1.2 樣本期望頻率

總負荷由所有樣本按時序疊加得到，對任一樣本，由采樣定理可知FFT 能求出最大頻率為采樣頻率一半的振幅頻譜，記某樣本的s個對應(yīng)頻率值為w1，w2，…，ws，振幅為A1，A2，…，As，取σ1=1,2,...,s，σ2=1,2,...,s，提出單個樣本的期望頻率w計算方法為：

2 DC-HC算法

2.1 算法原理

首先計算出距離矩陣D，其第i行第j列元素di，j代表第i個樣本與第j個樣本的歐式距離。若數(shù)據(jù)集共有m個樣本，則距離矩陣D為m×m的方陣，其后所有運算均圍繞D展開。

簇與簇的合并遵循以下3 個原則：

1）除開自由點，所有簇都能通過內(nèi)部距離運算確定請求與某外部點合簇或是拒絕與該點合簇。

2）規(guī)定小于等于5 個點的簇不能拒絕來自外部的合簇請求。

3）大于5 個點的簇可以拒絕來自外部的合簇請求。

以S表示樣本點，C表示簇。對非自由點Si，其所在簇記為Cp。要考察簇Cp是否請求與其簇外點Sj合并，則需計算閾值T，若di，j≤T，則簇Cp請求與Sj所在簇Cq合并，反之則拒絕，閾值計算方法分為以下兩種情況，分別用T1和T2表示：

（1）若Si所在簇Cp為初始簇，記Sl為與Si同簇的另一樣本，則：

式中：y為對數(shù)幾率函數(shù)，如式（6）所示：

式中：x為現(xiàn)有簇數(shù)與初始簇數(shù)的比值，x∈(0,1]。

（2）若Si所在簇Cp樣本數(shù)目大于2，則通過D矩陣找到簇Cp內(nèi)與樣本Si距離不大于di，j的所有樣本，加上樣本Si本身，構(gòu)成判定團體Gi。進一步在此定義“核心距離”：若判定團體Gi內(nèi)共有a個樣本，由于每2 個樣本間有1 個距離，則共有a（a-1）/2 個距離值，找到其中a-1 個距離值使a個樣本在拓撲結(jié)構(gòu)上能夠完全相連，并保證a-1 個距離值總和最小，則a-1 個距離值叫做判定團體Gi的核心距離，記為d1，d2，…da-1；判定團體的核心距離可以通過最小生成樹算法求得[19]。進一步有：

式中：λ=1,2,...,a-1；dλ為樣本距離；h1，h2，h3，h4為修正系數(shù)，使所有數(shù)值處于一個合適區(qū)間。

希望T2的判定計算隨簇數(shù)量的減少越來越嚴格，并且其減少速率的變化率也越來越大，即T2相對簇數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為正，二階導(dǎo)數(shù)為負，并且希望在簇數(shù)最多和最少兩種極端情況下T2差別不應(yīng)過大，這部分運算由系數(shù)h2完成，即：

其中，h2原型函數(shù)為式（6）所表示的對數(shù)幾率函數(shù)，式（9）、式（10）分別為其一階導(dǎo)數(shù)y′和二階導(dǎo)數(shù)y″，即:

觀察式（6）、式（9）、式（10）可知，對數(shù)幾率函數(shù)基本滿足系數(shù)h2控制需求，進一步對對數(shù)幾率函數(shù)分別沿自變量和因變量方向進行圖像的縮放和平移，設(shè)：

式中：g，b，r，f為控制圖像變換的變量。

由式（9）、式（10）可知，對數(shù)幾率函數(shù)本身就滿足系數(shù)h2對一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的需求，則圖像不需要左右平移，即g=0，并且由于圖像未進行左右平移，b，r，f的值并不影響系數(shù)h2對其低階導(dǎo)數(shù)的需求；對于類似式（6）的函數(shù)，一般認為當(dāng)函數(shù)值到達最大值的90%后增長率變緩，為保證系數(shù)變化具有差異性并考慮自變量范圍x∈(0,1]，則有：

