劉鵬飛 朱凌云 茍向鋒 石建飛 金國(guó)光

(天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,天津 300387)

引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的傳動(dòng)裝置之一.實(shí)際加工中,不可避免地產(chǎn)生齒距偏差,導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)工作中出現(xiàn)線外嚙合[1];設(shè)計(jì)時(shí)預(yù)留齒側(cè)間隙[2],易引發(fā)輪齒脫嚙與齒背接觸.輪齒磨損或破損會(huì)出現(xiàn)裂紋[3].因此,齒距偏差、齒側(cè)間隙與輪齒裂紋等因素影響齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,進(jìn)而影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性.

齒距偏差作為齒輪系統(tǒng)中最基本的誤差,受到眾多學(xué)者的關(guān)注[4-10],其導(dǎo)致齒輪出現(xiàn)線外嚙合狀態(tài).Yu和Mechefske[5]建立了齒輪線外嚙合模型,分析了線外嚙合對(duì)齒輪傳動(dòng)的影響.周長(zhǎng)江等[6]和Zhou 等[7]建立了線外嚙合沖擊模型,為計(jì)及齒距偏差的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模及計(jì)算提供了理論基礎(chǔ).石照耀等[8]考慮誤差激勵(lì)建立了基于齒輪副整體誤差的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.王奇斌等[9]建立了考慮齒距偏差的嚙合剛度模型及齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,分析了齒距偏差對(duì)齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)特性的影響.短周期誤差是以輪齒的一個(gè)齒距角為度量范圍,在齒輪回轉(zhuǎn)一周中出現(xiàn)z(z為齒數(shù))次的一類誤差,引發(fā)系統(tǒng)的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng),進(jìn)而影響齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性[10],其引起齒輪系統(tǒng)的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)的原因及分析方法亟待研究.

齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型是分析短周期誤差對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性影響的基本保證.齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為強(qiáng)時(shí)變非線性系統(tǒng),目前的齒輪系統(tǒng)模型中已考慮眾多時(shí)變參量.Yi 等[11]建立了考慮時(shí)變壓力角的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.Chen 等[12]提出了考慮由相鄰輪齒齒廓偏差與輪齒修形所產(chǎn)生耦合效應(yīng)的齒輪傳動(dòng)改進(jìn)動(dòng)力學(xué)模型.Moradi和Salarieh[13]建立考慮時(shí)變側(cè)隙的齒輪副動(dòng)力學(xué)模型.Shi 等[14]建立了含齒側(cè)間隙與時(shí)變參量的多狀態(tài)嚙合直齒輪副動(dòng)力學(xué)模型,分析了齒輪副的單雙齒交替嚙合、齒面嚙合、脫嚙及齒背接觸狀態(tài)時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性.基于以上理論基礎(chǔ),Liu 等[10]建立了含齒距偏差的直齒輪副時(shí)變重合度模型,并提出計(jì)及齒距偏差與時(shí)變參量的多狀態(tài)嚙合直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型,為研究齒距偏差對(duì)齒輪副的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)的影響提供模型基礎(chǔ).

非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性研究有助于判斷其工作狀態(tài)與穩(wěn)定性[15-16].齒輪系統(tǒng)的平穩(wěn)性決定了機(jī)械系統(tǒng)工作的安全性,考慮眾多實(shí)際因素的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性受到廣泛研究[17-19].馬銳和陳予恕[20]進(jìn)行了含裂紋故障齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的理論與實(shí)驗(yàn)研究.郜志英等[21]研究了強(qiáng)非線性齒輪系統(tǒng)的倍周期分岔.Farshidianfar和Saghafi[22]分析了齒輪非線性系統(tǒng)的全局分岔與混沌.齒距偏差、輪齒剝落與磨損等現(xiàn)象影響齒輪系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性,引起系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)[10,23-24].Xiang 等[23]研究了考慮輪齒剝落的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,得出了輪齒剝落使系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閺?fù)雜的概周期運(yùn)動(dòng),如圖1 所示.考慮磨損和裂紋的齒輪副均出現(xiàn)復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng),類似的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)也出現(xiàn)在了考慮齒距偏差的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中[10],將其定義為“近周期運(yùn)動(dòng)”,研究其特點(diǎn)及形成機(jī)理.本文的研究方法及結(jié)果可用于分析由輪齒剝落、磨損與裂紋等短周期誤差引起的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng).

圖1 含短周期誤差的齒輪系統(tǒng)的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)[23]Fig.1 Complex periodic motions of gear systems with short-period errors [23]

非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性受參數(shù)與初值的影響較大,其中存在大量的多穩(wěn)態(tài)行為[25-26].分岔導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),Shi 等[27-28]研究了非線性齒輪系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),采用改進(jìn)胞映射法精確計(jì)算出系統(tǒng)的吸引域,并采用多初值分岔圖研究多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程.多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)中的多解共存現(xiàn)象可通過吸引子信息與吸引域揭示[29-32].目前,對(duì)于多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的分析逐漸與工程實(shí)際結(jié)合,工程實(shí)際中的齒輪系統(tǒng)普遍存在齒距偏差等短周期誤差,其對(duì)齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響需深入研究.

