張旺旺 薄瑞峰 黃道陽 陳振亞

（中北大學機械工程學院，山西 太原 030051）

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，精密加工技術(shù)越來越成為制造業(yè)發(fā)展的重要因素，從而導(dǎo)致對于定位技術(shù)的精度要求變得更高。目前，傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機構(gòu)的工作性能無法滿足當下精密定位技術(shù)的快速發(fā)展，在高精密、微型機械等高性能要求下缺陷日益明顯。而柔順機構(gòu)的出現(xiàn)則從機械設(shè)計這一根本角度為解決這些問題提供了新的、更徹底的方法，為實現(xiàn)高精密定位平臺的設(shè)計與研究提供了理論依據(jù)。有學者提出通過將柔性鉸鏈理論與剛性并聯(lián)機構(gòu)相結(jié)合，采用柔性鉸鏈代替?zhèn)鹘y(tǒng)運動副的方法構(gòu)建相應(yīng)的柔性并聯(lián)機構(gòu)。和傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機構(gòu)相比，柔性并聯(lián)機構(gòu)通過構(gòu)件自身彈性形變來實現(xiàn)機構(gòu)的主要運動和功能。也正是因為在結(jié)構(gòu)上減少了運動副，因此柔順機構(gòu)在構(gòu)件的數(shù)目上就比傳統(tǒng)機構(gòu)少了很多，很大程度上降低或消除了上述問題。因此，將柔順并聯(lián)機構(gòu)作為傳動構(gòu)件引入精密定位平臺進行設(shè)計與研究具有重要意義[1-5]。近些年來，國內(nèi)外相關(guān)學者結(jié)合柔順機構(gòu)理論與并聯(lián)機構(gòu)理論對柔順并聯(lián)機構(gòu)有了更深入的研究。Wang R Z等基于六支鏈柔性并聯(lián)機構(gòu)的四自由度定位平臺的設(shè)計及剛度建模[6]，Yu H T 等基于柔度矩陣法對3PPR 平面并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計及運動學分析[7]，吳小川設(shè)計了一種新型六自由度柔順并聯(lián)機構(gòu)[8]，孫慧設(shè)計了3-RPC 柔順定位平臺[9]。目前，在對柔順定位平臺的研究中，剛度是研究和設(shè)計柔性并聯(lián)機構(gòu)的重要指標之一，在很大程度上影響著柔性并聯(lián)定位平臺的精度。因此，亟待提出一種新型求解支鏈剛度的優(yōu)良方法。

本文利用螺旋理論[10]對4-URU 剛性并聯(lián)機構(gòu)的自由度進行分析。同時，利用柔性鉸鏈替換法設(shè)計出相應(yīng)的4-URU 型柔性并聯(lián)機構(gòu)。其次，在柔性鉸鏈剛度矩陣基礎(chǔ)上，利用矩陣轉(zhuǎn)換求得支鏈中各鉸鏈剛度矩陣[11]，再利用有限元理論分別求得支鏈各柔性桿剛度，通過線性疊加求得支鏈的總剛度矩陣。最后通過理論計算并用ANSYS 軟件對模型進行仿真分析，比對理論計算和仿真結(jié)果，驗證該方法的可行性。為進一步研究柔性并聯(lián)定位平臺的精度問題提供理論依據(jù)。

1 4-URU 并聯(lián)機構(gòu)自由度分析

4-URU 剛性并聯(lián)機構(gòu)由4 條完全相同的URU分支鏈分別連接上下兩平臺構(gòu)成。如圖1 所示，每條支鏈由與上下兩平臺相連的虎克鉸（U 副）及連接兩連桿的轉(zhuǎn)動副組成，相當于每條支鏈包含了5個單自由度的轉(zhuǎn)動副，其中第1 個轉(zhuǎn)動副與下平臺（定）垂直，中間3 個轉(zhuǎn)動副相互平行，第5 個轉(zhuǎn)動副與上平臺（動）垂直，初始位置時上平臺和下平臺相互平行。

圖1 對稱四自由度4-URU 并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型

針對此機構(gòu)的自由度，選取1 個分支鏈進行分析，如圖2 所示，以$i1和$i2的交點O為坐標原點建立支鏈坐標系O-xiyizi，則URU 支鏈運動副的運動螺旋為：

