吳韜，莫時旭，鄭艷

(桂林理工大學(xué) 土木與建筑工程學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引 言

隨著鋼材強(qiáng)度提高，鋼結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用越來越廣泛，同時由于其加工性能的改善，鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)逐漸趨于輕型化、薄壁化，薄板鋼結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問題也越來越受到重視。在工程中，如方鋼管混凝土柱的側(cè)板、部分充填混凝土-鋼箱組合梁的腹板和頂板等鋼板都易“鼓包”，從而發(fā)生局部屈曲，因此建立相關(guān)局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式，研究合理的截面尺寸具有重要的意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度出發(fā)，提出多種矩形薄板屈曲問題研究方法。XIANG Y[1]和詹豪等[2]分別利用狀態(tài)-空間向量法研究了剛性和彈性支承上連續(xù)矩形板的屈曲問題；黃小林等[3]基于Galerkin法(伽遼金法)計(jì)算了不同組合邊界條件下復(fù)合材料板動力穩(wěn)定問題的臨界屈曲荷載；談梅蘭等[4]利用Galerkin法求解了拋物線和余弦曲線分布壓力下四邊簡支矩形板的屈曲問題；史旭東等[5]、甘立飛等[6]運(yùn)用有限元法研究了矩形薄板在面內(nèi)非均勻壓力下的屈曲問題。

薄板屈曲的另一大主流研究方法是能量法，主要是Rayleigh-Ritz法(瑞利-里茲能量法)。根據(jù)屈曲模態(tài)不同，矩形薄板的屈曲理論可分為兩類。一類是雙向屈曲問題：Timoshenko等[7]利用能量法研究了周邊不同邊界條件下，受面內(nèi)不同作用力的矩形薄板彈性屈曲理論模型；QIAO P Z等[8-9]根據(jù)屈曲模態(tài)提出多種撓曲面函數(shù)，研究了四邊受均布壓力四邊彈性轉(zhuǎn)動約束矩形板的屈曲和受剪切荷載兩對邊簡支兩對邊彈性轉(zhuǎn)動約束矩形板的臨界屈曲荷載；劉沐宇[10]采用里茲法推導(dǎo)了彈性轉(zhuǎn)動約束的鋼混組合梁腹板在彎曲、剪切荷載單獨(dú)作用下的臨界屈曲應(yīng)力。另一類是單向屈曲問題：H.D.Wright[11]研究了鋼管約束混凝土的局部屈曲問題；毛佳等[12]運(yùn)用里茲能量法獲得了彈性支承上非加載邊彈性轉(zhuǎn)動約束均勻受壓矩形板的臨界荷載計(jì)算公式；鄭艷等[13]研究了剛性支承上非加載邊彈性轉(zhuǎn)動約束受面內(nèi)線性壓力作用下的矩形板局部屈曲問題。

國內(nèi)外學(xué)者對彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束邊界受面內(nèi)線性壓力作用矩形薄板的屈曲問題研究尚少，對于復(fù)雜邊界條件下的壓屈問題多依賴試驗(yàn)和有限元數(shù)值分析[14-15]，這使得參數(shù)分析有較大局限性。獲得具有彈性支承和彈性轉(zhuǎn)動約束邊界薄板受線性壓力下的屈曲系數(shù)解析解，研究滿足該邊界條件的理論公式極具意義，因此，本文運(yùn)用Rayleigh-Ritz法探究彈性支承上邊界彈性轉(zhuǎn)動約束薄板的屈曲模式，獲得臨界屈曲系數(shù)的理論計(jì)算公式，并采用殼單元和彈簧單元建立相關(guān)有限元模型，驗(yàn)證本文理論計(jì)算的適用性和正確性，還對不同支承剛度、不同轉(zhuǎn)動約束剛度下的臨界屈曲系數(shù)進(jìn)行了參數(shù)分析。

1 彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束線性受壓矩形薄板屈曲分析

1.1 計(jì)算模型以及撓曲面函數(shù)的選取

使用靜力法求解板的屈曲問題，對相應(yīng)荷載和邊界條件下的薄板彎曲平衡微分方程(1)求積分，可得到薄板的撓曲面函數(shù)，

(1)