本文研究短周期誤差對(duì)齒輪系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的影響;針對(duì)由短周期誤差引起的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng),提出近周期運(yùn)動(dòng)的定義及辨識(shí)方法并分析其辨識(shí)過程;研究含齒距偏差的直齒輪副的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng).引入計(jì)及齒距偏差且含時(shí)變重合度的直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型[10],根據(jù)變步長(zhǎng)4 階Runge-Kutta 法由C 語(yǔ)言程序數(shù)值計(jì)算.含齒距偏差的直齒輪副近周期運(yùn)動(dòng)及多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)通過分岔圖、最大李雅普諾夫指數(shù)譜(TLE)、相圖、Poincaré映射圖、吸引域及分岔樹狀圖進(jìn)行研究.本文所提出的近周期運(yùn)動(dòng)辨識(shí)方法與分析結(jié)果為含短周期誤差的齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)研究提供理論依據(jù).

1 近周期運(yùn)動(dòng)的定義及其辨識(shí)方法

1.1 近周期運(yùn)動(dòng)的定義

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)中,存在一種特殊的復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng),其在長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)的周期數(shù)為n,短時(shí)間尺度內(nèi)的周期為nr,將該類運(yùn)動(dòng)定義為近周期運(yùn)動(dòng),其中n與r為正整數(shù).

文獻(xiàn)[10]在研究考慮齒距偏差的直齒輪副動(dòng)力學(xué)特性時(shí)發(fā)現(xiàn),不考慮齒距偏差時(shí),系統(tǒng)周期2 運(yùn)動(dòng)(圖2(a)中當(dāng)k＞ 0.42 時(shí))的Poincaré映射為兩個(gè)離散的點(diǎn);考慮齒距偏差時(shí)(如圖2(b)所示),系統(tǒng)對(duì)應(yīng)周期2 運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射變?yōu)榱藘纱攸c(diǎn).該類復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)即為近周期運(yùn)動(dòng).

圖2 隨剛度波動(dòng)幅值變化的直齒輪副動(dòng)力學(xué)特性[10]Fig.2 Dynamics characteristics of spur gear pair via stiffness fluctuation amplitude [10]

1.2 近周期運(yùn)動(dòng)的特征

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)具有極強(qiáng)的周期性.不考慮輪齒誤差時(shí),每對(duì)輪齒的動(dòng)力學(xué)特性和嚙合特性是相同的,即其以一對(duì)輪齒嚙入至嚙出為一個(gè)周期,稱為輪齒嚙合周期.若主動(dòng)輪或從動(dòng)輪中僅有一個(gè)存在誤差,則其以存在誤差的主動(dòng)輪或從動(dòng)輪回轉(zhuǎn)一周為周期.若主從動(dòng)輪均含有誤差,則以轉(zhuǎn)過主從動(dòng)輪齒數(shù)組合數(shù)個(gè)齒為周期,即一個(gè)完整輪齒組合周期.齒輪誤差分為長(zhǎng)周期誤差與短周期誤差.短周期誤差為每個(gè)輪齒嚙合周期出現(xiàn)一次的誤差,長(zhǎng)周期誤差對(duì)于單個(gè)齒輪而言,為齒輪回轉(zhuǎn)一周出現(xiàn)的誤差;對(duì)于齒對(duì)而言,為每轉(zhuǎn)過一個(gè)完整輪齒組合周期出現(xiàn)一次的誤差.齒距偏差作為短周期誤差對(duì)齒輪動(dòng)力學(xué)特性具有很大影響.

嚙合輪齒的齒距偏差值每隔一個(gè)嚙合周期變化一次,即為齒輪副動(dòng)力學(xué)特性分析中考察的最小時(shí)間尺度,稱為微觀時(shí)間尺度,即短時(shí)間尺度.不同輪齒嚙合產(chǎn)生的相對(duì)齒距偏差值每隔一個(gè)完整輪齒組合周期變化一次,即為齒輪副動(dòng)力學(xué)特性分析中考察的最大時(shí)間尺度,稱為宏觀時(shí)間尺度,即長(zhǎng)時(shí)間尺度.主動(dòng)輪或從動(dòng)輪回轉(zhuǎn)一周為介觀時(shí)間尺度.通過該方式劃分時(shí)間尺度,可有效分析含短周期誤差齒輪副的近周期運(yùn)動(dòng).

齒輪系統(tǒng)中的短周期誤差如齒距偏差、輪齒剝落、輪齒裂紋及磨損等均會(huì)引起齒輪系統(tǒng)出現(xiàn)近周期運(yùn)動(dòng),其特征主要表現(xiàn)為以下兩點(diǎn).

(1)若不考慮直齒輪副齒距偏差時(shí),系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)數(shù)為n,則考慮直齒輪副齒距偏差時(shí)的近周期運(yùn)動(dòng)數(shù)亦為n,此亦即長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)的周期運(yùn)動(dòng)數(shù),而其在短時(shí)間尺度內(nèi)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期數(shù)為nr.其中,r=kl-q,k為主動(dòng)輪齒距偏差值分組中每組內(nèi)的輪齒數(shù),l為從動(dòng)輪齒距偏差值分組中每組內(nèi)的輪齒數(shù),q為k個(gè)主動(dòng)輪齒距偏差值與l個(gè)從動(dòng)輪齒距偏差值組合后的相同組合值的個(gè)數(shù).zp與zg分別為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的齒數(shù),主從動(dòng)輪的齒距偏差值按正弦規(guī)律分組分布于各輪齒,且k≤zp,l≤zg.每個(gè)長(zhǎng)時(shí)間尺度范圍內(nèi)的短時(shí)間尺度取值周期為zpzg/r.

