鐘子林，劉愛(ài)榮

(1. 廣州大學(xué)風(fēng)工程與工程振動(dòng)研究中心，廣東，廣州 510006；2. 廣州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東，廣州 510430)

拱結(jié)構(gòu)具有造型美觀、跨越能力強(qiáng)和承載能力大等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于建筑工程，如巴黎圣日內(nèi)維耶圖書(shū)館和沈陽(yáng)西站候車(chē)室的屋蓋等；橋梁工程，如廣西平南縣拱橋和盧浦大橋等；水利工程，如美國(guó)科羅拉多河葛蘭大壩和日本的黑部大壩等；機(jī)械和航空工程，如拱形吊車(chē)梁、曲梁構(gòu)件和拱形機(jī)艙骨架等。在外部環(huán)境激勵(lì)下，拱可能會(huì)發(fā)生大幅度振動(dòng)，當(dāng)外部激勵(lì)達(dá)到臨界失穩(wěn)頻率，拱將發(fā)生劇烈振動(dòng)而導(dǎo)致失穩(wěn)。不同激勵(lì)幅值下的臨界激勵(lì)頻率圍成拱的動(dòng)力不穩(wěn)定域，可預(yù)測(cè)拱在外部參數(shù)激勵(lì)下的穩(wěn)定性。由于外部激勵(lì)持續(xù)變化，可能誘發(fā)拱發(fā)生多種類(lèi)型的動(dòng)力失穩(wěn)。動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捄头植挤浅?fù)雜，如何準(zhǔn)確計(jì)算拱的動(dòng)力不穩(wěn)定域并分析其隨各種參數(shù)的變化規(guī)律，優(yōu)化拱的設(shè)計(jì)參數(shù)，以避免其落入動(dòng)力不穩(wěn)定域，是當(dāng)前研究的難點(diǎn)。

