【摘 要】 運(yùn)用“三看”分析法解決三角函數(shù)恒等變換和求值問題;類比y=sinx的圖象和性質(zhì)研究y=Asin（ωx+φ）圖象和性質(zhì)問題;根據(jù)所涉及邊、角或式子結(jié)構(gòu)特征，合理選擇正、余弦定理解決三角形邊角關(guān)系和面積問題.

【關(guān)鍵詞】 三角函數(shù);高考復(fù)習(xí);備考指導(dǎo)

高考對(duì)三角函數(shù)的考查主要體現(xiàn)在四個(gè)方面：利用數(shù)形結(jié)合考查，通過圖形分析、研究、總結(jié)三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象特點(diǎn);利用三角公式考查，創(chuàng)設(shè)試題情境，靈活運(yùn)用公式，解決問題;利用真實(shí)情境考查解三角形內(nèi)容，體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性作用;體現(xiàn)思維深度，考查創(chuàng)新意識(shí)[1].

高考三角函數(shù)考查題型有單選題、多選題、填空題、解答題、開放題、結(jié)構(gòu)不良試題等.選擇題、填空題往往以三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、和差倍角公式、降冪擴(kuò)角公式、asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ）等為基點(diǎn)，考查三角函數(shù)的恒等變換和求值問題;以三角函數(shù)圖象為載體，考查三角函數(shù)的解析式、周期性、單調(diào)性、對(duì)稱性、最值等性質(zhì).解答題常以平面幾何圖形為依托，運(yùn)用正、余弦定理解決三角形邊角關(guān)系和面積等問題;也可能把三角函數(shù)與向量、平面幾何、解析幾何、立體幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等問題進(jìn)行融合考查.2022年高考三角復(fù)習(xí)要把握好以下幾個(gè)問題.

1 三角函數(shù)恒等變換和求值

三角函數(shù)恒等變換和求值問題可采取“三看”分析法，即“看角、看函數(shù)、看式子特征”后選擇相應(yīng)的三角公式進(jìn)行變換.看角就是看已知角和所求角、條件角和目標(biāo)角之間有何關(guān)系;看函數(shù)就是看條件中三角函數(shù)和目標(biāo)中三角函數(shù)之間的關(guān)系，涉及正切的常切化弦;看式子特征就是看已知條件與待求式子之間的聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)娜枪?，將已知式與待求式化異為同.要強(qiáng)化三角函數(shù)公式的記憶，關(guān)注公式的正用、逆用與公式的變形，以提高三角函數(shù)求值和三角恒等變換問題的解題能力.

例1 若α∈0，π2，tan2α=cosα2-sinα，求tanα.

提示：觀察tan2α=cosα2-sinα，左邊角為右邊角的2倍，故左邊要用二倍角公式;左邊為正切函數(shù)，右邊為正余弦函數(shù)，故左邊要切化弦;右邊分子為cosα，為消去cosα，左邊應(yīng)先切化弦后用二倍角公式，即tan2α=sin2αcos2α，右邊消去cosα后只含sinα，故左邊分母選擇cos2α=1-2sin2α.tan2α=cosα2-sinα化為sin2αcos2α=2sinα·cosα1-2sin2α=cosα2-sinα，得sinα=14，由α范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系式得tanα=1515.

模擬練習(xí)單項(xiàng)選擇題

1.若sinπ6-α=13，則

cos2π3+2α=（? ）.

A.-79? B.-13

C.13? D.79

2.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點(diǎn)P（1，-3），則

cos2θ+cos2θ+π4=（? ）.

A.0?? B.25?? C.35

D.45答案：1.A 2.A

2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）（A>0，ω>0，以下同）的圖象和性質(zhì)問題，完全類比y=sinx和y=cosx的圖象和性質(zhì)解決.