(2)不考慮齒距偏差的系統(tǒng)在短時(shí)間尺度內(nèi)為穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng),其Poincaré映射為兩個(gè)點(diǎn),如圖2(a)所示;含齒距偏差的系統(tǒng)在短時(shí)間尺度內(nèi)表現(xiàn)為近周期運(yùn)動(dòng),其Poincaré映射由兩個(gè)點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)簇,每個(gè)點(diǎn)簇中的點(diǎn)數(shù)量為r,如圖2(b)所示.當(dāng)考慮短周期誤差時(shí),在長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)考察的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間尺度內(nèi)會(huì)出現(xiàn)變化,長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)的周期n運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間尺度表現(xiàn)為復(fù)雜的周期n運(yùn)動(dòng),其Poincaré映射圖由n個(gè)點(diǎn)變?yōu)閚簇點(diǎn),其相圖由n條相軌跡變?yōu)閚簇相軌跡.

1.3 近周期運(yùn)動(dòng)的辨識(shí)基本原理

為了辨識(shí)系統(tǒng)的近周期運(yùn)動(dòng),定義四類不同時(shí)間尺度的Poincaré映射截面,分析宏觀尺度下與微觀尺度下的系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性.4 類不同時(shí)間尺度的Poincaré映射截面分布為

其中,ω為嚙合頻率,t為時(shí)間.時(shí)間映射截面Γ1為每經(jīng)一個(gè)嚙合周期取一次映射點(diǎn),稱為微觀時(shí)間尺度截面;時(shí)間映射截面Γ2為主動(dòng)輪每回轉(zhuǎn)一周取一次映射點(diǎn);時(shí)間映射截面Γ3為從動(dòng)輪每回轉(zhuǎn)一周取一次映射點(diǎn),Γ2與Γ3為介觀時(shí)間尺度截面;時(shí)間映射截面Γ4為每經(jīng)過一完整輪齒組合周期取一次映射點(diǎn),稱為宏觀時(shí)間尺度截面.

結(jié)合相圖、分岔圖、TLE 譜、吸引域與分岔樹狀圖等方法辨識(shí)近周期運(yùn)動(dòng).由相圖與不同時(shí)間尺度Poincaré映射圖可辨識(shí)系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度下的運(yùn)動(dòng)周期數(shù)及宏觀時(shí)間尺度下的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期數(shù),并判斷系統(tǒng)的相軌跡拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、速度位移變化及輪齒多狀態(tài)嚙合情況;通過分岔圖與TLE 譜判斷系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步辨識(shí)系統(tǒng)在不同時(shí)間尺度下隨參數(shù)變化的近周期運(yùn)動(dòng),并分析系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間尺度與短時(shí)間尺度內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性;由吸引域與分岔樹狀圖得出系統(tǒng)隨參數(shù)變化的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程,結(jié)合分岔圖與TLE 譜辨識(shí)吸引域的實(shí)際周期數(shù)及實(shí)際吸引子數(shù)量.該辨識(shí)方法也可用于分析其他短周期誤差引起的近周期運(yùn)動(dòng).

2 計(jì)及齒距偏差的直齒輪副動(dòng)力學(xué)模型

直齒輪副的簡(jiǎn)化物理模型如圖3 所示.其中,Tp與Tg分別為輸入、輸出轉(zhuǎn)矩,Ip與Ig分別為主從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,Op與Og分別為主從動(dòng)齒輪的中心,θp與θg分別為主從動(dòng)齒輪的角位移,Rbp與Rbg分別為主從動(dòng)齒輪的基圓半徑,k(τ)為時(shí)變嚙合剛度,cg為嚙合阻尼;e(τ)為時(shí)變綜合傳遞誤差,為齒側(cè)間隙半值,μ為摩擦系數(shù).

圖3 齒輪副簡(jiǎn)化物理模型Fig.3 Simplified physical model of gear pair

設(shè)主從動(dòng)齒輪的極限齒距偏差值分別為ΔFpt1與ΔFpt2,則主從動(dòng)齒輪的齒距偏差函數(shù)分別為

其中,Ni∈(1,zi) (i=p,g)為主從動(dòng)齒輪齒距偏差互不相同值的個(gè)數(shù),則任意兩輪齒嚙合時(shí)的相對(duì)齒距偏差值為

其中,為相互嚙合的兩個(gè)輪齒的齒距偏差值疊加所形成的組合值,其可能的取值數(shù)量

式中LCM()為最小公倍數(shù)的計(jì)算函數(shù).齒輪從初始狀態(tài)嚙合,嚙合次數(shù)為N時(shí),完成一個(gè)完整輪齒組合周期,其最大取值為zpzg-1 .

計(jì)及齒距偏差的直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型為

其中,u(t,x)為含齒距偏差直齒輪副嚙合狀態(tài)函數(shù),f(x)為齒側(cè)間隙函數(shù),分別為

3 計(jì)及齒距偏差的直齒輪副近周期運(yùn)動(dòng)

3.1 直齒輪副的近周期運(yùn)動(dòng)辨識(shí)

本節(jié)對(duì)計(jì)及齒距偏差的直齒輪副近周期運(yùn)動(dòng)進(jìn)行辨識(shí).以本實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)臺(tái)中的齒輪副為研究對(duì)象,其參數(shù)如表1 所示.主從動(dòng)輪的極限齒距偏差值分別為ΔFpt1=± 9 μm 與ΔFpt2=± 10 μm,Np=21,Ng=26,a∈[1,21],b∈ [1,26] .主從動(dòng)輪的齒距偏差值如表2與表3 所示.考慮齒距偏差的直齒輪副在Γ1，Γ2，Γ3與Γ4截面下隨剛度波動(dòng)幅值變化的分岔圖與TLE 譜分別如圖2(b)、圖4(a)與圖4(b)所示.Γ1截面下的映射點(diǎn)由藍(lán)色表示;Γ2截面下的映射點(diǎn)由紫色表示;Γ3截面下的映射點(diǎn)由天藍(lán)色表示;Γ4截面下的映射點(diǎn)由紅色表示.