作為高階偏微分方程，求解比較困難。瑞利-里茲法(Rayleigh-Ritz Method)作為應(yīng)用勢能駐值原理求解穩(wěn)定問題的一種近似方法，采用具有廣義坐標(biāo)的位移函數(shù)近似代替真實(shí)的位移曲面方程，也即將泛函變分問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)極值問題，將求解偏微分方程變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程來處理。

為了滿足彈性轉(zhuǎn)動約束的邊界條件，選取撓曲面函數(shù)必須滿足一定條件。如圖1所示，通過選取帶參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)模擬y方向上的彈性轉(zhuǎn)動邊界[9]，選取一般三角級數(shù)模擬x方向上的簡支邊界和雙向屈曲模態(tài)，則彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束矩形薄板壓屈時面外位移函數(shù)為

(2)

其中，

(3)

(4)

式(3)中，為了構(gòu)造彈性邊界的特征函數(shù)，考慮冪級數(shù)[12]

(5)

將式(5)代入式(3)，再將式(3)與式(4)代入式(2)，可得彈性轉(zhuǎn)動約束受壓矩形薄板的撓曲面函數(shù)

(6)

式中：w為撓曲面函數(shù)；m，n分別為x，y方向的屈曲半波數(shù)；am為廣義坐標(biāo)；a為板長；b為板寬；N為薄板非加載邊的邊界條件方程個數(shù)。

如圖1所示，矩形薄板厚度為t；彈性支承剛度為k0；非加載邊y=0，y=b的彈性轉(zhuǎn)動約束剛度為ky。為方便分析，假設(shè)薄板底面和上下邊界均布兩種剛度的彈簧，則底面和上下邊單個彈簧剛度的量綱為[力]/[長度]。

圖1 彈性支承上雙邊彈性轉(zhuǎn)動約束矩形薄板受壓屈曲模型Fig.1 Local compressive buckling mode of rectangular plate with rotationally restrained sides on elastic base

加載邊x=0，x=a受面內(nèi)荷載Nx作用，沿作用邊線性分布，單位板寬的荷載表達(dá)式為

(7)

(8)

其中，λ=(σ0-σb)/σ0為荷載梯度。

顯然該位移函數(shù)滿足加載邊面外位移為0的邊界條件。根據(jù)非加載邊受彈性轉(zhuǎn)動約束的邊界條件，面外位移為0且板邊彎矩與約束力矩相等，即滿足

(9)

(10)

(11)

根據(jù)非加載邊的邊界條件方程個數(shù)，式(6)中N=4，可改寫為

(12)

式中：m為x方向的屈曲半波數(shù)；a0～a4由式(9)確定。

將式(12)代入式(9)～(11)，求出待定系數(shù)a0～a4，則撓曲面函數(shù)可表示為

(13)

式中：bm=a1am；χ2為無量綱彈性支承剛度系數(shù)，

(14)

1.2 壓屈薄板各部分能量及其變分

彈性支承的支承勢能為

(15)

對式(5)求一階變分為

(16)

薄板產(chǎn)生彈性屈曲變形的彎曲應(yīng)變能為

(17)

對式(17)求一階變分為

(18)

上下邊界受彈性轉(zhuǎn)動約束的勢能為

式(19)的一階變分為

(20)

面內(nèi)線性壓力荷載所做的功為

(21)

對式(21)求一階變分，即

(22)

根據(jù)最小勢能原理有

(23)

其中，Π=Uk+Ue+UΓ-WN，為薄板產(chǎn)生屈曲變形時的總勢能。于是

(24)

將求解泛函變分問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于bm的特征值問題，由式(24)得關(guān)于bm的一個線性方程組。為使線性方程組存在非0解，其系數(shù)矩陣的行列式必須為0，由此可求得矩形薄板在線性壓力作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nx，

(25)

單位厚度的線性荷載

(26)

其中，κ為屈曲系數(shù)。

2 彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束矩形薄板線性受壓屈曲參數(shù)分析

2.1 矩形薄板線性受壓臨界屈曲系數(shù)解析解

為了方便描述薄板單元的屈曲行為，利于后續(xù)參數(shù)化研究，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，引入以下無量綱彈性支承剛度系數(shù)

(27)

將式(13)代入式(15)～(24)，獲得彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動邊界線性受壓矩形薄板的屈曲系數(shù)解析解

