周利軍，周祥宇，林 桐，吳振宇，高仕斌，張陳擎宇

（西南交通大學電氣工程學院，四川成都 611756）

自耦變壓器繞組采用具有較強抗沖擊能力的分裂式繞組結(jié)構(gòu)，主要應用于高速鐵路動車組供電［1］。由于高鐵運行環(huán)境復雜，受雷擊過電壓、輸電線路短路等影響可能會產(chǎn)生短路大電流，可能造成自耦變壓器繞組變形、移位等故障，不斷的故障累積最終將對自耦變壓器造成不可逆損壞［2-3］，及時有效的繞組狀態(tài)檢測具有重要意義。而實際的自耦變壓器，由于造價昂貴，難以進行繞組故障模擬探究故障下頻率響應變化特征。因此，通過搭建具有相同繞組結(jié)構(gòu)的自耦變壓器繞組故障模擬實驗平臺，采用實驗與仿真相結(jié)合的方法，研究故障下繞組頻率響應變化規(guī)律是必要的。

頻率響應分析（Frequency Response Analysis，F(xiàn)RA）法是目前檢測變壓器繞組故障的主要手段，適用于繞組結(jié)構(gòu)相同的大型自耦變壓器繞組建模。頻率響應法的工作原理是：在繞組1端注入掃頻信號（1～1 000 kHz），另1端接受輸出響應，然后通過計算獲得掃頻下的繞組幅頻特性曲線［4］，橫向或縱向?qū)Ρ壤@組頻率響應特征，識別繞組狀態(tài)。變壓器繞組可以等效為由電阻（R）、電感（L）、電容（C）參數(shù)構(gòu)成的無源網(wǎng)絡，故障下繞組電氣參數(shù)的改變是導致頻率響應變化的主要因素［5］。針對繞組頻率響應建模，國內(nèi)外的學者進行了大量研究。周利軍等［6］針對牽引變壓器繞組進行了狀態(tài)空間方程建模，提出1 種考慮全電容、電感參數(shù)模型，并驗證了模型的有效性。劉思偉等［7］通過有限元獲得繞組故障下電氣參數(shù)變化規(guī)律，基于集總參數(shù)電路模型獲得繞組頻率響應特征頻帶隨故障程度變化的規(guī)律，最后通過現(xiàn)場實驗驗證其研究成果可有效應用于實際變壓器繞組故障檢測。HASH?EMNIA N 等［8-9］建立了繞組集總參數(shù)電路模型，獲得繞組軸向移位與徑向變形下電氣參數(shù)變化與頻率響應的映射關(guān)系；NOSRATIAN AHOUR J等［10］提出1種繞組改進型集總參數(shù)梯級網(wǎng)絡模型，通過仿真和實驗對比驗證了該模型能夠較好地反映繞組頻率響應的反諧振點；SHINTEMIROV A等［11］提出1 種適用于高、低頻的繞組混合多導體傳輸線模型，分析了高頻下頻率響應的變化規(guī)律，可用于識別繞組輕微變形。但上述建模方法并未考慮高頻下電感和電阻參數(shù)的改變對于頻率響應模型的影響，而由于頻率響應測試頻帶較寬，高頻下變壓器鐵心受渦流效應影響發(fā)生去磁效應，繞組的電感參數(shù)會發(fā)生改變，且高頻下繞組受集膚效應影響電阻參數(shù)也會發(fā)生改變。

本文通過考慮變壓器鐵心與繞組的頻變特性，針對1臺含梯級疊鐵心自耦變壓器分裂式繞組進行頻率響應建模研究。首先利用數(shù)值計算及均質(zhì)化建模，獲得不同方向的疊鐵心各向異性相對有效磁導率的頻變特性；然后通過有限元仿真獲得繞組電感和電阻的頻變特性；再在MATLAB 中建立頻變特性下繞組的狀態(tài)空間方程，通過解析模型獲得正常及軸向移位下繞組的頻率響應；最后通過實驗驗證模型的正確性。