圖4 隨剛度波動(dòng)幅值變化的直齒輪副多時(shí)間尺度分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via stiffness fluctuation amplitude

表1 齒輪參數(shù)Table 1 Parameters of a spur gear pair

表2 主動(dòng)輪齒距偏差值(Np=21)Table 2 Pitch deviation values of the pinion (Np=21)

表3 從動(dòng)輪齒距偏差值(Ng=26)Table 3 Pitch deviation values of the gear (Ng=26)

隨著剛度波動(dòng)幅值的增大,系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)均經(jīng)鞍結(jié)分岔退化為周期運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度(Γ1截面)的分岔圖中,周期運(yùn)動(dòng)的映射點(diǎn)數(shù)量較多,在兩個(gè)區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)點(diǎn)簇,表現(xiàn)為近周期2 運(yùn)動(dòng),如圖2(b)所示.由于短周期誤差的存在,系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)較復(fù)雜,齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性較差.當(dāng)時(shí)間尺度增大時(shí),分岔圖取Γ2截面,近周期2 運(yùn)動(dòng)在Γ2截面下的每個(gè)點(diǎn)簇中的映射點(diǎn)數(shù)量相對(duì)Γ1截面減少,因?yàn)榇藭r(shí)已忽略了主動(dòng)輪的影響,如圖4(a)所示.取Γ3截面時(shí),每個(gè)點(diǎn)簇中的映射點(diǎn)數(shù)量相對(duì)Γ2截面繼續(xù)減少,這是因?yàn)榇藭r(shí)忽略了從動(dòng)輪的影響,而從動(dòng)輪上齒距偏差分布比主動(dòng)輪上復(fù)雜.當(dāng)時(shí)間尺度取一個(gè)完整輪齒組合周期時(shí),分岔圖中的周期運(yùn)動(dòng)映射點(diǎn)數(shù)為2,表現(xiàn)為周期2 運(yùn)動(dòng),如圖4(b)所示,因?yàn)榇藭r(shí)已忽略了主從動(dòng)輪每個(gè)輪齒的差異.可見,系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度內(nèi)的近周期2 運(yùn)動(dòng)在宏觀時(shí)間尺度內(nèi)為周期2 運(yùn)動(dòng).系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期為宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的Poincaré映射點(diǎn)數(shù);微觀時(shí)間尺度內(nèi)的映射點(diǎn)為對(duì)應(yīng)宏觀時(shí)間尺度內(nèi)映射點(diǎn)數(shù)的點(diǎn)簇.

通過近周期運(yùn)動(dòng)辨識(shí)方法進(jìn)一步分析含齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的動(dòng)力學(xué)特性,如圖5 所示.由圖可見,當(dāng)扭矩較小時(shí),系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).在微觀時(shí)間尺度內(nèi),系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔由混沌運(yùn)動(dòng)退化為近周期2 運(yùn)動(dòng),再經(jīng)逆倍化分岔退化為近周期1 運(yùn)動(dòng),如圖5(a)所示.Γ2與Γ3截面內(nèi)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性如圖5(b)所示,系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)退化為近周期2 運(yùn)動(dòng),再退化為近周期1 運(yùn)動(dòng),由圖5(b) 中A與B局部放大所示,Γ3截面的每個(gè)點(diǎn)簇的映射點(diǎn)數(shù)量小于Γ2截面的每個(gè)點(diǎn)簇的映射點(diǎn)數(shù)量.對(duì)照?qǐng)D5(a)和圖5(b)可見,周期運(yùn)動(dòng)分岔圖的線寬明顯減小.當(dāng)時(shí)間尺度繼續(xù)增大時(shí),選取Γ4截面,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔由混沌運(yùn)動(dòng)退化為周期2 運(yùn)動(dòng),再經(jīng)逆倍化分岔退化為周期1 運(yùn)動(dòng),如圖5(c)所示.由宏觀時(shí)間尺度Poincaré映射截面辨識(shí)系統(tǒng)的近周期2 運(yùn)動(dòng)為周期2 運(yùn)動(dòng).考慮齒距偏差的直齒輪副實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為:混沌運(yùn)動(dòng)→周期2 運(yùn)動(dòng)→周期1 運(yùn)動(dòng).

圖5 隨扭矩變化的直齒輪副多時(shí)間尺度分岔圖Fig.5 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via torque

系統(tǒng)在不同時(shí)間尺度Poincaré映射截面下隨嚙合頻率變化的分岔圖及對(duì)應(yīng)的TLE 譜如圖6 所示.當(dāng)嚙合頻率較小時(shí),系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度內(nèi)表現(xiàn)為明顯的近周期1 運(yùn)動(dòng),如圖6(a)所示.隨著時(shí)間尺度的增大,近周期1 運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)簇中映射點(diǎn)數(shù)量逐漸減少,如圖6(b)所示.隨著嚙合頻率的增大,微觀時(shí)間尺度下的系統(tǒng)近周期1 運(yùn)動(dòng)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入近周期2 運(yùn)動(dòng),再經(jīng)鞍結(jié)分岔通向混沌運(yùn)動(dòng),隨后經(jīng)逆倍化序列退化為近周期3 運(yùn)動(dòng),最后經(jīng)周期跳躍退化為近周期1 運(yùn)動(dòng).