求解式（12）得b=ln19≈2.944 4；為避免簇數(shù)最多和最少兩種極端情況下系數(shù)差異過大，考慮如式（13）的約束：

求解式（13）得0.263 2f-0.684 2r≥0，取r=1，則可取f=2.599 5。

系數(shù)h3與小團體Gi中樣本個數(shù)a成負相關(guān)，即a越大，樣本Sj與小團體Gi相對而言越遠，T2越小。h3計算如式（14）：

參考以標(biāo)準(zhǔn)差判定離群點的方式，取ζ=1,2,...,a-1，則系數(shù)h4為Gi的核心距離標(biāo)準(zhǔn)差為：

式中：dζ為樣本距離。

若滿足條件di，j≤t，則簇Cp請求與簇Cq合并，受約束于2.1 節(jié)合簇原則，對稱性地計算簇Cq（Sj）與點Si之間的閾值，并進一步判定簇Cq是否請求與簇Cp合并。

2.2 算法流程

DC-HC 算法流程如下：

1）根據(jù)輸入樣本計算得到距離矩陣D。

2）由D矩陣找到所有互為彼此最近樣本的2個樣本構(gòu)成初始簇，并在D矩陣中將所有簇內(nèi)距離值位置置為非數(shù)值。

3）找到D矩陣中的當(dāng)前最小數(shù)值di，j，依照2.1節(jié)方法計算閾值并判定是否合簇，并將di，j和dj，i位置置為非數(shù)值。若不合簇則跳到步驟5）。

4）將新合簇形成的簇內(nèi)距離值在D矩陣中置為非數(shù)值。

5）若D矩陣不全為非數(shù)值，則返回步驟3）。

2.3 算法效果測試

選取費舍爾鳶尾花數(shù)據(jù)集（iris）、Matlab 內(nèi)置聚類測試數(shù)據(jù)集（kmeansdata）、三角圓數(shù)據(jù)集（data1）、雙月數(shù)據(jù)集（data2）4 個標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集，分別采用Kmeans，AGNES，DBSCAN，DC-HC 4 種聚類方法對4 個數(shù)據(jù)集進行聚類。

層次聚類算法AGNES 選用豪斯多夫距離衡量Cp和Cq2 簇間距離distH（Cp，Cq）[14]，即:

其中，

式中：disth(Cp,Cq)為從Cp到Cq的單方向豪斯多夫距離。

使用4 組數(shù)據(jù)集和4 種聚類方法，可得到16組聚類結(jié)果，分別采用以下6 種聚類內(nèi)部評估指標(biāo)進行測評：（1）DB 指數(shù)[14]；（2）Dunn 指數(shù)[14]；（3）輪廓指數(shù)[14]；（4）CH 指數(shù)[20]；（5）VCV 指數(shù)[21]；（6）MST 指數(shù)[21]。

數(shù)據(jù)集data1 和data2 在4 種聚類算法下的分類情況如圖1 所示。其中，橫、縱坐標(biāo)代表相對位置，無單位，下文同。

圖1 4種聚類算法對data1和data2的分類直觀圖Fig.1 Visual distribution maps of data1 and data2 clustered by fourclustering algorithms

以圖1（e），（f）的分類結(jié)果作為外部評估標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，對4 種聚類算法的聚類效果分別采用3 種聚類外部評估指標(biāo)進行測評：（1）Jaccard 系數(shù)[14]；（2）FM指數(shù)[14]；（3）Rand 指數(shù)[14]。

參照各指標(biāo)在不同數(shù)據(jù)集下的不同聚類算法最優(yōu)得票進行統(tǒng)計。若不同算法對同一數(shù)據(jù)集有相同分類方案且在某評估指數(shù)下最優(yōu)，則均得票，統(tǒng)計結(jié)果如表1 所示。

表1 各聚類算法最優(yōu)得票統(tǒng)計Table1 Optimal voting statistics of clustering algorithms

