王 娟，趙均海，周 媛，孫珊珊，吳 賽

(1. 長安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064；2. 長安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安 710061；3. 長安大學(xué)基建處，西安 710064)

長桿彈高速侵徹問題一直是近年來的研究熱點[1 ? 2]，不同于剛性彈，高速長桿彈撞擊靶體時，彈靶界面的壓力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過材料的屈服強(qiáng)度，碰撞應(yīng)力足以使彈體變形及消蝕[3]，關(guān)于該問題最初建立的分析模型是流體力學(xué)模型，隨后此模型被不斷改進(jìn)和發(fā)展[4]。Anderson等[5]利用柱形空腔膨脹理論推導(dǎo)了靶體阻力和侵徹速度之間的關(guān)系，建立了與時間相關(guān)的侵徹模型。國內(nèi)孫庚辰等[6]通過對彈體頭部流動區(qū)進(jìn)行分析，提出了一維簡化新模型。蘭彬[7]將靶體響應(yīng)區(qū)進(jìn)行了新的分區(qū)，對侵徹模型進(jìn)行了改進(jìn)。樓建鋒[8]總結(jié)了現(xiàn)有長桿彈理論模型，編制了統(tǒng)一計算程序。然而，已有對高速彈體侵徹問題的研究大多是建立在半無限靶體或者有限厚靶體的基礎(chǔ)上，未考慮靶體側(cè)面自由邊界對侵徹產(chǎn)生的影響，少有的對消蝕彈侵徹有限平面尺寸靶體的探究還主要停留于試驗[9 ? 10]，理論分析則大都忽略了靶體側(cè)面邊界的影響，由于當(dāng)靶體尺寸較小時，這種假設(shè)帶來的結(jié)果與試驗偏差明顯[9 ? 10]，蔣志剛等[11]提出了有限柱形空腔膨脹理論，首次以系統(tǒng)的理論建立了長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的理論模型，然而該模型只適用于理想彈塑性材料、采用的Mises準(zhǔn)則只適合于剪切屈服極限和拉壓屈服極限關(guān)系為τs=0.577σs的材料，且未討論侵徹影響因素。隨后宋殿義等[12]和王娟等[13]基于此理論進(jìn)行的靶體側(cè)面邊界分析也僅是針對剛性彈，并未對發(fā)生侵蝕的高速長桿彈侵徹問題進(jìn)行研究。

統(tǒng)一強(qiáng)度理論考慮了作用于雙剪單元體上的全部應(yīng)力分量及其對材料破壞的不同影響，可以十分靈活地適用于各種不同的材料[14]，包括金屬[15]、混凝土[16]、巖石[17 ? 18]等，在國內(nèi)外得到廣泛的應(yīng)用，是求解侵徹復(fù)雜應(yīng)力問題更合理的新強(qiáng)度準(zhǔn)則[18]。由于材料強(qiáng)度準(zhǔn)則的建立和選用是研究靶材抗侵徹性能的重要環(huán)節(jié)，同時為了擴(kuò)大解的適用范圍并充分發(fā)揮靶材潛能，本文考慮中間主應(yīng)力的影響，建立基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論的有限柱形空腔膨脹模型，推導(dǎo)線性硬化有限直徑金屬厚靶在彈體高速(1500 m/s～2200 m/s)侵徹時的阻力和深度計算公式；將計算結(jié)果與試驗結(jié)果、其他公式結(jié)果對比驗證，文獻(xiàn)[11]的結(jié)果僅是本文結(jié)論的一個特例；得到一系列基于不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的解析解，有效預(yù)測了不同靶彈半徑比金屬靶材的侵深區(qū)間；討論了強(qiáng)度參數(shù)、撞擊速度及靶體半徑對彈道性能的影響，可為金屬裝甲防護(hù)設(shè)計提供一定參考。

1 統(tǒng)一強(qiáng)度理論

統(tǒng)一強(qiáng)度理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式為[14]：

式中： σ1、 σ2和 σ3分別為雙剪應(yīng)力單元體的三個主應(yīng)力；α為材料的拉壓強(qiáng)度比；b為反映中間切應(yīng)力及相應(yīng)面上正應(yīng)力對材料破壞影響程度的參數(shù)，也是選用不同強(qiáng)度理論的參數(shù)， 0≤b≤1。