圖6 隨嚙合頻率變化的直齒輪副多時(shí)間尺度分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the spur gear pair with different time scales via meshing frequency

在宏觀時(shí)間尺度下,系統(tǒng)的近周期運(yùn)動(dòng)被辨識(shí)為周期運(yùn)動(dòng),如圖6(c)所示.系統(tǒng)在宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性表現(xiàn)為周期1 運(yùn)動(dòng)→周期2 運(yùn)動(dòng)→混沌運(yùn)動(dòng)→周期6 運(yùn)動(dòng)→周期3 運(yùn)動(dòng)→周期1 運(yùn)動(dòng).

由圖4～ 圖6可得,短周期誤差對(duì)周期運(yùn)動(dòng)的影響較大,使其變復(fù)雜.由于混沌運(yùn)動(dòng)本身為復(fù)雜的非周期運(yùn)動(dòng),短周期誤差對(duì)于混沌運(yùn)動(dòng)的影響不明顯.由此可見,相對(duì)于宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性,短周期誤差在微觀時(shí)間尺度內(nèi)影響齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性.

綜上所述,含短周期誤差的直齒輪副出現(xiàn)較為復(fù)雜的近周期運(yùn)動(dòng).近周期運(yùn)動(dòng)辨識(shí)方法可有效地分析并判斷系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度與宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性.系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期數(shù)為宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的Poincaré映射點(diǎn)數(shù)或微觀時(shí)間尺度內(nèi)的Poincaré映射點(diǎn)簇?cái)?shù).下一節(jié)將進(jìn)一步研究含短周期誤差的直齒輪副多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng).

3.2 直齒輪副的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng)

非線性系統(tǒng)在不同狀態(tài)變量初值下會(huì)出現(xiàn)多種穩(wěn)定狀態(tài).短周期誤差使系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng),影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本節(jié)主要研究含齒距偏差的直齒輪副多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng),通過多初值分岔圖、多初值TLE 譜、吸引域、相圖、Poincaré映射圖及分岔樹狀圖分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.為了使結(jié)果具有普遍性,齒距偏差取值為Np=21,Ng=13,a∈[1,2],b∈[1,3].主從動(dòng)輪的具體齒距偏差值分別如表2與表4 所示.狀態(tài)平面內(nèi)的吸引域及吸引子信息可通過改進(jìn)胞映射法計(jì)算得出,狀態(tài)域 Ω 被平均分為600 × 600 個(gè)胞,所考察的狀態(tài)域范圍建立為Ω ∈{-3 ≤x≤3,-3 ≤≤3},該狀態(tài)域包含系統(tǒng)所有可能出現(xiàn)的狀態(tài)值.

表4 從動(dòng)輪齒距偏差值(Ng=13)Table 4 Pitch deviation values of the gear (Ng=13)

考慮齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的動(dòng)力學(xué)特性如圖7～圖9 所示.參數(shù)取ω=1.2,k=0.3,ξ=0.2,ε=0.2,μ=0.12 與D=1.系統(tǒng)多初值分岔如圖7所示.

圖7 中Sn 與Pn 表示混沌運(yùn)動(dòng);PNn,QNn和RNn表示近周期n運(yùn)動(dòng).Bij表示普通分岔點(diǎn),Gij,Hij,Kij和Mij表示共存吸引子發(fā)生變化的分岔點(diǎn),i和j代表系統(tǒng)在分岔點(diǎn)前后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).多初值分岔圖對(duì)應(yīng)吸引域如圖8 所示,可表示系統(tǒng)出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)的吸引子與吸引域演變規(guī)律.為了更直觀地說明系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程,構(gòu)建分岔樹狀圖,如圖9所示.

圖7 系統(tǒng)隨扭矩變化的多初值分岔圖及TLE 譜Fig.7 Multi-initial values bifurcation diagrams and TLE spectrums of system via F