（1）零點(diǎn)

若x0為y=Asin（ωx+φ）的零點(diǎn)，則ωx0+φ=kπ（k∈Z，以下同）.若x0為y=Asin（ωx+φ）圖象上升時(shí)的零點(diǎn)，則ωx0+φ=2kπ，若x0為y=Asin（ωx+φ）圖象下降時(shí)的零點(diǎn)，則ωx0+φ=2kπ+π.若x0為y=Acos（ωx+φ）的零點(diǎn)，則ωx0+φ=kπ+π2.若x0為y=Acos（ωx+φ）圖象上升時(shí)的零點(diǎn)，則ωx0+φ=2kπ-π2，若x0為y=Acos（ωx+φ）圖象下降時(shí)的零點(diǎn)，則ωx0+φ=2kπ+π2.

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上無零點(diǎn)，則[a，b]介在兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之間;

若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至多有2個(gè)零點(diǎn)，則b-a<2πω;若y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在x∈[a，b]上至少有2個(gè)零點(diǎn)，則b-a≥2πω.

（2）單調(diào)性

若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上單調(diào)（或無極值點(diǎn)），則[a，b]介在兩條相鄰的對(duì)稱軸之間.b-a≤T2是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））在[a，b]上單調(diào)的必要非充分條件.

（3）對(duì)稱軸

若x=x0為y=Asin（ωx+φ）的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=kπ+π2.若x=x0為y=Asin（ωx+φ）圖象過最大值點(diǎn)的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=2kπ+π2，若x=x0為y=Asin（ωx+φ）圖象過最小值點(diǎn)的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=2kπ-π2.若x=x0為y=Acos（ωx+φ）的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=kπ.若x=x0為y=Acos（ωx+φ）圖象過最大值點(diǎn)的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=2kπ，若x=x0為y=Acos（ωx+φ）圖象過最小值點(diǎn)的對(duì)稱軸，則ωx0+φ=2kπ+π.

（4）解析式

由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））一個(gè)周期內(nèi)兩個(gè)零點(diǎn)或兩條對(duì)稱軸或一個(gè)零點(diǎn)一條對(duì)稱軸可求出周期，進(jìn)而求出ω;或由三角函數(shù)的圖象確定ω范圍.由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（或y=Acos（ωx+φ））圖象上已知點(diǎn)確定φ.

例2 已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，φ∈（0，2π））的一條對(duì)稱軸為x=-π6，且f（x）在π，4π3上無極值點(diǎn)，求ω最大值.

提示：f（x）在π，4π3上無極值點(diǎn)，則π，4π3介在兩條相鄰對(duì)稱軸間，即存在整數(shù)k，

使kπω-π6≤π，（k+1）πω-π6≥4π3，解得67k≤ω≤23（k+1），由ω>0，得23（k+1）>0，又67k≤23（k+1），解得-1<k≤72，k=0，1，2，3.ω最大值為83.

模擬練習(xí)多項(xiàng)選擇題

1.已知函數(shù)f（x）=cosx，函數(shù)g（x）的圖象由函數(shù)f（x）的圖象先向右平移π6個(gè)單位長度，再將所得函數(shù)圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω（ω>0）倍得到，若函數(shù)g（x）在π2，3π2上沒有零點(diǎn)，下列正確的是（? ）.

A.ω最大值為49

B.ω最大值為103

C.g（x）在3π8，π2有唯一一條對(duì)稱軸

D.g（x）在3π8，π2有兩條對(duì)稱軸

2.函數(shù)f（x）=asin2x+bcos2x（a，b為非零常數(shù)），fπ6=0，下列正確的是（? ）.

A.f（x）周期為π

B.fx+π6為奇函數(shù)

C.f（x）在-π12，5π12上單調(diào)遞增

D.f（x）在[0，2022π]上有4044個(gè)零點(diǎn)

3.函數(shù)f（x）=cosωx-π6（ω>0）的一段圖象如圖1，則下列正確的是（? ）.

A.ω=1B.f（x）周期為π

C.f（x）在2π3，13π12上遞增

D.5π6，0為f（x）圖象的對(duì)稱中心

答案：1.AC 2.ABD? 3.BCD

3 正、余弦定理應(yīng)用

在三角形中運(yùn)用正、余弦定理解決問題的關(guān)鍵在于根據(jù)所涉及的邊、角或式子結(jié)構(gòu)特征，合理選擇正、余弦定理和三角形面積公式.涉及兩角一邊或兩邊一角時(shí)常使用正弦定理，已知三邊或一角時(shí)常使用余弦定理.有時(shí)還要注意結(jié)合平面幾何知識(shí)靈活解決問題.