2 基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論的有限柱形空腔膨脹模型

2.1 計算模型

有限柱形空腔膨脹模型[11]如圖1所示。設(shè)柱體半徑為rt，t時刻空腔半徑為rc(最大值rcf)，彈塑性邊界半徑為rp，r˙c為常數(shù)。膨脹過程分彈塑性階段(rp

圖1 有限柱形空腔膨脹模型Fig.1 Finite cylindrical cavity expansion model

由式(1)可得金屬材料的等效應(yīng)力為[13]：

式中， σr和 σθ分別為徑向應(yīng)力和環(huán)向應(yīng)力。

根據(jù)線性硬化材料的本構(gòu)關(guān)系，并聯(lián)立式(3)可得應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系方程為：

式中：σoy為材料的初始屈服應(yīng)力； εr和 εθ分別為徑向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變；E和ν分別為材料的彈性模量和泊松比。

2.2 空腔膨脹應(yīng)力計算

2.2.1 彈塑性階段(rp

由于應(yīng)力和質(zhì)點速度連續(xù)[19]，由式(6)和式(7)，可得：

2.2.2 塑性階段(rp≡rt)

式中，rc2為第二階段結(jié)束時的空腔半徑。

假設(shè) εeq為等效應(yīng)變， εf為材料單向拉伸斷裂應(yīng)變，基于Hill的塑性功假設(shè)[20 ? 21]可知：

當(dāng)rp=rt，第一階段結(jié)束時的空腔半徑rc1為：

由式(14)和式(15)可得：

2.3 擴(kuò)孔耗能和空腔壁平均應(yīng)力計算

當(dāng)rc1≤rcf

3 長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶效應(yīng)

3.1 侵蝕長桿彈侵徹模型分析

根據(jù)Tate模型方程[22]中：

式中： ρd和 σd分別為彈體的密度和屈服應(yīng)力；Yd為彈體的特征強(qiáng)度；R為 靶體的阻力；l0和v0分別為彈體的初始長度和速度；l和v分 別為t時刻彈體的長度和速度；u和x分別為靶體侵徹速度和深度。

若rd為彈體半徑，取R=A1，rcf可近似取[11]：

若Yd

若Yd>R時，磨蝕先停止，剩余彈體視為剛體，以v=vc2=u侵徹直至v=0 ，vc2則為[11]：

3.2 侵徹深度計算

若Yd

式中：

將u=u0，v=v0代入式(17)，可求得u0為：

若Yd>R， 總侵深D包括磨蝕侵徹階段侵深x1和剛性侵徹階段侵深x2，即：

式中，x1、x2和x1結(jié)束時彈體剩余長度l1為[11]：

4 算例及討論

4.1 模型驗證

取文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]中試驗數(shù)據(jù)，代入本文公式計算侵深及阻力。文獻(xiàn)[9]試驗靶板由4340鋼制成，密度ρ=7850 kg/m3，彈性模量E=200.6 GPa (Ep=0)，泊 松 比υ=0.29，屈 服 應(yīng) 力σoy=1.365 GPa；鎢彈桿長L0=77.9 mm，密度ρd=17 730 kg/m3，特征強(qiáng)度Yd=1.33 GPa，屈服應(yīng)力σs=1.3 GPa，極限應(yīng)力σst=1.33 GPa。文獻(xiàn)[10]試驗靶板為6061-T6511鋁合金制成(ρ=2710 kg/m3，E=68.9 GPa，Ep=46 MPa，υ=1/3，σoy=365 MPa)；4340鋼彈桿長L0=71.1 mm，ρd=7830 kg/m3，σs=1.14 GPa，Yd=σs=1.17 GPa。其他材料參數(shù)、試驗值和理論計算值匯總見表1所示。

