成利梅

(太原科技大學(xué)，太原 030000)

0 引言

四旋翼飛行器具有呈“十”字交叉結(jié)構(gòu)的4個(gè)旋翼，通過(guò)調(diào)節(jié)不同旋翼電機(jī)轉(zhuǎn)速改變螺旋槳轉(zhuǎn)速?gòu)亩鴮?shí)現(xiàn)飛行器的運(yùn)動(dòng)。由于其特殊的結(jié)構(gòu)，四旋翼飛行器可實(shí)現(xiàn)垂直起降并懸停，且能以各種姿態(tài)飛行，具有更強(qiáng)的機(jī)動(dòng)性和靈活性，因此廣泛應(yīng)用于軍事、電力巡檢、農(nóng)業(yè)植保等領(lǐng)域[1-2]。

BOUABDALLAH[3]首先建立了四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型，并比較了PID、最優(yōu)控制、反步控制和滑模控制等控制方法。魯棒自適應(yīng)[4]、自抗擾控制[5]等先進(jìn)的控制方法也被應(yīng)用于四旋翼飛行器的控制。然而，大多數(shù)的研究均采用歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣，并用歐拉角的一階導(dǎo)數(shù)近似載體角速度。基于近似模型設(shè)計(jì)的控制器僅適合于歐拉角較小的懸停狀態(tài)，并不能應(yīng)用于機(jī)動(dòng)性要求較高的大角度飛行。為了解決大角度飛行的控制問(wèn)題，LEE等[6-7]提出了幾何控制。幾何控制在非線性群SO(3)(Special Orthogonal Group)上描述飛行器的動(dòng)力學(xué)模型，并基于此模型設(shè)計(jì)控制律。文獻(xiàn)[8-10]對(duì)基于該模型的軌跡跟蹤控制算法進(jìn)一步研究，結(jié)果表明，基于SO(3)的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)控制器可使得四旋翼飛行器完成較為復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。

在實(shí)際控制過(guò)程中，都需要微處理器進(jìn)行實(shí)時(shí)采樣和計(jì)算，因此，近年來(lái)基于離散時(shí)間域的四旋翼飛行器控制算法引起了廣泛研究。但目前大多數(shù)的研究都是基于歐拉角模型的軌跡跟蹤控制[11-13]，或者是基于非線性群SO(3)的姿態(tài)控制[14-16]。針對(duì)這一現(xiàn)狀，本文基于非線性群SO(3)上的動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)基于離散時(shí)間域的軌跡跟蹤控制器。同時(shí)考慮到滑模變結(jié)構(gòu)控制對(duì)參數(shù)的不確定性以及有界干擾都具有良好的魯棒性[17]，本文將離散滑模變結(jié)構(gòu)控制律應(yīng)用于控制器的設(shè)計(jì)，以提升控制效果。

1 動(dòng)力學(xué)建模

為了方便建模，假設(shè)四旋翼飛行器的機(jī)械結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，并且可以看作剛體。在四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)控制中，位置和姿態(tài)都是至關(guān)重要的信息。描述剛體的位置與姿態(tài)時(shí)，首先需要確定剛體所在的坐標(biāo)系(參考坐標(biāo)系)，同時(shí)剛體上任何一點(diǎn)可以通過(guò)與其固連的坐標(biāo)系(載體坐標(biāo)系)描述，因此在四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)建模之前，需先引入兩個(gè)坐標(biāo)系，即參考坐標(biāo)系{xwywzw}和載體坐標(biāo)系{xbybzb}，所定義的坐標(biāo)系如圖1所示，圖中Ω1～Ω4為4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速。

圖1 四旋翼飛行器結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系

基于所定義的坐標(biāo)系，采用牛頓-歐拉法對(duì)四旋翼飛行器進(jìn)行建模[18]，所建立的數(shù)學(xué)模型為

(1)

式中：向量p=[xyz]T，為四旋翼飛行器質(zhì)心在參考坐標(biāo)系中的位置；ω=[ω1ω2ω3]T，為四旋翼飛行器在載體坐標(biāo)系下的角速度；R∈SO(3)，為所定義載體坐標(biāo)系到參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣；向量zw=[001]T；m是四旋翼飛行器的質(zhì)量；g是重力加速度；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；T為4個(gè)電機(jī)的升力和；M=[M1M2M3]T，為轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。

在設(shè)計(jì)控制器之前，采用前向歐拉法將四旋翼飛行器的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行離散化，離散化之后的模型為

(2)

式中，Δt為采樣時(shí)間。

2 控制器設(shè)計(jì)

綜合式(1)和式(2)可知，四旋翼飛行器的模型為強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)。當(dāng)位置確定之后即可確定姿態(tài)矩陣的第3列。同時(shí)，當(dāng)偏航角和姿態(tài)矩陣的第3列均已知時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣即可被唯一確定[18]。當(dāng)旋轉(zhuǎn)矩陣確定之后，角速度可由旋轉(zhuǎn)矩陣確定。因此，可以將位置和偏航角作為系統(tǒng)的控制目標(biāo)。