研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)動(dòng)力荷載的激振參數(shù)(頻率、幅值等)與拱的振動(dòng)頻率滿(mǎn)足一定條件時(shí)，拱的位移將會(huì)突然增加，發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)。例如，當(dāng)外荷載的激振頻率是拱自振頻率的2倍時(shí)，拱的位移突然呈指數(shù)增長(zhǎng)，發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。Bolotin[1]在其著作中針對(duì)徑向均布荷載作用下的兩端鉸接圓弧拱進(jìn)行了解析推導(dǎo)，給出了拱平面內(nèi)反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)域的求解方法。在Bolotin的研究基礎(chǔ)上，Sophianopoulos等[2]首次推導(dǎo)了簡(jiǎn)諧荷載作用下兩端鉸接懸鏈線拱的Mathieu-Hill常微分運(yùn)動(dòng)方程，并利用Bolotin法得到了懸鏈線拱參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的臨界頻率域。王連華等[3]考慮了幾何缺陷的影響，推導(dǎo)了周期動(dòng)力荷載作用下拱的運(yùn)動(dòng)方程，并從李雅普諾夫穩(wěn)定性原理出發(fā)，得到了李雅普諾夫指數(shù)，研究了激勵(lì)頻率與缺陷大小對(duì)拱平面內(nèi)動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，但未分析拱動(dòng)力失穩(wěn)域的分布規(guī)律。為此，趙洪金和董寧娟針對(duì)不同設(shè)計(jì)參數(shù)拱的參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)開(kāi)展了系列的研究。首先，趙洪金等[4]利用哈密頓原理和伽遼金法推導(dǎo)了兩端鉸接圓弧格構(gòu)拱的運(yùn)動(dòng)方程，通過(guò)Bolotin法求解了拱的面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)動(dòng)力失穩(wěn)域，并分析了不同綴條面積、半徑和夾角等對(duì)不穩(wěn)定域大小的影響；然后，趙洪金等[5]采用類(lèi)似的方法分析了剪切變形對(duì)圓弧深拱動(dòng)力不穩(wěn)定域的影響；董寧娟和趙洪金[6 ? 7]利用Bolotin法和半解析法求解得到了徑向均布荷載作用下開(kāi)口薄壁與閉口薄壁圓弧拱的平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)動(dòng)力失穩(wěn)域。以上研究未考慮非線性振動(dòng)、阻尼、附加配重等參數(shù)對(duì)圓弧拱動(dòng)力穩(wěn)定性的影響，且未開(kāi)展實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證理論解析解的正確性[8]。為進(jìn)一步揭示圓弧拱動(dòng)力失穩(wěn)機(jī)理，Liu和Yang等[9]基于能量法推導(dǎo)了拱頂集中簡(jiǎn)諧荷載作用下固接圓弧拱平面內(nèi)的動(dòng)力方程，求解了圓弧拱平面內(nèi)反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域，進(jìn)一步利用激振器生成簡(jiǎn)諧波，開(kāi)展了掃頻實(shí)驗(yàn)獲得了拱的動(dòng)力不穩(wěn)定域，分析了矢跨比、附加質(zhì)量對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律。此外，Liu和Lu等[10]發(fā)現(xiàn)，拱在集中簡(jiǎn)諧荷載作用下，當(dāng)激振頻率大約為拱面外自振頻率的2倍左右時(shí)，拱從原來(lái)的面內(nèi)平衡位置突然過(guò)渡為面外平衡狀態(tài)并發(fā)生大幅度的彎扭振動(dòng)。為從理論的角度解釋這一現(xiàn)象，他們基于能量法，同時(shí)考慮了阻尼和非性振動(dòng)的影響，推導(dǎo)了拱頂集中簡(jiǎn)諧荷載作用下固接圓弧拱平面外的動(dòng)力平衡微分方程，求解了圓弧拱平面外彎扭參數(shù)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域，分析了動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捙c分布隨矢跨比、附加配重和阻尼比的變化規(guī)律以及非線性振動(dòng)規(guī)律。此外，他們還設(shè)計(jì)了圓弧拱實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行激振實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了理論解的正確性，并揭示了拱頂集中簡(jiǎn)諧荷載作用下圓弧拱平面外動(dòng)力失穩(wěn)機(jī)理。Zhong和Liu等[11]利用哈密頓原理與伽遼金法建立了沿拱軸線豎向均勻分布簡(jiǎn)諧荷載作用下圓弧拱的動(dòng)力數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了周期為T(mén)和2T的圓弧拱參數(shù)共振失穩(wěn)域的解析表達(dá)式，分析了靜載、阻尼比和矢跨比對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定域域?qū)捙c分布的影響，通過(guò)建立有限元瞬態(tài)動(dòng)力分析模型驗(yàn)證了理論解析的正確性。為探索沖擊荷載下圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)問(wèn)題，Liu和Yang等[12]建立了徑向任意階躍動(dòng)荷載作用下圓弧拱的非線性運(yùn)動(dòng)方程，得到了圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)荷載解析解，分析了荷載位置對(duì)拱動(dòng)力屈曲行為的影響。Yang和Liu等[13]研究了集中階躍荷載作用下FG-GPLRC拱的非線性動(dòng)力屈曲，探究了GPLs 分布模式、質(zhì)量分?jǐn)?shù)和幾何尺寸對(duì) FGGPLRC拱動(dòng)力屈曲的影響，結(jié)果表明GPLs 能夠顯著提高FG-GPLRC拱的動(dòng)力屈曲臨界荷載。跌落沖擊荷載往往攜帶巨大的能量，但其對(duì)拱的動(dòng)力屈曲行為還需要進(jìn)一步研究。Yang和Liu等[14]基于能量守恒原理建立了高空跌落重物沖擊下圓弧拱動(dòng)力平衡方程，將重物勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，分析了拱長(zhǎng)細(xì)比、沖擊重量與速度對(duì)圓弧拱動(dòng)力失穩(wěn)的影響。