表1 侵徹計算結(jié)果匯總Table 1 Summary of calculation results for penetration

圖2為當(dāng)b=0.6時本文公式與文獻(xiàn)[9]試驗結(jié)果、文獻(xiàn)公式[9,11]的對比曲線。計算中根據(jù)膨脹體所經(jīng)歷階段分情況運(yùn)用MATLAB編程計算侵徹阻力及深度。由圖2可知：本文公式結(jié)果、文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[9]公式結(jié)果分別和試驗結(jié)果對比的平均相對誤差為2.00%、5.47%和8.27%；當(dāng)rt/rd=4.9時，本文結(jié)果的最大誤差為7.36%，文獻(xiàn)[11]的最大誤差為10.26%，文獻(xiàn)[9]的最大誤差可達(dá)20%以上，本文結(jié)果與試驗吻合的最好。

圖2 侵徹深度對比Fig.2 Comparison of penetration depth

圖3為當(dāng)b=0.4時本文公式與文獻(xiàn)[10]試驗結(jié)果的對比，兩者平均相對誤差為3.25%，吻合較好。

圖3 侵徹深度對比Fig.3 Comparison of penetration depth

圖4為基于文獻(xiàn)[9]試驗參數(shù)的理想彈塑性靶材和線性硬化靶材侵深的比較，當(dāng)rtr˙c/c≤rcf

圖4 不同靶材侵徹深度對比Fig.4 Comparison of penetration depth for different targets

表2為根據(jù)本文式(18)、文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[9]公式計算阻力Rt。當(dāng)rt→∞時，后兩者Rt=4.41 GPa，本文公式結(jié)果Rt=4.64 GPa，即當(dāng)本文結(jié)論應(yīng)用于半無限金屬靶體時，靶體抗侵徹能力提高了5%。將本文公式應(yīng)用于文獻(xiàn)[10]可得Rt→R∞=1.25 GPa。

表2 不同靶彈半徑比時的侵徹阻力計算值Table 2 Penetration resistance of projectiles with different ratios of target radius to projectile radius

4.2 強(qiáng)度參數(shù)的影響

圖5和圖6為b不同時，Rt、Dmax與靶彈半徑比rt/rd的關(guān)系曲線。由圖可知：強(qiáng)度參數(shù)b對Rt和Dmax均有較大影響，b值越大，中間主應(yīng)力效應(yīng)越明顯，Rt越大，Dmax越小。即考慮中間主應(yīng)力的影響，可以更加客觀的表現(xiàn)材料的強(qiáng)度潛能，使構(gòu)件發(fā)揮自身抗侵徹能力，侵徹計算中不宜忽略。

圖5 不同b值時侵徹阻力對比Fig.5 Comparison of penetration resistance with different b

圖6 不同b值時侵徹深度對比Fig.6 Comparison of penetration depth with different b

不同的材料，b值各不相同，同時b還是選用不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的參數(shù)，當(dāng)其取不同值時，統(tǒng)一強(qiáng)度理論退化為不同的強(qiáng)度準(zhǔn)則，由此所得的結(jié)果差別很大，對于金屬類材料，采用Tresca屈服準(zhǔn)則(b=0)與采用雙剪屈服準(zhǔn)則(b=1)相比，所得侵徹阻力最大可減小33.33%，侵深最大可增加15.93%。由此說明強(qiáng)度準(zhǔn)則的選用對侵徹終點效應(yīng)的預(yù)測也具有重要作用，實際應(yīng)用中應(yīng)選擇合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則進(jìn)行計算，從而更好地合理設(shè)計和節(jié)約材料。例如本文通過計算，對鋼靶取b=0.6時所得結(jié)果與試驗結(jié)果最為吻合，此結(jié)果也代表了基于一種新的、針對此靶材更加合適的強(qiáng)度準(zhǔn)則的解；若為其它靶材(如鋁合金靶材)，可取得適合自身的b值進(jìn)行計算(本文通過計算取b=0.4，與文獻(xiàn)[13]一致)。

本文計算方法可以得到一系列解析解，文獻(xiàn)[11]所得結(jié)果(Mises屈服準(zhǔn)則結(jié)果)為本文Ep=0、b=0.366 時 的特例(只適合τs=0.577σs的材料)；繼而得到某一特定工況下彈體侵深的上限值和下限值，有效預(yù)測侵徹深度的范圍，表3為不同靶彈半徑比時金屬類靶材侵深的預(yù)測區(qū)間。