當(dāng)扭矩較小時(shí),系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)(Sn),經(jīng)過周期窗口(PN3)后,逐漸演變?yōu)榱硪换煦邕\(yùn)動(dòng)(Pn).系統(tǒng)的Pn 運(yùn)動(dòng)在BnN2 點(diǎn)經(jīng)鞍結(jié)分岔退化為近周期2 運(yùn)動(dòng)(PN2),分岔圖中的Poincaré映射點(diǎn)表現(xiàn)為兩個(gè)點(diǎn)簇.在GN2 N2 點(diǎn),系統(tǒng)出現(xiàn)兩種近周期2 運(yùn)動(dòng)共存(PN2 與QN2),對(duì)應(yīng)吸引域及吸引子信息如圖8(a)所示,紅色代表PN2 運(yùn)動(dòng),“▲”表示PN2 運(yùn)動(dòng)吸引子;青色代表QN2 運(yùn)動(dòng),“○”表示QN2 運(yùn)動(dòng)吸引子.QN2 運(yùn)動(dòng)吸引子及Poincaré映射點(diǎn)更為復(fù)雜,系統(tǒng)處于QN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)受齒距偏差影響較大,近周期更為明顯,導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)不平穩(wěn).在BN2 N1 點(diǎn),系統(tǒng)的PN2 運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍化分岔退化為近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1),“◇”表示PN1 運(yùn)動(dòng)吸引子,系統(tǒng)出現(xiàn)PN1 運(yùn)動(dòng)與QN2 運(yùn)動(dòng)共存,如圖8(b) 所示.在HN2 N2 點(diǎn),系統(tǒng)出現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),即近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1)與兩種近周期2 運(yùn)動(dòng)(RN2 與QN2)共存,寶藍(lán)色代表RN2 運(yùn)動(dòng),“△”表示RN2 運(yùn)動(dòng)吸引子,如圖8(c)所示.QN2 運(yùn)動(dòng)吸引域被RN2 運(yùn)動(dòng)吸引域侵蝕,系統(tǒng)出現(xiàn)QN2 運(yùn)動(dòng)的可能性減小.RN2 運(yùn)動(dòng)與QN2 運(yùn)動(dòng)的吸引子均呈現(xiàn)兩個(gè)區(qū)域的點(diǎn)簇.在KN2 N2 點(diǎn),QN2 運(yùn)動(dòng)消失,系統(tǒng)出現(xiàn)RN2 運(yùn)動(dòng)與PN1 運(yùn)動(dòng)共存,如圖8(d) 所示.在MN2 N1 點(diǎn),RN2 運(yùn)動(dòng)退化為PN1 運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)僅存在一種相對(duì)平穩(wěn)的PN1 穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).隨著扭矩的增大,系統(tǒng)的近周期運(yùn)動(dòng)逐漸不明顯.在扭矩較大時(shí),齒距偏差對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的影響較小.

圖8 系統(tǒng)隨扭矩變化的吸引域Fig.8 Basin of attraction of system via F

通過構(gòu)建分岔樹狀圖可更直觀地表示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程.紅色框表示共存吸引子出現(xiàn)或消失的分岔點(diǎn);黑色框表示普通分岔點(diǎn);藍(lán)色圈為混沌與近周期解;黃色框?yàn)橄嗤D(zhuǎn)遷過程.含齒距偏差的直齒輪副隨扭矩變化的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程如圖9 所示.

圖9 系統(tǒng)隨扭矩變化的分岔樹狀圖Fig.9 Bifurcation dendrogram of system via F

多初值分岔圖中的紅色部分的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→PN2→BN2 N1→PN1.多初值分岔圖中的青色部分的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→QN2→HN2 N2→QN2→KN2 N2→RN2→MN2 N1→PN1.多初值分岔圖中的寶藍(lán)色部分的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:Sn→BnN3→PN3→BN3 n→Pn→BnN2→PN2→GN2 N2→QN2→HN2 N2→RN2→MN2 N1→PN1.

受齒距偏差的影響,系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng),共3 種共存吸引子.當(dāng)扭矩較小時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動(dòng),多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜,導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性降低.當(dāng)扭矩較大時(shí),系統(tǒng)表現(xiàn)為單穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),且近周期運(yùn)動(dòng)不明顯,齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性相對(duì)較好.含齒距偏差系統(tǒng)的多初值分岔圖中的Poincaré映射點(diǎn)表現(xiàn)為點(diǎn)簇,對(duì)應(yīng)的吸引子亦表現(xiàn)為點(diǎn)簇形式,系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受初值的影響較大.

含齒距偏差的直齒輪副隨嚙合頻率變化的動(dòng)力學(xué)特性如圖10～圖13 所示.參數(shù)選取為:F=0.15,k=0.1,ξ=0.07,ε=0.15,μ=0.15 與D=1.系統(tǒng)的多初值分岔及對(duì)應(yīng)的TLE 譜如圖10 所示.多初值分岔圖對(duì)應(yīng)的吸引域、相軌跡及Poincaré映射如圖11 與12 所示.分岔樹狀圖如圖13 所示.根據(jù)式(6)與圖12中的相軌跡,當(dāng)輪齒相對(duì)位移x始終大于齒側(cè)間隙半值D時(shí),齒輪副始終處于齒面嚙合狀態(tài);當(dāng)輪齒相對(duì)位移x小于齒側(cè)間隙半值D且大于齒側(cè)間隙負(fù)半值-D時(shí),齒輪副出現(xiàn)輪齒脫嚙狀態(tài);當(dāng)輪齒相對(duì)位移x小于齒側(cè)間隙負(fù)半值-D時(shí),齒輪副出現(xiàn)齒背接觸狀態(tài).

圖10 系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的多初值分岔圖及TLE 譜Fig.10 Multi-initial values bifurcation diagrams and TLE spectrums of system via ω

圖11 系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的吸引域Fig.11 Basin of attraction of system via ω

圖12 系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的相圖與Poincaré映射圖Fig.12 Phase portraits and Poincaré maps of system via ω

圖13 系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的分岔樹狀圖Fig.13 Bifurcation dendrogram of system via ω

圖中Sn,Pn 與Tn 表示混沌運(yùn)動(dòng);PNn,QNn,RNn和TNn表示近周期n運(yùn)動(dòng).Gij,Mij,Hij,Kij,Jij和Iij表示共存吸引子發(fā)生變化的分岔點(diǎn).當(dāng)嚙合頻率較小時(shí),系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),表現(xiàn)為近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1).在GN1 N2 點(diǎn),系統(tǒng)出現(xiàn)兩種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),即近周期1 運(yùn)動(dòng)與近周期2 運(yùn)動(dòng)共存(PN1 與QN2),且QN2 運(yùn)動(dòng)的近周期現(xiàn)象更明顯,對(duì)應(yīng)的吸引域及吸引子信息如圖11(a)所示,紅色代表PN1 運(yùn)動(dòng),“◇”表示PN1 運(yùn)動(dòng)吸引子;青色代表QN2 運(yùn)動(dòng),“△”表示QN2 運(yùn)動(dòng)吸引子.PN1 運(yùn)動(dòng)的吸引域面積較大,其存在的可能性較大,QN2 運(yùn)動(dòng)的每個(gè)點(diǎn)簇中的吸引子數(shù)量較多.齒輪副處于QN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)的脫嚙程度大于PN1 運(yùn)動(dòng),且QN2 運(yùn)動(dòng)相軌跡