以上研究成果均未涉及基礎(chǔ)激勵(lì)下拱動(dòng)力失穩(wěn)問(wèn)題。而基礎(chǔ)激勵(lì)在工程中隨處可見(jiàn)，例如水下鉆孔、地震、航道、隧道等爆破產(chǎn)生的沖擊波、大型輪船運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生的水擊波、地鐵運(yùn)行產(chǎn)生的振動(dòng)等，是導(dǎo)致拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的主要元兇之一。然而基礎(chǔ)激勵(lì)下拱的失穩(wěn)機(jī)理尚不明晰，相關(guān)研究很少公開(kāi)報(bào)道。只有，Chen等[15]將水平簡(jiǎn)諧荷載施加在正弦淺拱的一端可動(dòng)支座上，通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察拱的平面內(nèi)非線性振動(dòng)行為，但未測(cè)得拱動(dòng)力失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率。此外，Zhong和Liu[16]針對(duì)基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱平面外參數(shù)共振失穩(wěn)進(jìn)行了理論推導(dǎo)，分析了不同矢跨比、圓心角、長(zhǎng)細(xì)比、阻尼比對(duì)圓弧拱平面外參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵(lì)頻率的影響，并提出了一種臨界激勵(lì)頻率的實(shí)驗(yàn)測(cè)試方法，發(fā)現(xiàn)了圓弧拱發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)時(shí)振動(dòng)頻率的跳躍行為，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論解的正確性。

然而，在實(shí)際工程中，基礎(chǔ)激勵(lì)多為多頻激勵(lì)，即結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)同時(shí)受到2個(gè)或以上激勵(lì)源的作用，比如鄰近橋梁的基礎(chǔ)同時(shí)受到隧道開(kāi)挖過(guò)程中機(jī)械本身產(chǎn)生的振動(dòng)激勵(lì)與機(jī)械運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致地面振動(dòng)的激勵(lì)，多艘輪船同時(shí)產(chǎn)生多個(gè)水擊波對(duì)橋梁基礎(chǔ)的激勵(lì)等?；A(chǔ)多頻激勵(lì)會(huì)導(dǎo)致拱復(fù)雜的動(dòng)力失穩(wěn)行為。與基礎(chǔ)單頻激勵(lì)作用下圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)相比，多頻激勵(lì)下運(yùn)動(dòng)方程求解過(guò)程更為復(fù)雜，需考慮多個(gè)諧波分量之間的相互作用關(guān)系。此外，不同激勵(lì)幅值和激勵(lì)頻率的組合將會(huì)影響動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捙c分布規(guī)律，可能出現(xiàn)共振與參數(shù)共振交替出現(xiàn)或模態(tài)混疊的現(xiàn)象。因此本文針對(duì)基礎(chǔ)豎向多頻激勵(lì)下圓弧拱的平面內(nèi)動(dòng)力穩(wěn)定性展開(kāi)深入的研究。

1 運(yùn)動(dòng)方程

1.1 平面內(nèi)能量方程

圖1 基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)Fig.1 Dynamic system of the circular arch under a vertical base excitation

基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱截面上任意一點(diǎn)P的應(yīng)變函數(shù)可表示為[17 ? 18]：

式中：

忽略剪切變形與截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱的平面內(nèi)Lagrangian方程 ?i可表示為：

式中，拱的動(dòng)能T可表示為：

式中，E、A、Ix分別為圓弧拱的彈性模量、截面面積、截面慣性矩，由動(dòng)軸力引起的內(nèi)力做功WN可表示為：

此外，非保守力阻尼做功可表示為：

1.2 平面內(nèi)動(dòng)力平衡方程

基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)的動(dòng)力平衡方程可由哈密頓原理以及變分運(yùn)算得到，由哈密頓原理可得：

式(11)滿(mǎn)足以下條件：

式中，t1、t2為任意時(shí)間。

將式(5)、式(7)～式(9)代入式(11)，運(yùn)用式(12)的條件以及變分運(yùn)算法則，可得由無(wú)量綱徑向和切向位移控制的平面內(nèi)動(dòng)力方程：