由上述分析可知，位置的實(shí)現(xiàn)依賴(lài)于旋轉(zhuǎn)矩陣的實(shí)現(xiàn)，因此本文將四旋翼飛行器的控制系統(tǒng)分為位置控制環(huán)路與姿態(tài)控制環(huán)路，位置控制環(huán)路輸出控制升力的大小及方向，控制升力方向向量與期望偏航角經(jīng)運(yùn)算得出的期望旋轉(zhuǎn)矩陣作為姿態(tài)控制環(huán)路的輸入，姿態(tài)控制環(huán)路輸出控制力矩，控制升力和控制力矩作用于四旋翼飛行器的數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)控制。整體的控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of control structure

2.1 位置控制器設(shè)計(jì)

首先，基于離散滑模變結(jié)構(gòu)控制律來(lái)設(shè)計(jì)位置控制器，定義k時(shí)刻的滑模面為

(3)

由式(3)可得k+1時(shí)刻的滑模面為

(4)

基于一階趨近律可設(shè)計(jì)滑模面

sk+1=(I-kΔt)sk-ηsgn(sk)Δt

(5)

式中：I為單位陣；sgn()為符號(hào)函數(shù)；k和η為正定的對(duì)角陣，其中，k=diag(k1,k2,k3)，η=diag(η1,η2,η3)。

令式(4)和式(5)相等，可得

(6)

將式(2)代入式(6)，整理可得控制升力的大小為

(I-kΔt)Δtsk+ηsgn(sk)(Δt)2)/(Δt)2+mgzw)·(Rkzw)。

(7)

同時(shí)，控制升力的方向?yàn)?/p>

(8)

若設(shè)計(jì)升力如式(7)和式(8)，則該系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)可收斂于位置誤差的零平衡點(diǎn)。

證明：由于3個(gè)方向結(jié)構(gòu)相同，因此以其中一個(gè)方向?yàn)槔齺?lái)證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性[19]，記sk=[sk,1sk,2sk,3]T，選取李雅普諾夫函數(shù)

(9)

由于

(10)

其中

(sk+1,i-sk,i)sgn(sk,i)=
((1-kiΔt)sk,i-ηisgn(sk,i)Δt-sk,i)·sgn(sk,i)=
(-kiΔtsk,i-ηisgn(sk,i)Δt)·sgn(sk,i)=
-kiΔt|sk,i|-ηiΔt<0

(11)

(sk+1,i+sk,i)sgn(sk,i)=
((1-kiΔt)sk,i-ηisgn(sk,i)Δt+sk,i)·sgn(sk,i)=
((2-kiΔt)sk,i-ηisgn(sk,i)Δt)·sgn(sk,i)=
(2-kiΔt)|sk,i|-ηiΔt

(12)

2.2 姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

旋轉(zhuǎn)矩陣可由列向量表示為Rk=[xb,kyb,kzb,k]，其中，zb,k可由式(8)給出，若給定偏航角ψd，當(dāng)參考坐標(biāo)系按照Z(yǔ)-X-Y旋轉(zhuǎn)到載體坐標(biāo)系時(shí)，期望旋轉(zhuǎn)矩陣[18]則為

(13)

式中，xf,k=[cosψd,ksinψd,k0]T。

首先定義旋轉(zhuǎn)矩陣誤差為

(14)

當(dāng)實(shí)際載體坐標(biāo)系趨近于期望載體坐標(biāo)系時(shí)，Re,k趨近于單位陣。同時(shí)由文獻(xiàn)[20]可知，旋轉(zhuǎn)矩陣R的特性主要由R-RT決定，且R-RT為反對(duì)稱(chēng)矩陣，因此可以用R-RT的向量形式表征R的特性?；诖耍x表征旋轉(zhuǎn)矩陣誤差特性的向量

(15)

式中：ε為正定的對(duì)稱(chēng)陣，ε=diag(ε1,ε2,ε3)；運(yùn)算符·∨表示將反對(duì)稱(chēng)矩陣寫(xiě)成其所對(duì)應(yīng)的向量形式。當(dāng)Re,k趨于單位陣時(shí)，eR,k則趨近于0。

基于旋轉(zhuǎn)矩陣誤差，定義角速度誤差為

(16)

基于旋轉(zhuǎn)矩陣誤差的向量形式和角速度誤差，設(shè)計(jì)k時(shí)刻的滑模面為

(17)

式中，β=diag(β1,β2,β3)，為正定的對(duì)角陣。

由式(17)可得k+1時(shí)刻的滑模面為

sk+1=βeR,k+1+eω,k+1=

(18)

