康 顥， 沈 瑤， 王博文， 趙彥珍

（西安交通大學電氣工程學院，西安 710049）

0 引 言

線性動態(tài)電路是電路理論中的重要內(nèi)容。對線性動態(tài)電路進行暫態(tài)分析，通常需要列寫并求解線性微分方程，隨著電路階數(shù)的逐漸增高，手工求解的難度也會急速增大［1］。隨著計算機技術的飛速發(fā)展，功能強大的科學計算軟件如Matlab提供了新的解決方案，例如文獻［2］中利用拉氏變換手工列寫電路方程，借助Matlab進行輔助計算和繪制響應曲線；文獻［3］中采用系統(tǒng)法手工列寫電路的狀態(tài)方程，借助Matlab的符號運算功能進行求解。這些研究為解決線性動態(tài)電路問題提供了很好的思路，本文將在這些研究的基礎上，使用Python設計并實現(xiàn)一個可視化電路分析軟件，實現(xiàn)對存在換路過程的任意階線性動態(tài)電路的自動分析。

Python作為一種解釋型的高級語言，具有良好的可擴展性和可移植性，擁有豐富的第3方庫，其中不乏各種優(yōu)秀的科學計算庫［4-5］。本文所設計實現(xiàn)的軟件，其主要功能包括：①利用基爾霍夫電流定律（Kirchhoff’s Current Law，KCL）和支路電壓電流關系（Voltage Current Relation，VCR），自動求解任意階線性動態(tài)電路在穩(wěn)態(tài)下的結點電壓和支路電流；②利用狀態(tài)方程和龍格庫塔法，自動計算任意階線性動態(tài)電路中任一電壓或電流的時域數(shù)值解；③借助圖形化的用戶界面，進行電路原理圖的交互式繪制及計算結果的可視化顯示等。

1 實驗原理介紹

以圖1為例介紹動態(tài)電路的分析方法。

圖1 示例動態(tài)電路

1.1 電路的穩(wěn)態(tài)求解

在t=0-時刻，電路處于穩(wěn)態(tài)，可將電容元件視為開路，電感元件視為短路，開關根據(jù)其類型視為相應的開路或短路。圖1所示電路在t=0-時刻的穩(wěn)態(tài)電路如圖2所示。

圖2 t=0-時刻的穩(wěn)態(tài)電路

設此時電路中結點數(shù)量為n，元件數(shù)量為b。設電路中結點電壓uk（k=1，2，…，n-1）和元件支路電流ik（k=1，2，…，b）為未知量。為簡便起見，將每個元件視作一條支路，且元件電壓和電流取關聯(lián)參考方向。

對除去0號參考結點之外的n-1個結點列寫出共n-1個獨立KCL方程：

式中：bj為與結點j關聯(lián)的元件個數(shù)；ijk為與結點j關聯(lián)的元件上電流的代數(shù)值，流出取正，流入取負。

根據(jù)元件的VCR，對b個元件可列寫出共b個方程。以圖1所示電路為例，電阻、電壓源和電流控制電壓源（Current Controlled Voltage Source，CCVS）的VCR方程分別為：

其中：Ri為電阻阻值；upos、uneg分別為元件兩端的結點電壓；r為CCVS的控制系數(shù)；icid為CCVS的控制電流。

未知量數(shù)與獨立代數(shù)方程數(shù)均為n-1+b。根據(jù)線性代數(shù)理論可知，解此方程組即可得到電路在t=0-穩(wěn)態(tài)下的各結點電壓和支路電流。得到在t=0-時刻的各電容電壓u Cj（0-）和電感電流iLj（0-）。

1.2 電路的動態(tài)求解

圖1所示電路中，t=0時刻開關S1閉合，S2斷開。設換路后的電路結點數(shù)量為n′，元件數(shù)量為b′，其中包含p個電容和q個電感，其狀態(tài)方程的標準形式為：

與電路的穩(wěn)態(tài)求解類似，對于除參考結點外的n′-1個結點列寫n′-1個KCL方程，對于所有非動態(tài)元件列寫b′-p-q個VCR方程。對于每個電容元件，需要列寫兩個方程：