式(13)～式(14)表示的動(dòng)力系統(tǒng)的邊界條件和運(yùn)動(dòng)初始條件為：

式中，Δn為拱第n階模態(tài)自由衰減振動(dòng)的衰減率。

2 基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)的動(dòng)內(nèi)力

基礎(chǔ)豎向激勵(lì)產(chǎn)生的圓弧拱動(dòng)軸力與動(dòng)彎矩可表示為：

對(duì)耦合方程式(13)～式(14)進(jìn)行解耦計(jì)算，得：

式中：

將式(20)～式(21)代入式(13)～式(14)中，忽略?xún)?nèi)力做功，得：

求解式(22)～式(23)表示的動(dòng)力方程組，并根據(jù)邊界條件求得相應(yīng)的積分系數(shù)，可得：

式(24)～式(25)中，D1、D2分別為：

3 求解動(dòng)力不穩(wěn)定域

圓弧拱的切向位移函數(shù)可表示為[20 ? 21]：

式中，fn(t)、 ψn(φ)分別為圓弧拱的空間坐標(biāo)和模態(tài)函數(shù)。選取面內(nèi)前兩階模態(tài)(一階反對(duì)稱(chēng)、二階正對(duì)稱(chēng))作為圓弧拱動(dòng)力失穩(wěn)分析對(duì)象，將式(28)代入基礎(chǔ)豎向激勵(lì)下圓弧拱的平面內(nèi)動(dòng)力平衡方程式(19)，運(yùn)用伽遼金法對(duì)動(dòng)力平衡方程進(jìn)行離散分析，并采用多尺度法[22]進(jìn)行求解，可得前兩階模態(tài)的常微分干擾方程為：

式(29)～式(30)中，ε為遠(yuǎn)小于1的小參數(shù)，其余系數(shù)的表達(dá)式為：

運(yùn)用多尺度法對(duì)式(29)～式(30)進(jìn)行二階近似計(jì)算，引入時(shí)間尺度，Tn=εnt，時(shí)間尺度微分計(jì)算公式為[22]：

式(39)中，Dn=?/?Tn。

將fn(t) (n=1, 2) 擴(kuò)展為ε的冪級(jí)數(shù)形式，其二階近似可表示為：

將式(40)～式(41)代入式(29)～式(30)，使ε的同次冪項(xiàng)系數(shù)等于0，有：

式(42)的解可以表示為以下形式：

不失一般性地假設(shè)圓弧拱基礎(chǔ)受到的豎向多頻激勵(lì)為雙余弦簡(jiǎn)諧激勵(lì)，即：

將式(45)～式(46)分別代入式(43)，可得：

當(dāng)圓弧拱基礎(chǔ)受到豎向多頻激勵(lì)時(shí)，圓弧拱會(huì)發(fā)生多種形式的聯(lián)合共振失穩(wěn)。其中，當(dāng)基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)同時(shí)激發(fā)圓弧拱發(fā)生一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)、二階正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)時(shí)，根據(jù)多尺度分析法[22]，可引入3個(gè)調(diào)諧參數(shù)σ1、σ2、σ3，分別表示圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)的干擾條件，即：

將式(49)代入式(47)～式(48)，消除相應(yīng)的久期項(xiàng)，可得：

因此，可得式(47)～式(48)的特解為：

將式(45)、式(49)～式(50)代入式(44)，并根據(jù)式(49)給出的圓弧拱平面內(nèi)動(dòng)力失穩(wěn)的干擾條件，消除相應(yīng)的久期項(xiàng)，可得：

根據(jù)多尺度法的求解方法，通過(guò)構(gòu)建ε的冪級(jí)數(shù)描述振幅An(T1,T2)(n=1,2)變化，即滿(mǎn)足下式：

通過(guò)考察動(dòng)力方程不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，可以判斷定態(tài)周期解的穩(wěn)定性。根據(jù)現(xiàn)有的研究可知，振幅An(T1,T2)(n=1,2)可表示為極坐標(biāo)的形式，然而卻不利于求解不動(dòng)點(diǎn)的周期解，因此可將振幅An(T1,T2)(n=1,2)寫(xiě)成直角坐標(biāo)的形式，即：

