賀裕 付寶君 楊雨婷

（哈爾濱師范大學(xué) 黑龍江哈爾濱 150025）

近年來，由于電子控制與檢測(cè)水平的迅速發(fā)展，新型制膜技術(shù)不斷涌現(xiàn)，薄膜技術(shù)和薄膜材料也開始成為真空技術(shù)和材料科學(xué)等領(lǐng)域備受矚目的重要研究領(lǐng)域，薄膜科學(xué)已逐漸成為一門研究薄膜生產(chǎn)技術(shù)、生長原理、物性分析方法與控制的科學(xué)［1］。在使用外延生長技術(shù)制備薄膜時(shí)，沉積原子會(huì)落在襯底表面上，并通過某一種方式相遇到一起，從而產(chǎn)生一些原子團(tuán)。隨著新原子的不斷加入，這些原子團(tuán)逐漸長大變成較大的粒子簇，人們將這種粒子簇稱為“島”。隨著沉積過程的持續(xù)進(jìn)行，原子島不斷生長，當(dāng)原子島長到一定階段時(shí)，在原子島內(nèi)部相互連接，形成通道網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。在沉積不斷進(jìn)行時(shí)，原子填補(bǔ)通道之間的空隙，形成連續(xù)薄膜［2］。薄膜生長過程是比較復(fù)雜的原子活動(dòng)，涉及沉積原子經(jīng)歷的各種動(dòng)力學(xué)過程，包括原子間擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)過程、原子團(tuán)擴(kuò)散的動(dòng)力學(xué)過程和多層膜生長的動(dòng)力學(xué)過程。

眾所周知，四階薄膜方程可描述相變、薄膜增長等物理過程，并且都可用如下形式來描述：

其中，Ω ?RN為具有光滑邊界?Ω 的有界區(qū)域，T為正數(shù)，p＞1，u=u(x，t)表示薄膜表面的高度。相關(guān)文獻(xiàn)［3］構(gòu)造了方程（1）的弱解，并證明其存在唯一性。

當(dāng)N=1 時(shí)，方程（1）為廣義薄膜方程［4］，近年來被廣泛研究。

當(dāng)p=2 時(shí)，方程（1）稱為Cahn-Hilliard 方程［5］，最初用于表達(dá)了分離過程中守恒濃度場的演化，如今已成為材料科學(xué)和工程的支柱。這個(gè)方程也支持在圖像分析中用來提高模糊圖像清晰度的方法。相關(guān)文獻(xiàn)［6］描述了Cahn-Hilliard方程在放射性資源采集與遷移建模中的應(yīng)用。

相關(guān)文獻(xiàn)［7］提出了描述薄膜外延生長的能量守恒方程：

ut=g-?·j+η

Zangwill 提出薄膜表面的高度函數(shù)u(x，t)滿足周期邊值條件和某種初值條件［8］。相關(guān)文獻(xiàn)［9］利用Galerkin 逼近得到了弱解。King 等人利用半離散逼近思想，證明了外延薄膜生長初邊值問題在適當(dāng)函數(shù)空間中弱解的存在性、唯一性和正則性，同時(shí)導(dǎo)出解的長時(shí)間行為［10］。

本文主要研究以下初邊值條件的廣義薄膜方程問題：

并簡要論述一些基本概念和定義，以及求解方程的時(shí)間差分、再生核樣條函數(shù)法（RKSM），隨后，給出了所提方法的理論分析，最后，數(shù)值算例驗(yàn)證了算法的有效性。

1 相關(guān)理論

定義3［11］Wm[a，b]=u(x)|u(x)(m-1)在[a，b]上絕對(duì)連續(xù)，u(x)(m)∈L2[a，b]，其內(nèi)積定義為：

則，Wm[a，b]是再生核空間。

定理3[11]再生核空間Wm[a，b]的再生核函數(shù)為：

定理4[12]再生核空間Wm[a，b]的再生核函數(shù)Rm(x，y)關(guān)于變量x是2m-1階樣條。

針對(duì)此問題，構(gòu)造再生核空間W5[a，b]，在此空間對(duì)方程進(jìn)行討論，并取W3[a，b]中的再生核函數(shù)作為5次樣條的一部分基底，然后，運(yùn)用配置法，對(duì)方程的精確解進(jìn)行數(shù)值逼近，并將全面系統(tǒng)地對(duì)本文構(gòu)造的再生核樣條法進(jìn)行理論分析，對(duì)數(shù)值解的一致收斂性進(jìn)行嚴(yán)格地證明，最后給出數(shù)值算例來驗(yàn)證該算法的有效性。

2 再生核樣條函數(shù)法的具體求解過程

證明：設(shè)存在不全為0 的數(shù)c1、c2、c3、c4、…cn+5，使得：

取pj(x) ∈W5[a，b]，滿足：

且p(ji)(a)=p(ji)(b)=0，i=0，1…5；j=5。

由內(nèi)積定義（3），將式（5）兩邊分別與pj(x)做內(nèi)積，可得：

容易求得ci+5=0(i=0，1…n)，而{x2，x3，x4，x5}顯然線性無關(guān)，有c1=c2=c3=c4=0。

設(shè)矩形域={(x，t)|a≤x≤b，0≤t≤T}，取空間步長h=(a=x0＜x1＜…＜xM=b)，即x=xk=a+(k=0，1，…M)；時(shí)間步長τ=(0=t0＜t1＜…＜tT=T)，即t=tn=nτ(n=0，1，…N)。其中，N，M都是正整數(shù)。用兩族平行直線t=tn=nτ和x=xk=a+將矩形域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)記為(xk，tn)。

以下是對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行差分，格式如下：

其中，un表示第n 個(gè)時(shí)間層上的函數(shù)，即un=u(x，tn)，代入方程（1），整理得：

近似解un(x)有如下表示形式：

在配置點(diǎn)xk=a+(k=0，1，…，M)上進(jìn)行計(jì)算，使用配置法來獲取un(x)，它的系數(shù)a1、a2、…aN+5滿足：

引入矩陣U=(a1，a2，…aN+5)，則式（9）、式（10）、式（11）轉(zhuǎn)化成矩陣方程：

其中，C為系數(shù)矩陣，B為常數(shù)項(xiàng)。且C非奇異，因此，un(x)存在且唯一。

3 理論分析

定理6：設(shè)u(x，tn)是方程（2）的精確解，un(x，tn)是u(x，tn) 的近似解，則un(x，tn) 和它的各階導(dǎo)數(shù)u(k)(x，tn)一致收斂于精確解u(x，tn)及其各階導(dǎo)數(shù)

證明：令R(x，y)是再生核空間W5[a，b]的再生核函數(shù)。由：

有：

而再生核函數(shù)在［a，b］是連續(xù)的，因此：

|u(x，tn)-un(x，tn)|≤M‖u-un‖→0

其中，常數(shù)M=‖Rx‖≥0。

即：un(x，tn)一致收斂于u(x，tn)。

其中，常數(shù)Mk=≥0(k=1，2，3，4)。因此，各階導(dǎo)數(shù)u(k)(x，tn)一致收斂于u(nk)(x，tn)。

4 數(shù)值算例

例：考慮如下廣義薄膜方程的初邊值問題［13］。

其中，p分別取2，3，4，5，6，其精確解u(x，t)=ex+x+(t-2)。

取M=10，N=10，xk=(k=0，1，2…，10)，tn=(n=0，1，2…，10)，用文中的方法計(jì)算的最大絕對(duì)誤差和最大相對(duì)誤差見表1。

表1 方程（12）中p 取不同值的最大絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差