更為復(fù)雜,因此,齒輪副處于QN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)的傳動(dòng)平穩(wěn)性較差,如圖12(a)所示.由于QN2 吸引域的面積相對(duì)較小,齒輪副出現(xiàn)傳動(dòng)不平穩(wěn)的可能性較低.

在BN2 N2 點(diǎn),QN2 運(yùn)動(dòng)演變?yōu)镽N2 運(yùn)動(dòng),在MN1 n 點(diǎn),系統(tǒng)出現(xiàn)近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1),近周期2 運(yùn)動(dòng)(RN2)與混沌運(yùn)動(dòng)(Sn)共存,此時(shí),青色代表RN2 運(yùn)動(dòng);紫色代表Sn 運(yùn)動(dòng),“·”表示Sn 運(yùn)動(dòng)吸引子.RN2 運(yùn)動(dòng)的吸引域面積增大,PN1 運(yùn)動(dòng)的吸引域被Sn 運(yùn)動(dòng)的吸引域侵蝕,如圖11(b)所示.系統(tǒng)處于RN2 運(yùn)動(dòng)與Sn 運(yùn)動(dòng)均出現(xiàn)齒背接觸,且RN2 運(yùn)動(dòng)的齒背接觸程度較大,而系統(tǒng)處于PN1 運(yùn)動(dòng)時(shí)僅存在脫嚙狀態(tài)且脫嚙程度較小,如圖12(b)所示.當(dāng)系統(tǒng)處于RN2 運(yùn)動(dòng)與Sn 運(yùn)動(dòng)時(shí),齒輪傳動(dòng)不平穩(wěn).在KnN1 點(diǎn),Sn 運(yùn)動(dòng)退化為PN1 運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)出現(xiàn)RN2 運(yùn)動(dòng)與PN1 運(yùn)動(dòng)共存.在BN1 N2 點(diǎn),近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1)經(jīng)倍化分岔進(jìn)入近周期2 運(yùn)動(dòng)(PN2),系統(tǒng)出現(xiàn)兩種近周期2 運(yùn)動(dòng)(PN2 與RN2)共存,對(duì)應(yīng)吸引域如圖11(c)所示,“○”表示PN2 運(yùn)動(dòng)吸引子.系統(tǒng)處于RN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)脫嚙及齒背接觸狀態(tài),而系統(tǒng)處于PN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)僅出現(xiàn)脫嚙狀態(tài),如圖12(c)所示.由于PN2 運(yùn)動(dòng)的吸引域面積相對(duì)較大,系統(tǒng)處于PN2 運(yùn)動(dòng)的可能性較大,齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)的可能性亦較大.在IN1 N2 點(diǎn),RN2 運(yùn)動(dòng)演變?yōu)镻N2 運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)僅存在近周期2 運(yùn)動(dòng)(PN2).

系統(tǒng)在BN2 n 點(diǎn)經(jīng)鞍結(jié)分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng),在BnN6 點(diǎn)經(jīng)逆倍化序列退化為近周期運(yùn)動(dòng),并在BN6 N3 點(diǎn)退化為近周期3 運(yùn)動(dòng)(PN3).在HN3 n 點(diǎn),系統(tǒng)出現(xiàn)近周期3 運(yùn)動(dòng)與混沌運(yùn)動(dòng)(Tn)共存,對(duì)應(yīng)吸引域如圖11(d)所示,此時(shí),紅色代表PN3 運(yùn)動(dòng),“+”表示PN3 運(yùn)動(dòng)吸引子;寶藍(lán)色代表Tn 運(yùn)動(dòng),“·”表示Tn 運(yùn)動(dòng)吸引子.系統(tǒng)處于PN3 運(yùn)動(dòng)與Tn 運(yùn)動(dòng)時(shí)均出現(xiàn)齒背接觸狀態(tài),如圖12(d)所示,系統(tǒng)處于Tn 運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)的齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性較差.在此嚙合頻率下,Tn 運(yùn)動(dòng)的吸引域面積較大,齒輪出現(xiàn)傳動(dòng)不平穩(wěn)的可能性大.系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)在BnN2 點(diǎn)經(jīng)逆倍化序列退化為近周期2 運(yùn)動(dòng)(TN2),系統(tǒng)出現(xiàn)近周期3 運(yùn)動(dòng)(PN3)與近周期2 運(yùn)動(dòng)(TN2)共存,此時(shí),寶藍(lán)色代表TN2 運(yùn)動(dòng),“▲”表示TN2 運(yùn)動(dòng)吸引子,如圖11(e)所示.系統(tǒng)處于PN3 運(yùn)動(dòng)時(shí)仍存在齒背接觸狀態(tài),而系統(tǒng)處于TN2 運(yùn)動(dòng)時(shí)僅存在脫嚙狀態(tài),如圖12(e)所示.由于PN3 運(yùn)動(dòng)的吸引域面積較小,齒輪出現(xiàn)傳動(dòng)不平穩(wěn)的可能性較小.