根據(jù)式(47)～式(48)、式(51)～式(52)分別求出D1A1·(T1,T2) 、D1A1(T1,T2) 、D2A1(T1,T2)和D2A1(T1,T2)，將其代入式(53)，并分離實(shí)部與虛部，可得：

為求解基礎(chǔ)多頻激勵(lì)下圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)不動(dòng)點(diǎn)的周期解，通過(guò)觀察式(55)～式(58)關(guān)于系數(shù)p1、q1組成的方程組，建立相應(yīng)的雅克比矩陣，通過(guò)求解雅可比矩陣的特征值，便可得到圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)的臨界激勵(lì)頻率值。

4 結(jié)果分析

選取彈性模量E=65.38 GPa，質(zhì)量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.02 m×0.001 m，跨徑L=0.8 m的兩端固接圓弧拱作為研究對(duì)象，其中動(dòng)力系統(tǒng)的一階阻尼衰減率Δ1=0.02，二階阻尼衰減率Δ2=0.002，基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)的最大加速度幅值分別為Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，并 設(shè)Pt1=β1Pmax1,Pt2=β2Pmax2，β1和β2分別為兩個(gè)余弦激勵(lì)的無(wú)量綱激勵(lì)幅值。由式(49)可知，σ1=σ2，表明兩個(gè)余弦激勵(lì)的頻率相等，即Ω1=Ω2=Ω，而無(wú)量綱激勵(lì)幅值β1、β2的變化范圍均設(shè)為[0,1]，因此可設(shè)β1=β2=β，即對(duì)于激勵(lì)幅值Pmax1=30 m/s2，Pmax2=40 m/s2，當(dāng)β=0.2時(shí)，Pt1=6 m/s2，Pt2=8 m/s2。

由圖2可知，兩條曲線將參數(shù)平面(β?Ω/ω1)劃分為穩(wěn)定區(qū)域與不穩(wěn)定區(qū)域，其中虛線圍成的區(qū)域?yàn)橐浑A反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)域，實(shí)線圍成的區(qū)域?yàn)槎A正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)域。從圖中還可知，在設(shè)定的激勵(lì)幅值下，僅矢跨比為f/L=1/4圓弧拱的反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)與正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域存在重合區(qū)域。當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值與頻率落入該重合區(qū)域時(shí)，圓弧拱將會(huì)被激發(fā)雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)，即同時(shí)發(fā)生一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)和二階正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)，而兩個(gè)域的非重合部分分別表示圓弧拱將會(huì)被分別激發(fā)平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)和正對(duì)稱(chēng)二階共振失穩(wěn)。

由圖2可知，基礎(chǔ)多頻激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域主要分布在無(wú)量綱激振頻率Ω/ω1=2附近，表明當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)頻率約為圓弧拱一階自振頻率的2倍時(shí)，圓弧拱將會(huì)被激發(fā)平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)。此外，參數(shù)共振失穩(wěn)域的域?qū)掃h(yuǎn)大于共振失穩(wěn)域的域?qū)挘砻飨鄬?duì)于共振失穩(wěn)，參數(shù)共振失穩(wěn)是拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定設(shè)計(jì)的首要防控目標(biāo)。

由于圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)存在一定的阻尼，所以反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)域與正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)域均存在一個(gè)臨界激勵(lì)幅值βcr1、βcr2，即當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值大于臨界值時(shí)才能激發(fā)圓弧拱發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)。因此，工程中可以采用增加阻尼的方法來(lái)抑制圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)。由圖2可知，隨著矢跨比的減小，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u增加，而無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值βcr卻逐漸減小。

圖2 基礎(chǔ)激勵(lì)下不同矢跨比圓弧拱平面內(nèi)動(dòng)力失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域Fig.2 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different span-rise ratio