1 頻變特性下繞組電氣參數(shù)計算

建立頻變特性下自耦變壓器繞組的頻率響應模型，首先要獲得繞組電氣參數(shù)的變化規(guī)律。通過分析變壓器鐵心導磁特性的頻變規(guī)律，均質(zhì)化建模獲得鐵心的相對有效磁導率；然后利用有限元軟件靜磁場計算繞組電感在1～1 000 kHz的變化規(guī)律，利用有限元軟件渦流場計算繞組電阻在1～1 000 kHz的變化規(guī)律。

1.1 鐵心的相對有效磁導率計算

首先在有限元仿真軟件Maxwell中利用渦流場對變壓器硅鋼片建模，仿真得到不同頻率下硅鋼片磁通密度分布，如圖1所示。由圖1可知：當頻率在1 kHz 以上時，硅鋼片受渦流效應的影響靠近邊界的磁通密度最大；在渦流場中計算得到，隨著頻率的增大硅鋼片的平均磁通密約由1.0 T 減小至0.1 T，說明硅鋼片的去磁效應影響不容忽略。

圖1 不同頻率下硅鋼片磁通密度分布

單層硅鋼片交變磁場中的各向異性如圖2所示。圖中：x，y和z為空間的3 個矢量方向；Bx，By和Bz分別為3 個方向下的磁通密度；Jx，Jy和Jz分別為3個方向下的電流密度。根據(jù)硅鋼片導磁原理，單層的硅鋼片處于1個交變的磁場空間中，磁通密度可以等效為3 個不同方向的磁通密度構(gòu)成其中“∧”表示復數(shù)形式；不同方向的磁通密度均為矢量。硅鋼片具有一定的導電率，因其處于交變的磁場中，由法拉第電磁感應定律可知，在硅鋼片x，y和z方向產(chǎn)生渦流

圖2 單層硅鋼片交變磁場中的各向異性

為了分析高頻下渦流效應對于硅鋼片導磁性能的影響，將硅鋼片非線性導磁特性B-H曲線線性化得到硅鋼片各向異性磁導率。硅鋼片導磁特性及導電特性可以表示為［12］

式中：B為磁通密度，T；μ為不同磁通密度下硅鋼片的磁導率；H為磁場強度，A·m-1；J為電流密度，A·m-2；σ為硅鋼片的電導率，S·m-1；E為電場強度，N·C-1。

硅鋼片導磁特性的各向異性可以表示為［13］

式中：μxx，μyy和μzz分別為硅鋼片在x，y和z方向工頻下的相對有效磁導率，其值可根據(jù)文獻［14］的均值化磁導率計算式獲得。

根據(jù)文獻［15］有效磁導率頻變特性的經(jīng)典計算式，硅鋼片不同方向下相對有效磁導率與頻率的關(guān)系式為

其中，

式中：μx，μy和μz分別為x，y和z方向不同頻率下的相對有效磁導率；μ'y和μ″y分別為y方向不同頻率下μy的實部和虛部值；th(·)為雙曲正切函數(shù)；b為單層硅鋼片的厚度，m；δy和δz分別為y和z方向的集膚深度，m；μ'z和μ″z分別為z方向不同頻率下μz的實部和虛部值；w為磁通密度的角頻率，rad·s-1；μ0為真空磁導率。

變壓器鐵心是由數(shù)量較多的硅鋼片在x方向壓疊制成的，如圖3所示。傳統(tǒng)的變壓器鐵心模型由無梯級硅鋼片壓疊制成，如圖3（a）所示；實際的變壓器鐵心多由含有梯級的硅鋼片壓疊制成，如圖3（b）所示。為了減少渦流損耗，單層硅鋼片均涂有絕緣層。

圖3 變壓器疊鐵心示意圖

設(shè)鐵心的疊片系數(shù)為α，則無梯級鐵心在x方向的相對有效磁導率μxr計算式［16］為

對于含有梯級鐵心的變壓器，在有限元建模中以單層硅鋼片為基礎(chǔ)建模不現(xiàn)實，需要對其進行均質(zhì)化建模。根據(jù)文獻［17］，含有梯級鐵心疊層硅鋼片和均質(zhì)化模型之間的磁阻等效計算式為