基于一階趨近律設(shè)計(jì)如下滑模面

sk+1=(I-λΔt)sk-γsgn(sk)Δt

(19)

式中,λ和γ為正定的對(duì)角陣，λ=diag(λ1,λ2,λ3)，γ=diag(γ1，γ2，γ3)。

令式(18)與式(19)相等，可得

(20)

將式(2)代入式(20)，整理可得控制力矩為

Mk=J((I-λΔt)sk-γsgn(sk)Δt-β(ε(Re,k+1-

(21)

若設(shè)計(jì)控制力矩如式(21)，則姿態(tài)控制環(huán)路在控制力矩M的作用下可使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證明：由于3個(gè)方向結(jié)構(gòu)相同，因此以其中1個(gè)方向?yàn)槔齺?lái)證明所設(shè)計(jì)控制器的穩(wěn)定性，記sk=[sk,1sk,2sk,3]T，選取李雅普諾夫函數(shù)

(22)

由于

(23)

其中

(sk+1,i-sk,i)sgn(sk,i)=
((1-λiΔt)sk,i-γisgn(sk,i)Δt-sk,i)·sgn(sk,i)=
(-λiΔtsk,i-γisgn(sk,i)Δt)·sgn(sk,i)=
-λiΔt|sk,i|-γiΔt<0

(24)

(sk+1,i+sk,i)sgn(sk,i)=
((1-λiΔt)sk,i-γisgn(sk,i)Δt+sk,i)·sgn(sk,i)=
((2-λiΔt)sk,i-γisgn(sk,i)Δt)·sgn(sk,i)=
(2-λiΔt)|sk,i|-γiΔt

(25)

當(dāng)采用滑?？刂坡蓵r(shí)，不可避免地會(huì)給系統(tǒng)引入振顫。為了減少振顫，本文采用飽和函數(shù)來(lái)代替符號(hào)函數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

通過(guò)Matlab/Simulink來(lái)仿真驗(yàn)證所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的有效性[22]。為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制律可使得四旋翼系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)大角度的飛行，選取側(cè)立圓為期望軌跡。設(shè)pd=(0.5cos 2t0.5sin 2t3-2cos 2t)T，期望偏航角為ψd=t，四旋翼的初始狀態(tài)為p(0)=(000)T和ψ(0)=0。仿真所采用的結(jié)構(gòu)參數(shù)為m=2.0 kg，J=diag(1.25,1.25,2.5)。

文獻(xiàn)[21]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)詳細(xì)研究了控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及控制輸入的影響，在此基礎(chǔ)上結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)選取本文仿真過(guò)程中的控制器參數(shù)，所采用的控制參數(shù)如表1所示。

表1 控制器參數(shù)Table 1 Controller parameters

若采樣時(shí)間Δt為0.01 s，采樣點(diǎn)數(shù)為4000，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 四旋翼飛行器跟蹤側(cè)立圓仿真結(jié)果

圖3(a)和圖3(b)分別為跟蹤側(cè)立圓時(shí)的三維軌跡和位置圖，由圖可知，系統(tǒng)在所設(shè)計(jì)控制律的作用下能很快跟蹤上期望軌跡。圖3(c)描述了期望歐拉角與實(shí)際歐拉角，歐拉角(φ,θ,ψ)由旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算得出。從圖中可得，實(shí)際歐拉角很快收斂于期望歐拉角。此時(shí)，實(shí)際的旋轉(zhuǎn)矩陣也將趨于期望的旋轉(zhuǎn)矩陣。由于偏航角ψ的取值范圍為(-180°，180°)，因此偏航角僅在該范圍內(nèi)周期變化。圖3(d)為控制輸入圖，由圖可知，T以期望軌跡的周期變化，M1，M2和M3呈現(xiàn)相似的變化趨勢(shì)，僅在姿態(tài)發(fā)生突變時(shí)發(fā)生較大的突變，在其他時(shí)刻很快收斂到0。綜合圖3(a)和圖3(c)可知，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)大歐拉角的軌跡跟蹤。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)離散時(shí)間域的四旋翼飛行器軌跡跟蹤控制問(wèn)題進(jìn)行研究?；诜蔷€性群建立了動(dòng)力學(xué)模型，解決了采用歐拉角近似建模帶來(lái)的小角度飛行限制，可使得四旋翼實(shí)現(xiàn)大角度飛行。由于四旋翼飛行器系統(tǒng)的強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)特性，設(shè)計(jì)了基于內(nèi)外環(huán)的控制結(jié)構(gòu)，內(nèi)外環(huán)控制器均采用離散滑模變結(jié)構(gòu)控制來(lái)設(shè)計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)表明,在所設(shè)計(jì)控制器的作用下,四旋翼飛行器可以實(shí)現(xiàn)大角度的軌跡跟蹤，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的有效性。