為研究長(zhǎng)細(xì)比對(duì)圓弧拱參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的影響，可選取彈性模量E=69 GPa，質(zhì)量密度ρ=2700 kg/m3，泊松比為μ=0.32，矩形截面尺寸b×h=0.08 m×0.015 m，圓心角2Θ=90°的兩端固接圓弧拱作為研究對(duì)象，其中動(dòng)力系統(tǒng)的一階阻尼衰減率Δ1=0.01，二階阻尼衰減率Δ2=0.001，基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)的最大加速度幅值分別為Pmax1=300 m/s2，Pmax2=500 m/s2。

以下分析不同圓心角對(duì)動(dòng)力不穩(wěn)定域的影響規(guī)律，設(shè)圓弧拱的長(zhǎng)細(xì)比S/rx=400，動(dòng)力系統(tǒng)參數(shù)與圖3分析中的參數(shù)相同。由圖4可知，隨著圓心角的增加，動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u減小，無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值逐漸增加。而當(dāng)圓心角2Θ=120°時(shí)，在該基礎(chǔ)多頻激勵(lì)下，圓弧拱僅發(fā)生參數(shù)共振失穩(wěn)。雖然隨著圓心角的增加，圓弧拱參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u減小，但是隨著圓心角的增加，二階正對(duì)稱(chēng)自振頻率逐漸靠近一階反對(duì)稱(chēng)自振頻率，因此在基礎(chǔ)激勵(lì)頻率相同的情況下，兩個(gè)動(dòng)力不穩(wěn)定域逐漸靠近，此時(shí)若增加基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值，大圓心角圓弧拱的兩個(gè)動(dòng)力不穩(wěn)定域更容易發(fā)生重合，并被激發(fā)雙模態(tài)動(dòng)力失穩(wěn)。由于參數(shù)共振失穩(wěn)域遠(yuǎn)大于共振失穩(wěn)域，因此相比之下，當(dāng)拱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中要求長(zhǎng)細(xì)比一定時(shí)，應(yīng)選擇大圓心角的圓弧拱來(lái)增加其動(dòng)力穩(wěn)定性。

圖3 基礎(chǔ)激勵(lì)下不同長(zhǎng)細(xì)比圓弧拱平面內(nèi)動(dòng)力失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域Fig.3 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different slenderness ratio

圖4 基礎(chǔ)激勵(lì)下不同圓心角圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域Fig.4 Dynamic instability regions of the circular arch under a base excitation for different central angle

由圖5可知，當(dāng)增加圓弧拱的阻尼時(shí)，平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振和二階正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)域逐漸減小，臨界激勵(lì)幅值逐漸增加，表明阻尼對(duì)圓弧拱的動(dòng)力失穩(wěn)有明顯的抑制作用。因此當(dāng)圓弧拱的參數(shù)無(wú)法改變時(shí)，可通過(guò)增加圓弧拱動(dòng)力系統(tǒng)阻尼的方法避開(kāi)動(dòng)力不穩(wěn)定域。

圖5 不同阻尼衰減率下圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域Fig.5 Dynamic instability regions of the circular arch for different damping decrement

5 有限元驗(yàn)證

采用有限元瞬態(tài)分析方法[11]，施加不同的加速度激勵(lì)幅值，對(duì)圓弧拱進(jìn)行掃頻激振，得到圓弧拱平面內(nèi)振動(dòng)的動(dòng)力響應(yīng)，如圖6所示，其中基礎(chǔ)激勵(lì)的起始頻率分別為：向上掃頻37.41 Hz，向下掃頻43.17 Hz，掃頻速率為0.333 Hz/min。以圖2(d)中的圓弧拱為對(duì)象，利用有限元瞬態(tài)分析法分別得到不同激勵(lì)幅值下圓弧拱發(fā)生平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界激勵(lì)頻率，其中基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)的幅值分別為Pt1=30 m/s2、Pt2=40 m/s2，阻尼衰減率為Δ1=0.02。根據(jù)時(shí)域分析法[14]可知，向上和向下掃頻基礎(chǔ)激勵(lì)下圓弧拱發(fā)生平面參數(shù)共振失穩(wěn)的臨界時(shí)間分別為40 s和41 s，對(duì)應(yīng)的臨界激勵(lì)頻率分別為37.63 Hz和42.94 Hz。按照相同的方法可分別計(jì)算出動(dòng)力不穩(wěn)定域的臨界激勵(lì)頻率下限值ΩL和上限值ΩH。表1分別給出了基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵(lì)頻率的解析解與數(shù)值解的對(duì)比，通過(guò)誤差分析可知，兩者的臨界激勵(lì)頻率值吻合，變化規(guī)律相同，即隨著無(wú)量綱激勵(lì)幅值的增加，下限值ΩL逐漸減小，上限值ΩH逐漸增加。同時(shí)也驗(yàn)證了理論解析解的正確性。