綜合考慮表1 結(jié)果和各算法特性可知：（1）就經(jīng)驗預(yù)期而言，AGNES 算法與Kmeans 算法表現(xiàn)相近，但對比圖1（a）和（c）評估結(jié)果，AGNES 算法在數(shù)據(jù)集data1 下的表現(xiàn)遠不如Kmeans 算法。若排除data1，采用AGNES，Kmeans 兩種算法對剩余3個數(shù)據(jù)集應(yīng)用9 個指標(biāo)進行最優(yōu)得票數(shù)統(tǒng)計，并經(jīng)計算可知Kmeans 算法得11 票，AGNES 算法得10票，與預(yù)期相符，說明豪斯多夫距離不適用于數(shù)據(jù)集data1，進一步說明簇間距離衡量方式將會對類似AGNES 的層次聚類算法產(chǎn)生決定性影響；（2）DCHC 算法由于繼承了密度聚類不受樣本分布形狀的特性，因此其在data1 和data2 兩個特定數(shù)據(jù)集下表現(xiàn)略劣于DBSCAN 算法，但遠優(yōu)于另外2 種算法。由此可以預(yù)見，當(dāng)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)高維特性時，樣本點在超空間中的分布形狀會更加趨向于非圓形化，這時DC-HC 算法和DBSCAN 算法將更具優(yōu)越性。在最終得票統(tǒng)計上，DBSCAN 算法略優(yōu)于DC-HC 算法，但DBSCAN 算法存在二維超參數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時調(diào)參困難；并且DBSCAN 算法無法應(yīng)對不同簇密度差異較大的聚類場景，而密度差異往往在高維數(shù)據(jù)下被擴大。因此面對大量高維數(shù)據(jù)時，DC-HC 算法適用性更強。

使用data1 和data2 兩個可視數(shù)據(jù)集隨機添加15 個樣本點對DC-HC 算法進行抗噪性測試，噪音點均用黑點表示，測試結(jié)果如圖2 所示。

圖2 DC-HC算法抗噪性測試Fig.2 Noise resistance testing of DC-HC algorithm

對比圖2 與圖1（e），（f）可知，藍色方框選中的點為新添加的樣本點，但DC-HC 算法并未將其判定為噪音點，而距離更遠的點才被判定為噪音，可見DC-HC 算法具備良好的抗噪能力。

3 LSTM網(wǎng)絡(luò)

循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Recurrent Neural Network，RNN）被廣泛用于各類時序問題，然而在誤差沿時間反向傳播的過程中，梯度進行多次疊加將會導(dǎo)致梯度消失或梯度爆炸，因此RNN 很難處理長時序問題。進而產(chǎn)生一種改進的循環(huán)網(wǎng)絡(luò)：LSTM 網(wǎng)絡(luò)[22-24]。

為解決梯度難以沿時間長距離反向傳播的問題，LSTM 新增單元狀態(tài)c并引入“門”的概念。其輸入包括μ，β，c3 類，輸出包括β，c2 類。其中μt為t時刻輸入，βt為t時刻網(wǎng)絡(luò)輸出，如圖3 所示。

圖3 LSTM時序邏輯結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of LSTM sequential logic

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)選取

本文以愛爾蘭可持續(xù)能源管理局（Sustainable Energy Authority of Ireland，SEAI）于2011 年5 月發(fā)布的愛爾蘭智能電表實測用戶用電數(shù)據(jù)作為實驗數(shù)據(jù)集[25]。

4.2 數(shù)據(jù)預(yù)處理

采用FFT 計算每個樣本的振幅頻譜，根據(jù)式（4）計算對應(yīng)期望頻率；再以期望頻率作為特征量使用DC-HC 算法對愛爾蘭電力負荷數(shù)據(jù)集進行聚類，共有10 個樣本被DC-HC 算法歸類為噪音。

4.3 負荷預(yù)測

4.3.1 LSTM負荷預(yù)測

將各類負荷（噪音樣本算作噪音類負荷）按類疊加，以1 h 負荷量為1 個時間節(jié)點，選取1 到120時間節(jié)點劃分為訓(xùn)練集，121 到144 時間節(jié)點作為測試集，使用LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行負荷預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖4 和圖5 所示。由圖4 可知，6 類實際負荷中的大部分負荷曲線與預(yù)測曲線具有較高的一致性，預(yù)測效果較好。噪音類負荷曲線規(guī)律性較弱，所以預(yù)測效果并不理想，但由于噪音類樣本較少，噪音類總負荷量相對于相同時間內(nèi)負荷總量很少，因此噪音類負荷預(yù)測對最終的總負荷預(yù)測影響很小。

圖4 6類負荷實際曲線及預(yù)測曲線Fig.4 Actual and predictive curves of six kinds of loads

圖5 噪音類負荷實際曲線及預(yù)測曲線Fig.5 Actual and predictive curves of noise loads

使用本文所提FFT-DC-HC-LSTM 算法，將121—144 共24 個節(jié)點所有預(yù)測結(jié)果進行疊加后，得到圖6 曲線。

圖6 24個節(jié)點總負荷曲線及預(yù)測曲線Fig.6 Total load and forecating load of 24 nodes

由圖6 可知，采用本文算法進行負荷預(yù)測的結(jié)果與實際負荷的運行規(guī)律基本一致。

4.3.2 聚類算法對LSTM負荷預(yù)測影響

為評估各方案預(yù)測精度，進一步采用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和平均絕對百分誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）評估預(yù)測效果，數(shù)學(xué)表達為：

