羅 京，郭中華

(蘭州城市學(xué)院 物理系，甘肅 蘭州 730070 )

聲速的測量在聲學(xué)檢測、超聲應(yīng)用研究方面非常重要，也是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一項(xiàng)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn). 在實(shí)驗(yàn)室條件下，聲速的測量方法主要有駐波法和相位比較法，通常采用信號(hào)發(fā)生器、示波器、壓電陶瓷換能器等實(shí)驗(yàn)儀器，計(jì)算聲波的波長、頻率進(jìn)而得到聲速[1-3]. 駐波法是基于駐波的形成原理，易于理解、便于測量，但實(shí)際測量中存在多級(jí)反射波的疊加；相比之下相位比較法利用入射端與接收端波在介質(zhì)中傳播的相位差形成李薩如圖形來測量，結(jié)果較為準(zhǔn)確，但相位的測量易受介質(zhì)性質(zhì)的影響.

這兩種方法中，駐波法利用了聲波遇到硬邊界反射與入射波疊加而形成駐波的原理，相關(guān)的實(shí)驗(yàn)理論及討論較多[4-6]. 而對(duì)于軟邊界，亦存在反射波，頻率滿足一定條件也可與入射波疊加形成駐波，并可依此來測量聲速，但其實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)較少，文獻(xiàn)中對(duì)其理論的分析不夠完整. 此外，空氣中的聲速是和溫度有關(guān)的，聲速隨溫度的變化規(guī)律在一些實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中也有效的實(shí)現(xiàn)了控制. 比如買買提等利用空調(diào)改變室內(nèi)溫度[7]，馮升同、郭立群等利用單片機(jī)內(nèi)的高速輸入電路外接電阻絲加熱石英玻璃管等相關(guān)元件改變管內(nèi)空氣的溫度[8,9]，但這些方法存在實(shí)驗(yàn)時(shí)間較長、易受實(shí)驗(yàn)條件限制及有一定危險(xiǎn)性等問題.

由于突如其來的疫情影響，線上教學(xué)普及開來，教育部及時(shí)針對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程提出了指導(dǎo)性方案[10]. 設(shè)計(jì)在非實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下能完成的簡易物理實(shí)驗(yàn)，豐富在線教學(xué)實(shí)踐，讓更多人獲得居家自主學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，這不僅對(duì)于某些特殊時(shí)期的線上教育有重大意義，更為自然科學(xué)知識(shí)的普及和推廣提供了良好的平臺(tái). 在駐波法測量聲速的基礎(chǔ)上，本文分析了兩端開口管中駐波的實(shí)現(xiàn)原理，并借助生活中一些常見的器材，如智能手機(jī),實(shí)現(xiàn)聲波的發(fā)射和頻率的測量，電阻絲加熱薄不銹鋼管來改變管中溫度，研究空氣中聲速隨溫度的變化規(guī)律. 這種簡易裝置實(shí)現(xiàn)方便、現(xiàn)象直觀，重在理解物理現(xiàn)象背后的理論，契合居家物理實(shí)驗(yàn)的自主學(xué)習(xí)目標(biāo)，并對(duì)培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)很有助益.

1 駐波法測量聲速的基本原理

圖1為兩端開口管中聲波傳播示意圖，聲波從管的一端傳播到另一端時(shí)，管的截面發(fā)生突變，使聲波傳播過程中的邊界條件發(fā)生變化，可引起聲波的反射而形成駐波[11]. 選取一段有限長、截面均勻的直管，長度L=40 cm，管口直徑d=2.5 cm，在傳入管中聲音的頻率范圍內(nèi)，聲波的波長遠(yuǎn)大于管的口徑，因此管中聲波可視為平面波.設(shè)一列平面聲波傳播到兩種分界面處，其入射波和反射波的形式為

圖1 管中聲波傳播示意圖

pi=pi0exp[i(2πνt-kx)],

pr=pr0exp[i(2πνt+kx)]

(1)

根據(jù)聲波的疊加原理，合成聲場聲壓為

p=pi+pr=2pr0coskxei2πνt+[pi0-pr0]ei(2πκt-kx)

(2)

在管的末端，聲壓遇到截面的突變，其聲場復(fù)雜，傳播介質(zhì)受到壓力影響會(huì)對(duì)聲波的傳播產(chǎn)生阻礙，稱為阻抗.在分界面處反射和透射的大小就取決于介質(zhì)的特性阻抗z=ρu，ρ為介質(zhì)密度，u為介質(zhì)中聲速.如圖2所示，管口處界面發(fā)生變化，S1和S2分別為管口兩側(cè)的截面積，設(shè)界面聲壓反射系數(shù)為

圖2 管口處截面的變化

(3)

根據(jù)管中合成聲壓可求得管中介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)速度，并可進(jìn)一步得到管中的聲阻抗[11]，由此獲得長度為L的有限長管中輸出聲阻抗為