例3 在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（c-2a）cosB+bcosC=0，點(diǎn)D在邊AC上，BD平分∠ABC.

（1）求角B;

（2）若BD=3，求△ABC外接圓面積的最小值.

提示

（1）把已知等式化邊為角后由兩角和正弦公式得B=π3.

（2）如圖2，由三角形面積S△ABD+S△DBC=S△ABC，得a+c=ac，由余弦定理b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（ac）2-3ac，由ac=a+c≥2ac，得ac≥4，故b≥2，2r=bsinB≥43，△ABC外接圓面積最小值為4π3. 也可用正弦定理，在△ABD中，ADsin∠ABD=BDsinA，即AD=32sinA，在△CBD中同理得CD=32sinC.故b=321sinA+1sinC=32·sinA+sinCsinAsinC≥32·sinA+sinCsinA+sinC22=23sinA+sinC=23sinA+sin2π3-A=2332sinA+32cosA=2sinA+π6≥2.

還可用幾何法，如圖3，過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，由DEBC=AEAB，得a+c=ac.如圖4，做DE⊥BC，DF⊥AB，由12AB·DF+12BC·DE=12AB·BC·sin∠ABC，得a+c=ac.

模擬練習(xí)

1.在①cosC+（cosA-3sinA）cosB=0，②cos2B-3cos（A+C）=1，

③bcosC+33csinB=a這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中.

問題 在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若a+c=1，，求角B的值和b的最小值.圖5

2.如圖5，三角形△ABC中，AB=1，BC=[KF（]3[KF）]，以C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角三角形ACD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，求線段BD長度最大值.

3.△ABC中，AC>AB，AB=8，cosA=3132.

（1）若S△ABC=1574，求BC;

（2）若cos（B-C）=18，求AC.

提示：

1.①C=π-（A+B）;②A+C=π-B;③A=π-（B+C）.

2.設(shè)∠ABC=α，∠BCA=β，在△ABC中由余弦定理得AC2=4-23cosα，在△BCD中由余弦定理得BD2=7-23cosα+23CDsinβ，在△ABC中由正弦定理得ACsinβ=sinα，即CDsinβ=sinα，從而BD2=7+26sinα-π4，BD≤6+1.

3.在AC邊上取點(diǎn)D，使∠CBD=∠C.

4 三角函數(shù)與其他知識(shí)的融合

將三角函數(shù)與向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行融合考查.如導(dǎo)數(shù)與函數(shù)壓軸題，所給函數(shù)往年多數(shù)是一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的組合，融入三角函數(shù)也是高考考查的方向.例4 求證函數(shù)f（x）=12x-sinx+e-x在（0，2π）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）+f（x2）>π-12.

提示：f′（x）=12-cosx-e-x，f（x）極值點(diǎn)為f′（x）零點(diǎn).

當(dāng)x∈0，π2時(shí)，f′（x）遞增，f′π4<0，f′π2>0，f′（x）在0，π2上有唯一零點(diǎn)x1，且x1∈π4，π2.當(dāng)x∈π2，3π2時(shí)，f′（x）>0，f′（x）無零點(diǎn).當(dāng)x∈3π2，2π時(shí)，可證f′（x）有唯一零點(diǎn)x2，且x2∈3π2，7π4.

由12-cosx1=e-x1，

12-cosx2=e-x2，可得cosx1<cosx2=cos（2π-x2），得x1>2π-x2，即x1+x2>2π.

故f（x1）+f（x2）=12（x1+x2）-2sinx1+π4-2sinx2+π4+1>π-2+1>π-12.

參考文獻(xiàn)

[1] 陳昂，任子朝，趙軒.高考中三角函數(shù)內(nèi)容考查研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2018（10）：4447.

作者簡介 黃如炎（1964—），男，福建閩清人，中學(xué)正高級(jí)教師，特級(jí)教師;發(fā)表論文90多篇.