(28)

由此可見，κ是關(guān)于半波數(shù)m、剛度系數(shù)(χ1，χ2)、長寬比γ和荷載梯度λ的函數(shù)。

取λ=1，當(dāng)χ1，χ2為各種情況時，根據(jù)式(28)對每一半波m=1,2,3，…繪制出κ與γ的關(guān)系曲線，如圖2所示。χ1=χ2=0時，板的臨界屈曲系數(shù)約為8.003。

各屈曲半波數(shù)m和縱橫比γ相關(guān)，若m=p-1與m=p兩支曲線相交，則令

(29)

其中，p-1為前一半波數(shù)。曲線交點(diǎn)(γp-1,p,κp-1,p)應(yīng)滿足式(27)。代入式(26)，可得

(30)

(31)

(32)

其中，式(32)為對p(γ)取整。

當(dāng)給定屈曲半波數(shù)p-1，p時，式(30)給出矩形薄板κ-γ曲線交點(diǎn)縱橫比γ；同樣，不論縱橫比γ如何取值，矩形薄板在x方向的屈曲半波數(shù)始終等于整數(shù)m。以圖2(a)為例，p=4時，由式(30)計(jì)算可得γ(4)=(31/21)1/4π≈3.463，即半波數(shù)m=3，4圖像分支交點(diǎn)橫坐標(biāo)為3.463；γ=4.8時，由式(29)計(jì)算可得p(4.8)=5.328，取整得m=5，顯然薄板的屈曲半波數(shù)為5。

圖2 κ與γ關(guān)系曲線Fig.2 Relation curves between κ and γ

2.2 矩形薄板線性受壓屈曲強(qiáng)度參數(shù)分析

當(dāng)Nx取得最小值(Nx)cr時，縱橫比為γcr。令?κ/?γ=0，代入式(28)得

(33)

將式(33)代入式(28)，得到臨界屈曲系數(shù)

(34)

根據(jù)式(28)，利用基本不等式求解κ對γ的極小值，

(35)

2.2.1γcr與χ1,χ2的關(guān)系

由式(33)可得m=1時臨界長寬比γcr與剛度系數(shù)χ1,χ2的關(guān)系曲線，如圖3所示。χ2=0,χ1=0,10,100時，γcr分別為1.000，0.549，0.315。由此可見，相同屈曲半波數(shù)時，γcr隨著χ1,χ2的增大而減小。χ1一定時，γcr隨著χ2的增大而減?。沪?增大時，γcr-lgχ2曲線整體下降，且γcr的變化幅度減緩；當(dāng)χ1增大到100時，γcr幾乎不隨χ2變化成為定值0.31，可見剛度系數(shù)χ1比χ2對γcr的影響很大。

圖3 γcr與χ1,χ2的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curves betweenγcrandχ1、χ2

2.2.2κcr與χ1,χ2的關(guān)系

由式(34)得到λ=1時臨界屈曲系數(shù)κcr與剛度系數(shù)χ1,χ2的關(guān)系曲線，如圖6所示。對χ2采用對數(shù)坐標(biāo)，可以看出每一條κcr-lgχ2曲線都存在上、下兩條漸近線，分別代表矩形薄板邊界固支和簡支時的臨界屈曲系數(shù)κcr。

以χ1=0為例，χ2<0.8時，κcr趨近于下界漸近線，由表1可知，此時κcr取簡支邊界(χ2=0)的κcr值，誤差為6.56%；χ2>100時，κcr趨近于上界漸近線，由表2可知，此時κcr取固支邊界(χ2=∞)的κcr值，誤差為3.75%。由此可見，χ2<0.8的板可視作簡直邊界板；χ2>100的板可視作固支邊界板。

表1 簡支邊界κcr的取值誤差Tab.1 Simply-supported boundary value errors of κcr

表2 固支邊界κcr的取值誤差Tab.2 Clamped-supported boundary value errors of κcr

χ2取0.8～100時，κcr隨χ2的增大而顯著提高，且κcr與lgχ2呈近似線性關(guān)系，如圖6(a)，利用線性回歸得到簡化回歸公式

圖6 κcr與χ1，χ2的關(guān)系曲線Fig.6 Relation curves between κcr and χ1 、χ2

(36)