(4)

z(0)為輸入端的聲阻抗.聲波從入口端向右傳播進(jìn)入開口端時(shí)與大氣耦合，大氣輻射聲阻抗會(huì)使一部分聲波返回.由于管的孔徑較小，在聲音輸出端聲阻抗約為零，則由式(4)得到

(5)

(6)

當(dāng)n=1,2,3,…時(shí)，分別對(duì)應(yīng)管中基頻和各階諧頻.因此，從式(6)測得同一開管中產(chǎn)生駐波的相鄰兩聲波的頻率差，就可求出聲速u，即

u=2L(νn+1-νn)

(7)

利用式(7)，只需要測量開管的長度和相鄰本征振動(dòng)的頻率值，就可以計(jì)算出聲波在空氣中的傳播速度.

嚴(yán)格來說，聲速的大小與傳播介質(zhì)有關(guān)，既與介質(zhì)的本身屬性(密度、模量)有關(guān)，又與外部狀態(tài)量(溫度、壓強(qiáng))有關(guān).而對(duì)于干燥空氣介質(zhì)來說，影響聲波傳播速度的主要因素為溫度，Colwell等在實(shí)驗(yàn)室條件下測量了不同距離的聲速，發(fā)現(xiàn)聲速隨溫度變化的關(guān)系式均遵循[12]

(8)

式中T0=273.15 K，u0=331.45 m/s，為溫度t=0 ℃時(shí)的聲速.

2 空氣中不同溫度下聲速的測量

2.1 聲波的產(chǎn)生及頻率的測量

聲波的產(chǎn)生借助智能手機(jī)APP來實(shí)現(xiàn)，其中的Impulse軟件較為好用，其界面易操作，可以設(shè)置起止頻率及頻率持續(xù)時(shí)間，在設(shè)定時(shí)間內(nèi)發(fā)出隨時(shí)間均勻變化的聲音信號(hào). 本文中頻率的測量采用Spectral Pro Analyzer軟件，其優(yōu)點(diǎn)是可以直觀的看到頻率變化的曲線特征，同時(shí)直接用顏色區(qū)分不同的聲強(qiáng)，頻率間隔、更新速度等參量可以進(jìn)行簡單設(shè)置.

2.2 溫度條件的形成

實(shí)驗(yàn)中選取一段薄不銹鋼鋼管，在外表面均勻地纏繞溫控電加熱帶. 設(shè)定溫控儀為指定溫度，電熱帶發(fā)熱之后，將熱量傳遞到管中，待穩(wěn)定平衡后，將溫度傳感器的探頭伸入到管中心部，這樣就可以對(duì)管中的溫度實(shí)現(xiàn)控制. 由于采用的是開口管，管兩端與外界存在一定熱交換，這使得管兩端的溫度低于中心的溫度. 選取20～60 ℃這個(gè)溫度范圍，沿著管長測量管中不同區(qū)域的溫度，所得結(jié)果如圖3所示.

從圖3可以看出，在室溫(20 ℃)條件下，管中溫度沿著管長變化很小，隨著溫度值的升高，管中部區(qū)域溫度幾乎沒什么變化，而管的兩端由于溫度升高與外界熱交換更加劇烈，導(dǎo)致實(shí)際溫度值降低.管長L=40 cm，中部10～30 cm區(qū)域能保持恒溫條件.

圖3 管中不同位置的溫度變化

2.3 測量結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示，采用兩部手機(jī)，一部作為聲音發(fā)射器，另一部接收頻率，利用手機(jī)支架將兩部智能手機(jī)固定在兩側(cè)，將直管水平固定在桌面上，使其在豎直方向上高度可調(diào)，將溫度探頭伸入到管的內(nèi)部中心位置，進(jìn)行溫度的測量.

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置圖

接通溫控儀和電加熱帶的開關(guān)，設(shè)定溫控儀的控制溫度，待溫度穩(wěn)定后，記錄此時(shí)溫度讀數(shù).實(shí)驗(yàn)時(shí)，一部手機(jī)發(fā)出的聲波傳播到管的另一端，被另一部手機(jī)接收，在其屏幕上顯示出聲音信號(hào)的頻譜，手機(jī)停止發(fā)出聲波后，將整個(gè)過程的頻率圖像截屏保存.改變溫控儀的設(shè)定溫度，待溫度穩(wěn)定以后，重復(fù)上述步驟，即可以得到不同溫度所對(duì)應(yīng)的波譜圖.