式中：為第θ個時段的實際負荷值；Pθ為第θ個時段的預(yù)測負荷值；υ為預(yù)測時間內(nèi)的節(jié)點數(shù)。

將4.3.1 節(jié)預(yù)測方案與以下4 種方案進行對比：（1）使用Kmeans 聚類負荷數(shù)據(jù)后進行預(yù)測；（2）使用AGNES 聚類負荷數(shù)據(jù)后進行預(yù)測；（3）使用DBSCAN 聚類負荷數(shù)據(jù)后進行預(yù)測；（4）不使用聚類方法預(yù)處理負荷數(shù)據(jù)，直接進行負荷預(yù)測。對比結(jié)果如表2 所示。

表2 預(yù)測方案誤差值對比Table 2 Comparison of error values between predictive schemes

由表2 數(shù)據(jù)可知：（1）對原始電力負荷數(shù)據(jù)使用聚類算法進行預(yù)處理后再按類分別進行負荷預(yù)測，可有效降低預(yù)測總誤差；（2）在以負荷預(yù)測為目的負荷數(shù)據(jù)聚類預(yù)處理過程中，DC-HC 算法表現(xiàn)優(yōu)于其它算法。

4.3.3 不同預(yù)測算法比較

在均使用DC-HC 算法進行數(shù)據(jù)預(yù)處理的前提下，采用LSTM、門控循環(huán)單元（Gated Recurrent Unit，GRU）、非線性自回 歸（Nonlinear Autoregressive，NAR）、RNN、多層感知機（Multilayer Perceptron，MLP）、支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）及一種集成決策樹（AdaBoost-Decision Tree，AB-DT）作為預(yù)測算法進行預(yù)測誤差及穩(wěn)定性對比，對比結(jié)果如表3 所示：（1）預(yù)測誤差，每個預(yù)測算法均獨立訓(xùn)練20 批次并取多次預(yù)測的平均值作為最終結(jié)果進行誤差計算；（2）穩(wěn)定性，單個預(yù)測算法每批次訓(xùn)練的最終預(yù)測結(jié)果均計算誤差，并以此計算所有誤差值的標(biāo)準(zhǔn)差。

由表3 數(shù)據(jù)可知：（1）MLP，SVR 和AB-DT 算法雖然輸出穩(wěn)定，但由于并非時序模型，因此在預(yù)測精度上并不理想；（2）綜合預(yù)測精度和算法穩(wěn)定性，在負荷預(yù)測問題中，LSTM 算法應(yīng)被優(yōu)先考慮使用。

表3 不同預(yù)測算法比較Table 3 Comparison of different predictive algorithms

5 結(jié)論

本文提出了一種基于FFT、DC-HC 和LSTM 網(wǎng)絡(luò)的短期負荷預(yù)測方案，借助FFT 得到負荷數(shù)據(jù)期望頻率并以之作為特征量，使用DC-HC 算法聚類負荷，再將聚類結(jié)果按類分別使用LSTM 進行負荷預(yù)測，最終疊加各分量得到預(yù)測總負荷。研究結(jié)論具體如下：

1）通過FFT 進行特征提取再聚類電力負荷數(shù)據(jù)的按類預(yù)測方法，可有效提高短期負荷預(yù)測精度。

2）相較其它算法，LSTM 算法應(yīng)用于本文負荷數(shù)據(jù)進行預(yù)測具有更高精度且更加穩(wěn)定。

3）相較其它聚類算法，DC-HC 算法在負荷預(yù)測中具有更好的數(shù)據(jù)預(yù)處理效果。

4）DC-HC 算法具有自適應(yīng)聚類數(shù)、抗噪性、簇空間分布自由等優(yōu)點，相較傳統(tǒng)聚類方法具有更大的適用范圍和更強的適用性。

接下來，研究受外部相關(guān)時序變量影響的時序數(shù)據(jù)預(yù)測模型是今后工作重點。