式中：μx（limb）為鐵心心柱均質(zhì)化后的有效磁導率；μx（yoke）為鐵心鐵厄均質(zhì)化后的有效磁導率；n為含梯級鐵心的梯級數(shù)量，級；ai為不同梯級的厚度，m；mi為鐵心心柱不同梯級下截面寬度，m；l為鐵心心柱的長度，m；k為鐵厄順磁方向長度，m。

由式（7）和式（8）可知，均質(zhì)化模型鐵心心柱及鐵厄的有效磁導率相等，即μx（limb）=μx（yoke）。由此可得鐵心心柱和鐵厄的相對有效磁導率計算式為

在y和z方向，由于磁通不會穿越硅鋼片的絕緣層，僅沿著單層硅鋼片導磁，因此不需要考慮絕緣層對于鐵心導磁性能的影響。根據(jù)文獻［17］可知，鐵心均質(zhì)化模型在y和z方向的相對有效磁導率僅與鐵心的疊片系數(shù)相關(guān)，分別為

本文的研究對象是1 臺10 kV/50 kVA 的自耦變壓器，其鐵心由分梯級的硅鋼片壓疊制成，硅鋼片型號為武漢寶鋼生產(chǎn)的B30P120。根據(jù)廠家提供的硅鋼片B-μ曲線，計算獲得硅鋼片在3 個方向工頻下的相對有效磁導率分別為μxx=μyy=24.92，μzz=426.00。變壓器的基本參數(shù)見表1，將鐵心參數(shù)帶入式（5）和式（6），計算獲得變壓器鐵心y和z方向下的相對有效磁導率頻變特性，如圖4所示。圖中：Uzz和Uyy分別表示鐵心在z和y方向的相對有效磁導率。由圖4可知，隨著頻率增大，鐵心相對有效磁導率逐漸減小。

表1 變壓器基本參數(shù)值

圖4 變壓器鐵心相對有效磁導率的頻變特性

1.2 頻變下繞組電感計算

根據(jù)獲得的不同頻率下鐵心相對有效磁導率，在Ansoft Maxwell軟件中建立疊鐵心自耦變壓器繞組三維有限元模型，如圖5所示。在有限元模型中設(shè)置鐵心材料各向異性，在靜磁場求解器計算獲得不同相對有效磁導率下電感。

圖5 自耦變壓器繞組及三維有限元模型

由于變壓器繞組電感與所加激勵無關(guān)，只和變壓器鐵心導磁性能、繞組材料以及匝數(shù)、尺寸相關(guān)，本文設(shè)置變壓器繞組激勵源是1 A 電流源，利用靜磁場能量原理計算不同繞組的電感以及繞組之間互感。其中，1個餅單元產(chǎn)生的磁場能量Wm為

式中：L為導體電感，mH；I為繞組輸入電流，A；v為單餅繞組幾何空間。

由式（13）推導出以餅為單元的導體電感L為

針對考慮梯級和未考慮梯級2 種情況，在有限元軟件中計算不同頻率時繞組的電感，以繞組第1餅線圈為例，繞組電感的頻變特性如圖6所示。由圖6可知：隨著磁導率的逐漸減小，繞組電感是逐漸減小的；掃頻頻率從1 kHz 增大至1 000 kHz 時不同位置繞組電感變化不一致，C 繞組的電感由1.5 mH減小至0.8 mH，減小約46.7%，S1繞組的電感由0.47 mH減小至0.26 mH，減小約44.68%，S2 繞組的電感由0.35 mH 減小至0.16 mH，減小約54.28%；考慮鐵心梯級影響后的電感比未考慮鐵心梯級影響時在數(shù)值上更為偏大，而根據(jù)電力行業(yè)標準DL/T 911—2004［18］知，頻率響應在中頻段的諧振點對于電感的變化具有較高靈敏性，因此對含梯級疊鐵心均質(zhì)化建模是有必要的。