將式(36)代入式(26)，得到矩形薄板的受壓屈曲強(qiáng)度

不同彈性支承剛度系數(shù)χ1、不同荷載梯度λ下，板的屈曲強(qiáng)度系數(shù)與彈性邊界轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)χ2存在明顯差異，χ1和λ取值為各種情況時，板的臨界屈曲系數(shù)計(jì)算公式如表3所示。

表3 特定支承剛度系數(shù)下薄板屈曲強(qiáng)度系數(shù)κcrTab.3 Buckling coefficient κcr of plates under specific support stiffness coefficient

2.2.3κcr與λ的關(guān)系

由式(34)可得剛度系數(shù)χ1,χ2各種情況時臨界屈曲系數(shù)κcr與λ的定量關(guān)系，如圖4所示。λ=0，即矩形薄板均勻受壓情況下，χ1=0,χ2=0,10,100時，κcr分別為4.002,5.600,6.728，κcr隨χ2增大而遞增；當(dāng)χ2=0、χ1=0,10,100時，κcr分別為4.002,8.634,22.100，κcr隨χ1增大而遞增，且增長幅度遠(yuǎn)大于χ2對κcr的影響。對于圖中的每一支曲線，λ=0時，臨界屈曲系數(shù)κcr最小，且隨著λ增大κcr逐漸提高；對于χ1=χ2=0，當(dāng)λ=100.2≈1.58時，κcr迅速提高，取對數(shù)后變化趨勢更加明顯，這是因?yàn)榫匦伪“迨芾瓍^(qū)顯著增大，從而抑制了薄板的受壓屈曲。

圖4 κcr與λ的關(guān)系曲線Fig.4 Relation curves betweenκcr and λ

荷載梯度λ不同，矩形薄板受載邊面內(nèi)受壓形式存在差異。以λ=0,2/3,1,4/3為例，受載邊壓力形式如圖5所示。λ>1時，受載邊同時受壓力和拉力作用。

圖5 幾種不同面內(nèi)受壓薄板Fig.5 Several plates under in-plane compression

3 有限元分析

3.1 有限元模型的建立

采用有限元軟件ANSYS，分析在彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束受壓矩形薄板的屈曲問題，并與本文理論解比較分析其適用性。薄板模型采用Shell63四節(jié)點(diǎn)彈性殼單元；對于彈性轉(zhuǎn)動邊界和彈性支承基底約束，采用兩種Combin14彈簧-阻尼器單元，單元屬性分別定義沿板邊的轉(zhuǎn)動自由度(Rotx)和垂直于板面方向的自由度(Uz)，使彈簧單元只有繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動剛度或沿坐標(biāo)軸的軸向拉壓剛度。Combin14單元為二節(jié)點(diǎn)單元，在構(gòu)造彈簧時，應(yīng)完全約束其中一個節(jié)點(diǎn)的自由度。

為滿足多參數(shù)重復(fù)分析的需要，利用ANSYS參數(shù)化設(shè)計(jì)語言APDL編寫建立模型和特征值屈曲分析的命令流程序。首先生成全部節(jié)點(diǎn)，然后建立相關(guān)單元，集成相關(guān)參數(shù)的控制面板，能方便快捷地建立有限元模型。設(shè)定主要參數(shù)為χ1，χ2和γ，通過變換不同參數(shù)，計(jì)算不同約束條件下的受壓屈曲荷載。薄板的彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，板厚t=0.003 m。為方便起見，板寬b取定值1 m，根據(jù)薄板的長寬比γ確定板長a。在模型中，沿x軸方向的板邊為彈性轉(zhuǎn)動約束邊界，同時板四邊簡支，對于不與薄板相連的彈簧單元節(jié)點(diǎn)，約束其全部自由度。

圖7為λ=0，χ1=10時κcr-lgχ2的理論解和有限元數(shù)值模擬結(jié)果對比，可以看出理論解和有限元結(jié)果趨勢一致，χ2<10時，誤差很??；χ2較大時，理論解和有限元解的誤差偏大，但整體誤差不超過1.43%，兩者吻合良好，本文理論計(jì)算公式可以滿足工程精度要求。

圖7 κcr-lgχ2計(jì)算結(jié)果對比(λ=0,χ1=10)Fig.7 Comparison of κcr-lgχ2 calculation results