圖2 4-URU 分支

為求此五系螺旋的反螺旋，我們根據(jù)螺旋互易積為零的原理進行代數(shù)求解得到其反螺旋為$ir=(0 0 0；0 1 0)，根據(jù)求出的反螺旋不難看出，該支鏈的反螺旋為沿yi軸方向的約束力偶，即為沿虎克鉸十字頭的法向方向，在圖2 中用雙向箭頭$ir表示此約束力偶。該機構(gòu)4 條支鏈完全相同，且提供4 個位于同一平面（動平臺）上的約束力偶，由同一平面內(nèi)的4 個約束力偶僅有兩個線性無關(guān)可知，此機構(gòu)具有2 個冗余約束，4 個約束限制了該機構(gòu)動平臺繞x、y軸的的轉(zhuǎn)動，故機構(gòu)具有沿x、y、z軸的移動和繞z軸的轉(zhuǎn)動。

2 空間4-URU 型柔性并聯(lián)機構(gòu)設(shè)計

現(xiàn)基于4-URU 剛性并聯(lián)機構(gòu)的要求，設(shè)計與其相對應(yīng)的柔性并聯(lián)機構(gòu)。完全按照剛性的并聯(lián)機構(gòu)要求設(shè)計相應(yīng)的柔性支鏈，最后通過同剛性并聯(lián)機構(gòu)相同的組合方式組合成為最終結(jié)構(gòu)。在設(shè)計過程中，最終柔性并聯(lián)機構(gòu)各柔性支鏈的相對位置與剛性并聯(lián)機構(gòu)一致，各柔性支鏈運動副及其運動副位置與相應(yīng)剛性并聯(lián)機構(gòu)對應(yīng)、嚴格按照剛性并聯(lián)機構(gòu)支鏈的構(gòu)型特點和運動副運動軸線間的關(guān)系。根據(jù)之前分析的4-URU 并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型特點設(shè)計與之對應(yīng)的URU 型柔性支鏈及4-URU 型柔性并聯(lián)機構(gòu)如圖3、4 所示。

圖3 URU 支鏈三維圖

圖4 4-URU 柔性并聯(lián)機構(gòu)

3 4-URU 型柔性并聯(lián)機構(gòu)的支鏈剛度分析

為了能夠求得柔性并聯(lián)機構(gòu)的整體剛度，必須先求得單條支鏈的剛度，從而推導(dǎo)出整體剛度，最終通過整合得出柔性并聯(lián)機構(gòu)整體剛度。下面對支鏈I 進行剛度求解，先把支鏈I 分為6 個部分，在柔性轉(zhuǎn)動副剛度矩陣基礎(chǔ)上分別求得各鉸鏈剛度KJ，再利用單元剛度矩陣分別得出柔性桿各部分單元剛度矩陣KG，然后把鉸鏈剛度KJ和6 個柔性桿部分的單元剛度矩陣KG疊加，從而得出支鏈的總剛度矩陣K=KJ+KG。

3.1 支鏈鉸鏈剛度

支鏈I的結(jié)構(gòu)為U(2R)-R-U(2R)結(jié)構(gòu)，其中A、B、C、D、E均為柔性轉(zhuǎn)動副，具體結(jié)構(gòu)如圖5 所示。

圖5 支鏈斷面結(jié)構(gòu)

O點為固定一端，假設(shè)在E點處受載，可以簡單得到A、B、C、D、E點的局部坐標系分別AxAyAzA、B-xByBzB、C-xCyCzC、D-xDyDzD、E-xEyEzE，文獻[11-12]介紹了如圖6 為標準的柔性鉸鏈剛度矩陣KR:

圖6 柔性轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)尺寸

式中：E為柔性鉸鏈的材料彈性模量；t為點2 處鉸鏈橫截面厚度、t1、t4分別為點1、4 所在鉸鏈橫截面的厚度。

由于柔性并聯(lián)機構(gòu)的主要目的是彌補常規(guī)剛性并聯(lián)機構(gòu)在高精度運動上的不足，該并聯(lián)機構(gòu)所受外載是靜載荷或者載荷變化較小，運動緩慢，對于速度、加速度的變化情況可忽略不計，因此該結(jié)構(gòu)主要對其靜剛度進行研究分析。