式（6）為電容兩端電壓，式（7）為流過電容的電流；對于每個電感元件，需列寫方程：

式（8）為流過電感的電流，式（9）為電感兩端電壓。

至此，共列寫了n′-1+b′+p+q個獨立方程，而此時未知量共有n′-1+b′+2p+2q個，包括n′-1個結點電壓uk、b′個支路電流、p個電容電壓uCj及其p個導數(shù)個電感電流iLj及其q個導數(shù)由于未知量數(shù)恰比獨立方程數(shù)多p+q，根據(jù)線性代數(shù)理論可知，若將p個電容電壓uCj和q個電感電流iLj視為參量后解方程組，可關于狀態(tài)向量的函數(shù)，且各函數(shù)均為uCj，iLj的線性組合加一常數(shù)項的形式：

根據(jù)換路定則，在換路前后電容電流和電感電壓為有限值的條件下，由1.1節(jié)計算的穩(wěn)態(tài)解，可得到狀態(tài)變量的初始值，即uCj（0+）=uCj（0-），iLj（0+）=iLj（0-）。

根據(jù)狀態(tài)方程及狀態(tài)變量的初值，利用龍格庫塔法即可得到各狀態(tài)變量在時域內(nèi)的數(shù)值解，進而可求出電路中任一電壓或電流的解。

2 軟件設計

軟件共分為4大部分：電路分析（SOLVER）、用戶界面（UI）、電路計算流程（CORE）和啟動器（STARTER）模塊。其中，SOLVER模塊用于對處理后的電路進行最基本的穩(wěn)態(tài)或動態(tài)分析；UI模塊負責與用戶進行交互式操作；CORE模塊是對SOLVER和UI模塊的整合運用，同時負責兩個模塊之間的數(shù)據(jù)轉換與傳遞；STARTER是整個程序的入口，負責UI和CORE模塊的初始化及啟動。程序各部分間的關系結構如圖3所示。

圖3 程序架構

2.1 電路分析模塊（SOLVER）

電路分析模塊由3部分組成：分析器（ANALYZER）、電路元件模塊（ELEMENT）和公用模塊（COMMON）。其中，分析器包含穩(wěn)態(tài)分析器（STEADY）和動態(tài)分析器（DYNAMIC），穩(wěn)態(tài)分析器用于對穩(wěn)態(tài)的電阻電路進行結點電壓和支路電流的求解，動態(tài)分析器用于在給定動態(tài)電路初始條件的前提下對其進行暫態(tài)分析；電路元件模塊包含一系列理想電路元件類，每種元件類都包含相應的元件參數(shù)和附加VCR方程作為類的屬性；公用模塊包含一些常用的工具類或方法。模塊結構如圖4所示。

圖4 電路分析模塊結構

2.1.1 線性代數(shù)方程組的求解

在電路穩(wěn)態(tài)和動態(tài)求解中，分別需要對不含符號參數(shù)和含符號參數(shù)的線性代數(shù)方程組進行求解。對于這兩種計算情境，可使用SymPy這一用于符號計算的第3方庫。具體實現(xiàn)為調(diào)用sympy.solvers.solvers.solve函數(shù)對方程組進行求解，其內(nèi)部會將線性方程組先轉化為標準的矩陣形式Ax=b，再使用高斯消元法求解［7］。

2.1.2 非齊次線性微分方程組的數(shù)值求解

2.2 用戶界面模塊（UI）

用戶界面一方面用于輸入電路結構參數(shù)，另一方面用于圖形結果顯示。軟件采用了第3方Pygame庫進行用戶界面的開發(fā)，其優(yōu)勢在于繪圖函數(shù)豐富全面、開發(fā)靈活度較高。

用戶界面模塊的結構如圖5所示，主要由7個子模塊構成：渲染器（RENDERER）、電路繪制面板（BOARD）、命令輸入欄（PROMPT）、狀態(tài)欄（STATUSBAR）、結果顯示欄（RESULTBAR）、管理器（MANAGER）和圖像繪制器（PLOTTER）。其中渲染器負責各窗體控件的繪制與渲染；管理器負責對用戶發(fā)出的鼠標操作或輸入的命令進行解釋和執(zhí)行，并對各控件進行數(shù)據(jù)更新，起到管理全局的作用。

圖5 用戶界面模塊結構

用戶界面的運行流程如圖6所示，在程序主循環(huán)中，對事件隊列進行遍歷，根據(jù)事件的類型進行相應操作；直至事件隊列為空，繪制各控件并更新窗口畫面，開始新一輪的循環(huán)過程。

圖6 用戶界面運行流程

本文開發(fā)的用戶界面如圖7所示，用戶可通過鼠標操作或在命令輸入欄中輸入命令的方式，在電路繪制面板上繪制待分析的電路原理圖，并進行電路自動分析及結果顯示。本軟件涉及的各項命令見表1。