圖6 不同位置繞組的電感頻變特性

1.3 頻變下繞組電阻的計算

10 kHz下繞組導體內(nèi)電流分布如圖7所示。由圖7可知：電流主要分布在導線的表面以及拐角處，這是由于高頻下導體鄰近效應和集膚效應的影響。在頻率響應建模中以餅為單元繞組的電阻R在大于1 kHz 時必然會發(fā)生改變，在有限元渦流場計算獲得繞組電阻頻變特性［8-9］，如圖8所示。由圖8可知：隨著頻率增大，繞組電阻逐漸增大，C 繞組導體電阻在1 000 kHz時變化最大，約為0.55 Ω，S2繞組在1 000 kHz時變化最小，約為0.10 Ω。

圖7 10 kHz下繞組導體內(nèi)電流分布

圖8 不同位置繞組的電阻頻變特性

2 解析模型構(gòu)建與驗證

2.1 頻變特性下繞組頻率響應建模

在PSPice/EMTP 中搭建傳統(tǒng)集總參數(shù)電路模型獲得的頻率響應，繞組的電感及電阻是固定不變的，無法反映電氣參數(shù)的頻變特性。因此，基于集總參數(shù)電路模型，以餅為單元建立繞組頻率響應的解析模型，將仿真得到的頻變特性下電氣參數(shù)帶入解析模型，通過MATLAB 解析獲得頻變特性下繞組頻率響應。根據(jù)基爾霍夫定律建立以電感電流Ii，節(jié)點電壓Ui為狀態(tài)變量的繞組狀態(tài)方程為

其中，

G=2πfCtanδ

式中：M和M1均為由-1，0，-1 組成的系數(shù)矩陣，兩者互為轉(zhuǎn)置矩陣并乘以-1；I和U分別為包含所有節(jié)點的電流、電壓列向量；t為時間變量，s；C和L為基于有限元計算所得的電容矩陣和電感矩陣；G為電導矩陣；R為電阻矩陣；tanδ為導體絕緣介質(zhì)損耗角，（°）。

在繞組模型的外部節(jié)點處注入不同頻率下的輸入電壓Ufi，并將其作為已知變量，在另1節(jié)點處獲得繞組掃頻響應，對式（15）變換，得到頻變下繞組狀態(tài)空間方程為

式中：M2為系數(shù)矩陣M去掉第i行的系數(shù)矩陣；If為不同頻率下的電流列向量；f為頻率；Uf′為提出Ufi后的電壓列向量；Ufi為不同頻率下輸入節(jié)點電壓；C1和G1分別為電容矩陣C和電導矩陣G去掉第i行、第i列的參數(shù)矩陣；Ci為電容矩陣C去掉第i行之后的第i列向量；Gi為電導矩陣G去掉第i行之后第i列向量；P為系數(shù)矩陣M去掉第i行后的第i列向量；M3為M1去掉第i列向量之后的系數(shù)矩陣；Lf和Rf為基于有限元計算的不同頻率下的電感矩陣和電阻矩陣。

對式（16）化簡得到

式中：C1-1為C1的逆矩陣；Lf-1為Lf的逆矩陣。

對式（16）進行拉普拉斯變換，得到所有節(jié)點相對于輸入節(jié)點的傳遞函數(shù)矩陣為

式中：H（s）為繞組傳遞函數(shù)；s為時域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)時的參數(shù)。

為了驗證上述建模方法的有效性，針對10 kV/50 kVA 的自耦變壓器，在MATLAB 中建立含有144 階的狀態(tài)空間方程，將不同頻率下的電感矩陣、電阻矩陣帶入解析模型，獲得頻變特性下繞組的頻率響應。然后通過實驗驗證模型的正確性，實驗所采用的頻率響應測試儀為Megger 公司的FRAX99，頻率測量范圍為1～1 000 kHz，輸出阻抗為50 Ω，測量電壓為±10 V。

2.2 頻率響應及模型驗證

正常情況下變壓器繞組的實測與仿真頻率響應數(shù)據(jù)對比如圖9所示。由圖9可知：考慮頻變特性下解析獲得頻率響應和實測整體趨勢一致，其主要諧振點吻合度較高；未考慮頻變特性下的頻率響應，在低頻段（50～100 kHz），諧振點比實測和考慮頻變特性下多出2 個諧振點；在中頻段（100～600 kHz），未考慮頻變特性下頻率響應比實測要多出8 個諧振點，其主要特征諧振點1 和2 的頻率明顯向右偏移，和實測差距較大；在高頻段（600～1 000 kHz），諧振點吻合也較低，出現(xiàn)多個誤差諧振點，諧振點4明顯向右偏移。