圖6 基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)參數(shù)動(dòng)力失穩(wěn)的振幅時(shí)程( β=1)Fig.6 Amplitude of the circular arch under double cosine base excitation for the in-plane parametric resonance

表1 基礎(chǔ)雙余弦激勵(lì)下圓弧拱平面內(nèi)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)臨界激勵(lì)頻率的解析解與數(shù)值解(f/L=1/10)Table 1 Analytical and numerical solutions of the critical excitation frequencies of first-order antisymmetric parametric resonance instability of a circular arch plane under a base double cosine excitations

6 結(jié)論

由于基礎(chǔ)豎向多頻激勵(lì)下圓弧拱易發(fā)生聯(lián)合共振失穩(wěn)，因此本文針對(duì)圓弧拱同時(shí)發(fā)生一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振和二階正對(duì)稱(chēng)共振的失穩(wěn)類(lèi)型展開(kāi)了理論推導(dǎo)，得到了相應(yīng)的動(dòng)力不穩(wěn)定域，并分析了動(dòng)力不穩(wěn)定域隨圓弧拱設(shè)計(jì)參數(shù)的變化規(guī)律，得到以下結(jié)論：

(1) 在一定外部激勵(lì)下，圓弧拱有可能被激發(fā)前兩階模態(tài)聯(lián)合共振失穩(wěn)，參數(shù)共振失穩(wěn)模態(tài)為一階反對(duì)稱(chēng)，共振失穩(wěn)模態(tài)為二階正對(duì)稱(chēng)。

(2) 動(dòng)力不穩(wěn)定域可以用于預(yù)報(bào)基礎(chǔ)豎向多頻參數(shù)激勵(lì)下圓弧拱的動(dòng)力穩(wěn)定性。不穩(wěn)定域存在一個(gè)重合區(qū)域使得圓弧拱同時(shí)發(fā)生一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)與二階正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)。參數(shù)共振失穩(wěn)域的域?qū)掃h(yuǎn)大于共振失穩(wěn)域的域?qū)挘虼藚?shù)共振失穩(wěn)是拱結(jié)構(gòu)動(dòng)力穩(wěn)定設(shè)計(jì)的首要防控目標(biāo)。

(3) 隨著矢跨比的減小，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域的域?qū)捴饾u增加，而無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值卻逐漸減??；隨著長(zhǎng)細(xì)比的增加，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u增加，而無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值卻逐漸減小；隨著圓心角的增加，參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域域?qū)捴饾u減小，無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值逐漸增加；阻尼對(duì)圓弧拱平面內(nèi)的動(dòng)力失穩(wěn)具有明顯的抑制作用，可減小參數(shù)共振失穩(wěn)和共振失穩(wěn)的動(dòng)力不穩(wěn)定域域?qū)?，增加無(wú)量綱臨界激勵(lì)幅值。

(4) 當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值與頻率落入動(dòng)力不穩(wěn)定重合域時(shí)，圓弧拱將被同時(shí)激發(fā)一階反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振失穩(wěn)和二階正對(duì)稱(chēng)共振失穩(wěn)，而當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值與頻率避開(kāi)重合域時(shí)，圓弧拱僅被激發(fā)反對(duì)稱(chēng)參數(shù)共振或共振失穩(wěn)。

(5) 動(dòng)力失穩(wěn)臨界激勵(lì)頻率的理論解析解與數(shù)值解基本一致，驗(yàn)證了理論解析解的正確性。