在BN2 N1 點(diǎn),TN2 運(yùn)動(dòng)經(jīng)逆倍化分岔退化為近周期1 運(yùn)動(dòng)(TN1),寶藍(lán)色代表TN1 運(yùn)動(dòng),“◆”表示TN1 運(yùn)動(dòng)吸引子,如圖11(f)所示,系統(tǒng)的近周期運(yùn)動(dòng)逐漸消退,齒距偏差對(duì)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的影響繼續(xù)減小.系統(tǒng)處于PN3 運(yùn)動(dòng)時(shí)仍存在齒背接觸狀態(tài),而系統(tǒng)處于TN1 運(yùn)動(dòng)時(shí)僅存在脫嚙狀態(tài)且脫嚙程度減小,如圖12(f)所示.TN1 運(yùn)動(dòng)吸引域面積較大,齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性繼續(xù)增大.系統(tǒng)的PN3 運(yùn)動(dòng)在JN3 N1 點(diǎn)退化為PN1 運(yùn)動(dòng),同時(shí)TN1 運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)為PN1 運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)僅存在一種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),即近周期1 運(yùn)動(dòng)(PN1).系統(tǒng)隨嚙合頻率變化時(shí)出現(xiàn)復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),影響齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性.隨著嚙合頻率增大,齒距偏差對(duì)齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性的影響逐漸減小.

系統(tǒng)隨嚙合頻率變化的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程可通過分岔樹狀圖表示,如圖13 所示.藍(lán)色框與綠色框表示相同運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程.

多初值分岔圖的紅色部分穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:

PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→PN1→BN1 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3→JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的青色部分穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:PN1→GN1 N2→QN2→BN2 N2→RN2→IN2 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3→JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的紫色部分穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→Sn→KnN1→PN1→BN1 N2→PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→HN3 n→PN3 →JN3 N1→PN1.

多初值分岔圖的寶藍(lán)色部分穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷路徑為:PN1→GN1 N2→PN1→MN1 n→ PN1→BN1 N2→ PN2→BN2 n→Pn→BnN6→PN6→BN6 N3→PN3→ HN3 n→Tn→BnN2→TN2→BN2 N1→TN1→PN1.

含齒距偏差的直齒輪副隨嚙合頻率變化時(shí)出現(xiàn)4 種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).受齒距偏差影響,系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜,對(duì)應(yīng)于QN2 與RN2 的近周期運(yùn)動(dòng)更為明顯.當(dāng)嚙合頻率處于敏感參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)容易出現(xiàn)多解共存的情況,引起多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的發(fā)生.齒距偏差增加了系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度內(nèi)的相軌跡數(shù)量、吸引子數(shù)量及Poincaré映射點(diǎn)數(shù),使其呈現(xiàn)線簇或點(diǎn)簇形式,導(dǎo)致復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng).初值對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)影響較大,當(dāng)系統(tǒng)處于不同穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí),會(huì)導(dǎo)致不同程度的脫嚙與齒背接觸發(fā)生.當(dāng)系統(tǒng)處于敏感參數(shù)范圍內(nèi),更易出現(xiàn)脫嚙與齒背接觸及混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài),導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性降低.合理的嚙合頻率范圍及初值范圍可提高直齒輪副傳動(dòng)的平穩(wěn)性.

4 結(jié)論

本文提出近周期運(yùn)動(dòng)的定義及其辨識(shí)方法,分析了近周期運(yùn)動(dòng)的辨識(shí)過程,并研究了系統(tǒng)在參數(shù)與初值影響下的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng),結(jié)論如下所示.

(1)齒距偏差作為齒輪副的短周期誤差導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)近周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)齒輪副中考慮齒距偏差時(shí),在長(zhǎng)時(shí)間尺度范圍內(nèi)考察的穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間尺度內(nèi)會(huì)發(fā)生變化.長(zhǎng)時(shí)間尺度內(nèi)的周期n運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間尺度內(nèi)其Poincaré映射圖由n個(gè)點(diǎn)變?yōu)閚簇點(diǎn),其相圖由n條相軌跡變?yōu)閚簇相軌跡.通過近周期運(yùn)動(dòng)辨識(shí)方法,可有效地判斷系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度與宏觀時(shí)間尺度內(nèi)的動(dòng)力學(xué)特性.系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)周期數(shù)為宏觀時(shí)間尺度的Poincaré映射點(diǎn)數(shù)或微觀時(shí)間尺度的Poincaré映射點(diǎn)簇?cái)?shù).

(2)受短周期誤差影響,系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的多穩(wěn)態(tài)近周期運(yùn)動(dòng).當(dāng)扭矩或嚙合頻率處于敏感取值范圍內(nèi),系統(tǒng)易出現(xiàn)多解共存的情況,導(dǎo)致其出現(xiàn)多穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng).齒距偏差增加了系統(tǒng)在微觀時(shí)間尺度內(nèi)的相軌跡數(shù)量、吸引子數(shù)量及Poincaré映射點(diǎn)數(shù),導(dǎo)致齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性降低.通過吸引域可分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷過程并判斷各穩(wěn)態(tài)出現(xiàn)的可能性.當(dāng)系統(tǒng)處于敏感參數(shù)及初值范圍內(nèi),直齒輪副容易出現(xiàn)脫嚙、齒背接觸與混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).合理的參數(shù)范圍及初值范圍可提高齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性.