圖9 正常情況下實測與解析頻率響應對比

正常情況下實測與解析頻率響應諧振點頻率偏移誤差見表2。由表2可知：考慮頻變特性實測與解析頻率響應諧振頻率最大誤差約為-3.35%；而未考慮頻變特性下選取的5個諧振點頻率偏移誤差最大為-38.47%，同一諧振點頻率偏移誤差遠大于考慮頻變后的誤差。造成這種差異主要是由于在頻率大于50 kHz時，各繞組的電感均減小約25%，因此在中頻段和高頻段未考慮頻變特性仿真獲得的電感和實際值誤差較大，導致諧振點偏移誤差大以及出現(xiàn)多個誤差諧振點。在FRA建模過程中，繞組參數(shù)的頻變特性對于頻率響應的影響不能被忽略。

表2 正常情況下實測與解析頻率響應諧振點頻率偏移誤差

軸向移位下實測與仿真頻率的響應對比如圖10 所示。由圖10 可知：軸向移位下解析和實測頻率響應變化趨勢一致，諧振點吻合較高。計算獲得軸向移位下實測與解析頻率響應諧振點頻率偏移誤差，見表3。由表3可知：軸向移位下解析與實測頻率響應曲線第2 個諧振點頻率偏移量最大僅為5.42%，表明故障下所建立的FRA 模型同樣是有效的，可應用于檢測繞組故障。

圖10 軸向移位下實測與解析頻率響應對比

表3 軸向移位下實測與解析頻率響應諧振點頻率偏移誤差

為了分析疊鐵心有無梯級對于頻率響應模型的影響，分考慮鐵心梯級影響和不考慮鐵心梯級影響2 種情況，將獲得的電感帶入頻變特性下的解析模型，解析得到變壓器疊鐵心梯級對頻率響應的影響如圖11 所示。由圖11 可知：未考慮疊鐵心梯級影響時，建模獲得的頻率響應曲線與實測曲線的整體趨勢基本一致，但是諧振點偏移誤差要比考慮疊鐵心梯級影響時的更大。

圖11 變壓器疊鐵心梯級對頻率響應的影響

頻變特性下，考慮疊鐵心梯級影響后的諧振點頻率偏移誤差見表4。由表4可知：未考慮疊鐵心梯級影響時，頻率響應在中頻段第2 諧振點偏移誤差最大為-7.9%；考慮疊鐵心梯級影響后，頻率響應諧振點偏移誤差最大僅為-3.35%；考慮變壓器疊鐵心梯級影響后獲得的頻率響應準確度更高。

表4 頻變特性下考慮疊鐵心梯級影響后的諧振點頻率偏移誤差

3 結(jié) 論

（1）變壓器疊鐵心各向異性相對有效磁導率隨著頻率的增大逐漸減小，繞組電感也隨著頻率的增大而減小，而繞組電阻逐漸增大，這是由于高頻下受集膚效應和鄰近效應的影響。

（2）對于考慮頻變特性的繞組模型，仿真獲得的頻率響應和實測曲線整體趨勢基本一致，諧振點頻率誤差最大值僅為-3.35%，而未考慮頻變特性下諧振點頻率誤差達到-38.47%，實驗驗證了本文建立模型的正確性，表明該模型能夠極大地提高頻率響應解析的準確性；解析獲得軸向移位5%故障下繞組的頻率響應曲線，其主要諧振點與實測的吻合度較高，頻率誤差最大約為5.42%，表明該建模方法也適用于繞組故障下頻率響應建模。

（3）未考慮疊鐵心梯級影響時的頻率響應曲線整體趨勢與實測曲線一致，但是部分諧振點頻率偏移量相對較大，最大誤差約為-8.48%，而考慮疊鐵心梯級影響后頻率響應諧振點最大誤差僅為-3.35%，因此，考慮疊鐵心梯級的影響和頻變特性，可提高繞組頻率響應的建模精確度。