圖8給出了彈性支承、彈性轉(zhuǎn)動約束薄板線性受壓屈曲的典型模態(tài)，λ=0，γ=3，χ1=χ2=10時發(fā)生6個屈曲半波。根據(jù)式(31)，令γ=3，p(3)=6.227，取整得m=6，與有限元模擬結(jié)果一致。此時板的臨界屈曲特征值為47 197.4 N/m，相應(yīng)臨界屈曲系數(shù)為9.21。

圖8 矩形薄板受壓屈曲模態(tài)Fig.8 Pressure bulking modes of rectangular plate

3.2 理論解的優(yōu)化

表4為修正前理論解和有限元數(shù)值解的結(jié)果比較。由表4可知，當(dāng)λ在較小范圍內(nèi)時，理論界與有限元解的誤差較小，λ>1時，兩者誤差明顯增大，并且隨著χ1增大會產(chǎn)生更大誤差。這是因?yàn)椋?0時，薄板受均勻壓力作用，屈曲發(fā)生面外的位移區(qū)域在整個薄板平面內(nèi)，這與假定的薄板撓曲面函數(shù)式(11)吻合一致；隨著λ增大，薄板不再受均勻壓力作用，當(dāng)0<λ<1，λ=1，λ>1時分別受如圖9所示的梯形荷載作用、三角荷載作用和拉壓同時作用，此時薄板屈曲發(fā)生面外位移的區(qū)域不在整個板平面內(nèi)，而是在局部壓力較大的區(qū)域，如圖9(d)所示，發(fā)生屈曲區(qū)域集中在受壓較大的y=0側(cè)，這與構(gòu)造的撓曲面形函數(shù)不完全吻合，從而導(dǎo)致理論解的臨界屈曲系數(shù)偏大。

圖9 荷載梯度各情況下有限元模擬(χ1=100,χ2=10)Fig.9 FEM simulations of several load gradients

表4 修正前理論解與有限元數(shù)值結(jié)果對比Tab.4 Comparisons between theoretical solution and finite element numerical results before revise

通過對比研究理論解和有限元解，修正后的臨界屈曲系數(shù)公式為

(38)

(39)

aa 中：err為λ和χ1的函數(shù)；a為χ1的函數(shù)，

(40)

(41)

λ=1,4/3時，修正后的理論解與有限元結(jié)果對比見表5，誤差在4.7%內(nèi)，可滿足工程精度要求。

表5 修正后理論解與有限元數(shù)值結(jié)果對比Tab.5 Comparisons between the modified theoretical solution and the finite element numerical results after revise

4 結(jié) 論

(1)提出滿足矩形薄板受面內(nèi)線性壓力屈曲變形特點(diǎn)的撓曲面函數(shù)，通過利用瑞利-里茲能量變分法導(dǎo)出了彈性支承上彈性轉(zhuǎn)動約束矩形薄板在線性壓力荷載作用下的臨界屈曲系數(shù)理論計(jì)算公式，形式簡潔，便于應(yīng)用，為進(jìn)一步分析勻質(zhì)矩形薄板在復(fù)雜邊界條件下的壓屈問題提供了理論依據(jù)。

(2)通過對屈曲理論解求極值，分析了臨界屈曲系數(shù)隨χ1，χ2的變化規(guī)律，并建立相應(yīng)有限元分析模型，結(jié)果顯示，λ<2/3時，誤差不超過2%；荷載梯度較大時，采用帶有修正項(xiàng)的臨界屈曲系數(shù)，此時與有限元解的誤差小于4.7%，證實(shí)了本文理論計(jì)算的可行性。

(3)在雙剛度系數(shù)的參數(shù)分析中，基底支承剛度χ1比雙邊彈性轉(zhuǎn)動約束剛度χ2對臨界屈曲荷載的影響大，板件寬厚比一定時，提高彈性支承剛度可大大提高矩形薄板的抗屈能力。彈性轉(zhuǎn)動約束剛度系數(shù)χ2在0.8～100內(nèi)對矩形薄板受壓穩(wěn)定性能影響顯著，χ2<0.8時，可視為簡支邊界，χ2>100時，可視為固支邊界，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中薄板屈曲的邊界條件應(yīng)按彈性轉(zhuǎn)動約束考慮。