高思杰

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

關(guān)于一維定態(tài)薛定諤方程有一個大家熟知的定理：一維粒子在規(guī)則勢場V(x)中運動，如果存在束縛態(tài)，則能級必定是不簡并的.這里規(guī)則勢場指勢函數(shù)V(x)處處不發(fā)散.關(guān)于此定理在一維對稱有限雙方勢阱的應用，可參考《大學物理》刊出的相關(guān)討論[1,2].下面是一些國內(nèi)外教科書中給出的證明[3-6].

假設ψ1和ψ2滿足一維定態(tài)薛定諤方程，且本征值都是E，即

(1)

(2)

將式(1)乘ψ2，與式(2)乘ψ1相減可得

ψ″1ψ2-ψ″2ψ1=0

可化為

由此可得

ψ′1ψ2-ψ′2ψ1=c

(3)

其中c為常量.

由束縛態(tài)無窮遠邊條件可得c=0，即

ψ′1ψ2-ψ′2ψ1=0

(4)

上式兩邊除以ψ1ψ2，可得

(5)

即

(lnψ1)′=(lnψ2)′

其解為

ψ1=Cψ2

(6)

其中C為常數(shù)，由此可知束縛態(tài)能級是不簡并的.

以上是一般教材中給出的證明.注意到證明中需要將式(4)兩邊除以ψ1ψ2得到式(5)，這在波函數(shù)沒有節(jié)點(即函數(shù)值為零的點)時總是成立的.但如果存在節(jié)點(例如一維方勢阱及一維諧振子的定態(tài)波函數(shù))，那么以上推導只對不包含節(jié)點的各區(qū)間成立.我們先考慮只有一個節(jié)點ψ2(x0)=0的情況，顯然式(6)對節(jié)點兩邊分別成立，但對應的常數(shù)可能不同，即(參見圖1)

圖1

(7)

由式(7)及波函數(shù)的連續(xù)性可知，ψ2的節(jié)點也必然是ψ1的節(jié)點.如果常數(shù)C-≠C+，則波函數(shù)是簡并的.下面我們證明這兩個常數(shù)一定相等.將式(7)求導，得

(8)

首先由于勢函數(shù)處處不發(fā)散，可知波函數(shù)的導數(shù)連續(xù)[3]，即

(9)

ψ(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…

假設波函數(shù)在節(jié)點處的導數(shù)為零，即ψ(0)=ψ′(0)=0，可知a0=a1=0，所以有

ψ(x)=a2x2+a3x3+…,

ψ″(x)=2a2+6a3x+…

代入定態(tài)薛定諤方程，有

由于V(x0)不發(fā)散，所以上式中E-V(x)不會降低方程右邊x的冪次.上式成立的條件是對應x冪次的系數(shù)相等.易見零次冪給出a2=0，進而一次冪給出a3=0.可遞推得到所有系數(shù)均為零，即波函數(shù)處處為零，只能是平庸解.因此我們證明了波函數(shù)的導數(shù)在節(jié)點處不能為零，即證明了C-=C+，所以能級不簡并.

最后，如果波函數(shù)存在兩個以上的節(jié)點，由以上推導可知式(6)對任意兩個節(jié)點之間的區(qū)間都成立，而相鄰兩個區(qū)間的常數(shù)必相等，由此可知式(6)對所有x成立.因此，我們可以得出結(jié)論：一維束縛態(tài)無簡并定理對波函數(shù)存在節(jié)點的情況仍然成立.