如圖5 所示，我們規(guī)定B-xByBzB坐標系相對于A-xAyAzA坐標系的轉(zhuǎn)化矩陣為H1，C-xCyCzC坐標系相對于坐標系A(chǔ)-xAyAzA坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣為H2，DxDyDzD坐標系相對于A-xAyAzA坐標系的轉(zhuǎn)化矩陣為H3，E-xEyEzE坐標系相對于坐標系A(chǔ)-xAyAzA的轉(zhuǎn)換矩陣為H4，其中轉(zhuǎn)換矩陣:

式中：H1為坐標變換矩陣；h1為坐標變換中的子矩陣,同理可推導(dǎo)出轉(zhuǎn)換矩陣H2、H3、H4，即可以分別求得各柔性轉(zhuǎn)動副剛度在A-xAyAzA坐標系中的不同表示，則點B處柔性鉸鏈剛度在A-xAyAzA坐標系中可表示為：

同理可知，點C處柔性鉸鏈剛度經(jīng)過H2的矩陣轉(zhuǎn)換后，其表達式在A-xAyAzA坐標系中為：

點D處柔性鉸鏈剛度經(jīng)過H3的矩陣轉(zhuǎn)換后，其表達式在A-xAyAzA坐標系中為：

點E處柔性鉸鏈剛度經(jīng)過H4的矩陣轉(zhuǎn)換后，其表達式在A-xAyAzA坐標系中為：

2011年 3月 27日凌晨 5點，李阿姨在家人的陪伴下平靜地走了，女兒和老伴沒有呼天搶地，沒有悲痛欲絕，只是默默地收拾了東西，把一個干凈的病房留給了我們。知道現(xiàn)在每次有患者提到“望路”的話題，我都會想起李阿姨。面對生死，從容是一種多么難得的品質(zhì)。它讓一個普通的老人高貴地離開人世，留給周圍人都是美好的回憶。

通過以上求解的式子可求得點E處的局部鉸鏈剛度總和為A、B、C、D、E處的5 個轉(zhuǎn)動副在A-xAyAzA坐標系中的總和為：

所求KJ即為支鏈各鉸鏈A、B、C、D、E處鉸鏈剛度之和。

3.2 支鏈單元剛度

有限元應(yīng)分析問題時，首先就是要將其離散化，用離散化模型來代替原來的連續(xù)體。本文釆用的離散化方式是將除彈性鉸鏈外的其他彈性連續(xù)體結(jié)構(gòu)離散成三角形單元，應(yīng)用最小勢能原理推導(dǎo)了單元剛度■矩陣，并且該最小單元為三角形。其表達式為：Ke=由于材料是均質(zhì)單元，彈性矩陣D元素為常量，并且對于平面三角形單元，B矩陣中的元素也是常量。單元的面積是dxdy=Δ，故上式的單元剛度矩陣亦可表示為如下形式：Ke=BTDBtΔ。對于平面三角形單元，其單元剛度矩陣即可表示為：

在有限元基本原理中，剛度矩陣的組集至關(guān)重要，在完成單元分析后，需要將單元組集組合起來，從而構(gòu)成總的有限元分析方程。目前有很多方法適用于將單元剛度矩陣組合在一起形成總單元剛度矩陣，有直接組集法、轉(zhuǎn)換矩陣法等，本文采用轉(zhuǎn)換矩陣法進行求解。采用矩陣轉(zhuǎn)換法求解支鏈柔性桿剛度矩陣時，最關(guān)鍵的是需要簡單求解每個單元的轉(zhuǎn)換矩陣，利用所求轉(zhuǎn)換矩陣對每個單元剛度矩陣進行變換，從而通過疊加求得支鏈柔性桿總剛度矩陣。

在求解工程中，單元總剛度矩陣具有奇異性，因此需要引入邊界約束條件、消除結(jié)構(gòu)的剛體位移來實現(xiàn)。本文采用去掉邊界條件中位移為0的行和列，這樣會得到減少了階數(shù)的矩陣，達到消除剛度矩陣奇異性的目的。得到最終引入邊界條件修正后的有限元方程，由于引入了邊界條件，即可直接進行求解。