在Impluse軟件中設(shè)置起止頻率為300～3 500 Hz, 持續(xù)時(shí)間為10 s. 對(duì)比沒有管時(shí)直接測量的聲音信號(hào)波譜圖[見圖5(a)]和放置管時(shí)的波譜圖[見圖5(b)]，可以看到在圖5(a)中有兩條線，任意時(shí)刻有很接近的兩個(gè)頻率值，這可理解為手機(jī)內(nèi)置傳感器采集聲音的振動(dòng)信號(hào)時(shí)，外部聲音信號(hào)也會(huì)同時(shí)引發(fā)主板的周期性振動(dòng)，內(nèi)置傳感器感知到這些振動(dòng)[13]，轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，再由軟件預(yù)置算法顯示出對(duì)應(yīng)的頻率，因此有兩個(gè)很接近的振動(dòng)頻率. 當(dāng)聲音通過管中傳播時(shí)，圖5(b)中可看到這兩條線周期性的相交，由于波譜圖反映的是聲音頻率的變化，這時(shí)不能簡單將之與駐波的波形圖相對(duì)應(yīng)，出現(xiàn)這種周期性的變化可理解為在頻率滿足一定條件時(shí)，管中聲波形成駐波，管口處為速度波腹，聲壓波節(jié)，這時(shí)手機(jī)傳感器受到空氣擾動(dòng)的速度發(fā)生改變，頻率也相應(yīng)發(fā)生變化. 因此，測量圖5(b)中交點(diǎn)處的頻率值，可對(duì)應(yīng)式(6)中的頻率結(jié)果.

圖5 波譜圖(t=20 ℃)

為了精確讀取頻率數(shù)值，借助Gsview程序，利用比例尺原理讀取出相應(yīng)數(shù)據(jù)，并用逐差法計(jì)算相鄰頻率差的平均值，從而利用式(7)計(jì)算得不同溫度下的聲速實(shí)驗(yàn)值，數(shù)據(jù)如表1所示.將表1中的實(shí)驗(yàn)值和利用式(8)計(jì)算得到的理論值進(jìn)行比較，可得到不同溫度下的相對(duì)誤差，如表2所示. 為了直觀的比較，將表1和表2中數(shù)據(jù)反映的聲速隨溫度變化的規(guī)律以及實(shí)驗(yàn)值和理論值的相對(duì)誤差結(jié)果做圖，如圖6所示.

表1 不同溫度下的聲速

表2 不同溫度下測量值的相對(duì)誤差

圖6 聲速隨溫度的變化及誤差

從圖6可以看出，聲速的實(shí)驗(yàn)值比理論值偏小，隨著溫度的升高，實(shí)驗(yàn)值和理論值的差別越來越大，在測量范圍內(nèi)，所有相對(duì)誤差不超過2%，其中溫度40 ℃以下相對(duì)誤差在1%以內(nèi)，超過40 ℃則相對(duì)誤差大于1%. 這是因?yàn)楫?dāng)溫度越高時(shí)，管內(nèi)溫度與外界環(huán)境溫差過大，熱交換越發(fā)明顯，管口處實(shí)際溫度較理論溫度值低，因而計(jì)算結(jié)果偏低.

本實(shí)驗(yàn)影響結(jié)果精確度的因素主要有兩點(diǎn)：一是管口處溫度與實(shí)際溫度值相比較低，溫度越高，偏低的數(shù)值越大，在60 ℃時(shí)可達(dá)到5 ℃，這對(duì)溫度較高時(shí)測量結(jié)果的相對(duì)誤差影響較大；二是波譜圖的讀數(shù)，測量環(huán)境越是安靜，背景噪音越小，所得波譜圖效果越明顯，利用GSview讀數(shù)越準(zhǔn)確. 此外，本實(shí)驗(yàn)忽略了管口長度的校正、熱脹冷縮導(dǎo)致的管的微小形變等因素產(chǎn)生的影響，在以后的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中可進(jìn)一步改進(jìn)，但從實(shí)驗(yàn)結(jié)果上來看，隨著溫度的上升，空氣中的聲速不斷增大，兩者呈線性關(guān)系，這與聲波傳播速度理論相一致，且理論值和實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差控制在2%以內(nèi)，本實(shí)驗(yàn)方案具有一定的可行性.

3 結(jié)論

綜上所述，本文根據(jù)管道中駐波的形成原理來測量不同溫度條件下空氣中的聲速，測量結(jié)果較為準(zhǔn)確，相對(duì)誤差不超過2%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明利用智能手機(jī)軟件可實(shí)現(xiàn)聲速的準(zhǔn)確測量. 這種方法不僅有利于對(duì)生活中聲學(xué)知識(shí)的理論學(xué)習(xí)，還可以解決離開實(shí)驗(yàn)室環(huán)境難以測量聲速的問題，是對(duì)傳統(tǒng)物理實(shí)驗(yàn)方法的改進(jìn). 本實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)基于生活中的實(shí)驗(yàn)器材，并不以精確測量為主要目的，更側(cè)重于學(xué)習(xí)者對(duì)理論知識(shí)的掌握、實(shí)踐動(dòng)手技能和數(shù)據(jù)處理能力的初步訓(xùn)練，這對(duì)于提升學(xué)習(xí)者的理論知識(shí)學(xué)習(xí)能力和實(shí)驗(yàn)素養(yǎng)具有很大的益處.