表1 各命令行的名稱及功能

圖7 用戶界面布局

2.2.1 電路結構參數(shù)輸入

對于只包含二端元件的電路，可以將其抽象成一個有向圖G=（V，E），其中點集V與電路中各結點對應，邊集E與各元件對應。本軟件采用鄰接表存儲有向圖［10］，其優(yōu)勢在于時空復雜度一般較低，且編碼難度低，使用Python中的嵌套列表即可實現(xiàn)。

針對電路結點編號，軟件采用了并查集這一用于處理若干不交集的合并與查詢問題的數(shù)據(jù)結構進行處理［11］。對于一個僅含有b個二端元件的電路，若忽略其導線，則該電路對應的有向圖初始包含2b個頂點，每個頂點單獨成一集合。連接導線的過程可視為使用并查集合并點集的過程。當所有合并操作完成后，統(tǒng)計每個點集的代表元素，再重新分配連續(xù)編號即可。

2.2.2 繪制響應曲線

繪制響應曲線采用了第3方繪圖庫Matplotlib［12］，其提供了功能齊全的圖像可視化操作界面。借助該操作界面，用戶可對結果圖像進行各種高級操作，如選定區(qū)域放大、設置光標及導出圖像等。

2.3 電路計算流程模塊（CORE）

電路計算流程模塊在整合運用SOLVER和UI模塊的基礎上，實現(xiàn)了一系列的電路計算流程函數(shù)，起到了在SOLVER和UI兩模塊之間進行數(shù)據(jù)處理與傳輸?shù)淖饔谩?/p>

以該模塊中的電路暫態(tài)分析流程為例：CORE模塊首先從UI模塊中獲取原始電路數(shù)據(jù)，再參考1.1節(jié)的方法得到原始動態(tài)電路對應的t=0-時刻的穩(wěn)態(tài)電路，將其傳遞至SOLVER模塊進行穩(wěn)態(tài)求解，因此得到狀態(tài)變量的初始值。將初始值以及處理后的動態(tài)電路數(shù)據(jù)傳遞至SOLVER模塊進行動態(tài)求解，得到原電路的時域數(shù)值解。最終該模塊會將數(shù)值解傳遞至UI模塊進行響應曲線的繪制。

2.4 啟動器（STARTER）

當啟動器作為程序入口時，它會對CORE、UI模塊進行初始化，并調(diào)用UI模塊的啟動函數(shù)，達到啟動程序的作用。

3 算 例

在圖1所示電路中，US=4V，R1=R2=2Ω，R3=R4=R5=1Ω，L1=L2=2 H，L3=4 H，C1=C2=1 F，r=0.5Ω，在t=0時刻，開關S1閉合，S2斷開。使用本軟件對圖1電路進行暫態(tài)分析，得到u1，u2，i1，i2的響應曲線如圖8所示。為驗證正確性，本文借助Simulink對圖1電路進行仿真，原理圖如圖9所示，仿真結果如圖10所示。為比對結果，計算本軟件得到的結果和Simulink仿真結果的絕對誤差Δu1，Δu2，Δi1，Δi2，得到圖11所示曲線，誤差數(shù)量級為10-3，說明本軟件對線性動態(tài)電路的暫態(tài)分析是準確的。

圖8 使用本軟件得到的響應圖像

圖9 Simulink仿真原理圖

圖10 Simulink仿真結果

圖11 絕對誤差曲線

4 結 語

本文針對求解線性動態(tài)電路響應時域數(shù)值解，使用Python語言設計并實現(xiàn)了一個線性動態(tài)電路可視化自動分析軟件。該軟件的優(yōu)點有：①擁有交互式的圖形化用戶界面，操作簡單直觀；②采用狀態(tài)方程和龍格庫塔法的分析方法，精度高，且適用于任意階的線性動態(tài)電路，實用性和普適性強；③采用Python語言編寫，可擴展性和可移植性強，易于進行二次開發(fā)，便于集成到其他系統(tǒng)。該軟件的設計與實現(xiàn)，為線性動態(tài)電路暫態(tài)分析的仿真計算提供了便捷、高效且實用的工具。實踐表明，在計算機專業(yè)學生中開展此類課程設計項目對激發(fā)學生學習興趣是非常有益的，既加深了對電路理論知識的學習，又鍛煉了借助計算機手段解決實際電路問題的能力，對培養(yǎng)新工科人才起到了積極作用。