4 理論計算結(jié)果及其ANSYS 分析

為了驗證計算結(jié)果的正確性，下面進行對理論結(jié)果的仿真驗證，將已知條件代入以上公式。

已知機構(gòu)材料為65Mn（彈簧鋼），其彈性模量：E=207 GPa；泊松比u=0.3；密度ρ=7 850 kg/m3。支鏈各部分結(jié)構(gòu)詳細尺寸如下：b=30 mm，t=4 mm，

4.1 理論計算結(jié)果

虛功原理又稱虛位移原理，該原理在靜力學分析中處于重要地位。虛功原理可作如下表述：“彈性結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)的充分必要條件是，對于任意微小的虛位移，外力所作的總虛功與其內(nèi)部所積累的虛變形勢能相等，即作用于系統(tǒng)的主動力所作的虛功之和為零”。則根據(jù)虛功原理和胡克定律可得[13]:

其中：F表示所受的外載荷力，K表示機構(gòu)的整體剛度，q表示機構(gòu)末端的位移。因此可得支鏈末端處的變形為：

將參數(shù)代入公式經(jīng)理論計算后求得支鏈柔性鉸鏈轉(zhuǎn)動副的剛度矩陣及支鏈柔性桿單元剛度矩陣為：

將所求鉸鏈剛度矩陣KR和單元剛度矩陣Ke經(jīng)過線性疊加可得：

則支鏈的總剛度矩陣：

假設(shè)此時在E點末端處的x、y、z方向各施加100 N的等效力F，即F為[100 100 -100 0 0 0]T，將其相關(guān)參數(shù)代入上式：q=K-1F，最終求得q=[0.112 1 0.684 6 -0.109 2 0.626 2 0.255 8 0.576 9]×10-4mm，這樣我們可以簡單看出該支鏈在X、Y、Z方向產(chǎn)生的變形分別是1.112 1×10-5mm、6.846×10-5mm、-1.092×10-5mm。

4.2 ANSYS 仿真分析

針對上文所述的尺寸參數(shù)建立同等尺寸的SolidWorks 三維模型，然后導(dǎo)入ANSYS 進行分析，分析前需要進行一些材料參數(shù)的設(shè)置：定義機構(gòu)材料屬性、單元類型、網(wǎng)格劃分等。在施加載荷時，將機構(gòu)固定基座的自由度設(shè)置為0，外載荷施加在支鏈末端中心處，即X、Y、Z軸方向分別各施加100 N的外力。接下來就可對機構(gòu)的三維模型進行簡單計算和后處理分析，即可得到軟件計算分析后的機構(gòu)總位移應(yīng)變圖和分位移應(yīng)變圖如圖7 所示。

圖7 位移應(yīng)變圖

通過圖7 我們可以清晰地看到其結(jié)構(gòu)末端處在X、Y、Z方向的形變分為3.111×10-4mm、3.552 6×10-3mm、2.088 2×10-5mm,與理論計算值相接近。模擬結(jié)果與計算結(jié)果有誤差是因為在將剛性并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)化為柔性機構(gòu)過程中存在尺寸誤差導(dǎo)致結(jié)果略有偏差，因此在實際加工使用時，應(yīng)進行局部矯正。

5 結(jié)語

本文通過螺旋理論對4-URU 并聯(lián)機構(gòu)進行自由度分析，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計出柔性并聯(lián)機構(gòu)。在柔性轉(zhuǎn)動副剛度矩陣，單元剛度矩陣的基礎(chǔ)上，將結(jié)構(gòu)已知尺寸參數(shù)代入鉸鏈剛度矩陣和單元剛度矩陣中，求得到4-URU 型支鏈總剛度矩陣，然后將所求支鏈總剛度矩陣、作用在支鏈的外載荷F代入虛位移和胡克定律的變形式中，從而得出支鏈在X、Y和Z軸方向的具體應(yīng)變數(shù)值，最后利用ANSYS 軟件對其進行仿真從而得出仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明，計算得出的支鏈末端變形量與ANSYS軟件仿真結(jié)果接近。驗證了該方法求解支鏈剛度的有效性，為利用該方法求解全柔性并聯(lián)機構(gòu)整體剛度提供理論依據(jù)，為超精密定位平臺的精度研究提供了幫助。