表3 不同靶彈半徑比時彈體侵深預(yù)測區(qū)間Table 3 Penetration depth ranges for projectiles with different ratios of target radius to projectile radius

4.3 靶體半徑的影響

圖7為基于文獻(xiàn)[9]試驗數(shù)據(jù)，取Ep=46 MPa時靶彈半徑比rt/rd對侵徹深度Dmax和侵徹阻力Rt的影響曲線，由圖可知：隨著rt/rd的減小，Rt不斷減小，Dmax不斷增大；當(dāng)rt/rd<20，Rt/R∞隨著rt/rd的減小急劇減小，Dmax迅速增大，rt/rd=4.9與rt/rd=19.88相比，Rt減小了41.30%，Dmax增長了32.61%，此時靶體自由邊界對侵徹性能的影響顯著，不能繼續(xù)按半無限靶體進(jìn)行計算；當(dāng)rt/rd≥20時，Rt/R∞>0.93，隨著rt/rd的增大Dmax減小的速度緩慢，rt/rd=77.66與rt/rd=19.83相比，Dmax只減小了4.19%；當(dāng)rt/rd≥30時，Rt/R∞>0.97，Dmax相比Rt→R∞時僅增大1.9%。這是由于彈體侵徹靶體的瞬間產(chǎn)生沖擊波，該沖擊波與靶體產(chǎn)生相互作用，改變波所穿過的靶體介質(zhì)的材料特性，當(dāng)沖擊波碰上靶體側(cè)面自由邊界時，波中的部分能量將被反射回靶體，出現(xiàn)一定范圍的靶材破壞響應(yīng)區(qū)，在一定程度上削弱靶體抗侵徹能力；從空腔膨脹理論角度分析，當(dāng)靶體塑性區(qū)域到達(dá)側(cè)面邊界，邊界會向外膨脹，靶體提供的阻力將會變小，彈體所能達(dá)到的侵徹深度則變大。

圖7 侵徹阻力、侵徹深度與靶彈半徑比的關(guān)系Fig.7 Relationships among Rt, Dmax and rt/rd.

4.4 撞擊速度的影響

圖8為rt/rd不同時，最終侵深Dmax與撞擊速度v0的關(guān)系曲線，由圖可以看出：v0越大，Dmax越大，當(dāng)v0≤700 m/s時，Dmax隨著v0的增大增長緩慢，而當(dāng)v0>700 m/s時，Dmax隨著v0的增大顯著增長。同時，當(dāng)v0越小，隨著rt/rd的減小，Dmax的增長幅度越大，甚至成倍增長，例如當(dāng)v0=700 m/s時，rt/rd=6.25與rt/rd=19.88相比，Dmax增長了2.04倍。

圖8 侵徹深度與彈體撞擊速度的關(guān)系Fig.8 Relationship between penetration depth and impact velocity

5 結(jié)論

本文采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，研究了較高速長桿彈侵徹有限直徑金屬厚靶的機(jī)理和計算模型，并討論了彈道終點效應(yīng)的影響因素。主要結(jié)論如下：

(1) 采用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，建立長桿彈高速侵徹線性硬化有限直徑金屬厚靶的侵徹阻力和深度計算模型，對半無限金屬靶體同樣適用。將計算結(jié)果與試驗、文獻(xiàn)公式結(jié)果對比，本文結(jié)果精確度更高。

(2) 本文方法可以得到一系列基于不同強(qiáng)度準(zhǔn)則的解析解，文獻(xiàn)[11]結(jié)果僅為本文的一個特例。強(qiáng)度參數(shù)b對計算結(jié)果影響很大，即考慮中間主應(yīng)力效應(yīng)，可以更加客觀的表現(xiàn)出材料的強(qiáng)度潛能。

(3) 彈體撞擊速度v0和靶彈半徑比rt/rd對侵徹結(jié)果的影響較大。rt/rd=4.9與rt/rd=19.88相比，Rt減小41.30%，Dmax增長32.61%，表明當(dāng)rt/rd<20時，靶體自由邊界對侵徹性能的影響顯著，不能繼續(xù)按半無限靶體進(jìn)行計算。