唐 豪 謝 瑜* 楊佳東 楊占金

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)，新疆 烏魯木齊 830052)

2021 年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT)的第2 賽題為“旋轉(zhuǎn)磁鐵(Circling Magnets)”：將直徑不同的紐扣磁鐵貼附到圓柱形電磁的兩端，將其放置在鋁箔上或物體會開始旋轉(zhuǎn)。探究相關(guān)參數(shù)如何影響運(yùn)動?？梢砸甑较嚓P(guān)參數(shù)對電動機(jī)的影響等實(shí)際問題。針對類似的簡易電動機(jī)模型，我們可以從法拉第對簡易電動機(jī)的理論分析那里得出一個動力來源以及相關(guān)電流分析，但是相對于本文的“旋轉(zhuǎn)磁鐵”其研究因素較少，模型建立也大不相同。

1 基礎(chǔ)理論模型及其求解

1.1 運(yùn)動軌跡的基礎(chǔ)分析

通過幾個簡單的預(yù)實(shí)驗(yàn)以及對模型的簡單分析發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)在一定條件下運(yùn)動軌跡半徑與該實(shí)驗(yàn)的相關(guān)物理參數(shù)無關(guān)，只與磁鐵- 電池所形成的聯(lián)合體的幾何關(guān)系相關(guān)如圖1 所示。在這里可以近似認(rèn)為磁鐵- 電池聯(lián)合體是剛體，并且沿軸對稱，而對稱軸為正極端頂面與負(fù)極端底面的圓心連線所構(gòu)成的直線。設(shè)吸附在正極端上的磁鐵半徑為R1，厚度為h1，所受到的徑向摩擦力為f1，吸附在負(fù)極端上的磁鐵半徑為R2，厚度為h2，所受到的徑向摩擦力為f2。電池半徑為R0，長度為h0。兩接地點(diǎn)的之間的距離為hΔ，運(yùn)動軌跡半徑為R。

對磁鐵- 電池聯(lián)合體進(jìn)行幾何分析如圖1，物體受到的軸向摩擦力充當(dāng)向心力使其做圓周運(yùn)動，當(dāng)滿足做圓周運(yùn)動所需的向心力小于最大靜摩擦力的時候，物體做圓周運(yùn)動的軌跡半徑可以直接由磁鐵- 電池聯(lián)合體的幾何關(guān)系得出

圖1 磁鐵- 電池聯(lián)合體與半徑的幾何關(guān)系

再通過對磁鐵- 電池所構(gòu)成的聯(lián)合體進(jìn)行分析，可以得出做圓周運(yùn)動軌跡的半徑R。

聯(lián)立(1)、(2)式，解得：

故磁鐵- 電池聯(lián)合體在滿足做圓周運(yùn)動所需的向心力小于最大靜摩擦的時候，其運(yùn)動半徑取決于該聯(lián)合體的幾何關(guān)系，與其他無關(guān)。

1.2 運(yùn)動條件及聯(lián)合體力矩的分布

當(dāng)磁鐵- 電池聯(lián)合體放在鋁箔上形成回路時，由于電磁內(nèi)阻很小，以及正負(fù)極兩端吸附的磁鐵電阻微弱，而鋁箔在這里充當(dāng)導(dǎo)線作用電阻也很小。因此形成回路后，會有很大的電流從正極吸附的磁鐵中心流出，并從其邊緣流出，其方向與磁鐵表面磁場方向垂直，所以同時在磁鐵表面電流受到安倍力FI作用，而電流對磁鐵的反作用力F-I作為第一個動力源，如圖2 所示。電流再通過下方鋁箔，鋁箔上有磁場分布，因此下方鋁箔將受到安倍力的作用，因此會反饋給該聯(lián)合體一個反作用安倍力，作為第二個動力來源。電流再由負(fù)極端磁鐵邊緣流向中心，其方向與磁鐵表面磁場垂直，所以同時在磁鐵表面產(chǎn)生電流安倍力力矩作用，電流對磁鐵的反作用力矩作為的三個動力來源。

圖2 兩端N 極朝外的力矩分布情況

在磁鐵同極朝外的情況下，上述三個動力源作用于同一方向，聯(lián)合體才能正常做圓周運(yùn)動。在異極朝外的情況，三個動力源提供的動力不足以支持其運(yùn)動。同時當(dāng)該聯(lián)合體做圓周運(yùn)動詞正負(fù)極兩端磁鐵旋轉(zhuǎn)切割磁場，所以在正負(fù)極兩端會產(chǎn)生反向感應(yīng)電動勢。下方鋁箔有磁場分布，所以當(dāng)物體運(yùn)動時，鋁箔切割磁場，產(chǎn)生反向感應(yīng)電動勢。同時鋁箔表面于聯(lián)合體之間還有滾動摩擦力作用，提供阻力力矩作用。所以對于該聯(lián)合體的力矩分布情況如圖2 所示。

因此，磁鐵- 電池聯(lián)合體的運(yùn)動情況為：從靜止開始做加速運(yùn)動，但是隨著角速度的增大，產(chǎn)生的反向感應(yīng)電動勢逐漸增大，從而逐漸減小回路中的電流強(qiáng)度和作用與磁鐵片以及鋁箔的安培力，使加速度逐漸減小，最后使安倍力力矩與阻力力矩平衡，角速度也不再增加。

1.3 物體力矩分析及物體公轉(zhuǎn)速度

設(shè)正極端的磁鐵半徑為R2，磁鐵表面的法向磁感應(yīng)平均強(qiáng)度為B2。負(fù)極端的磁鐵半徑為R1，磁鐵表面的法向磁感應(yīng)平均強(qiáng)度為B1。則兩磁鐵產(chǎn)生的力矩為：

對于鋁箔而言，其導(dǎo)電長度為h⊿，通電鋁箔上其磁場平均強(qiáng)度記為BL，則鋁箔所提供的力矩為

當(dāng)物體自轉(zhuǎn)角速度為ω0時，記產(chǎn)生的反電動勢ε' ，則有

設(shè)回路總電阻為r總，可以得出該回路中的電流為

其中ε0為電源電動勢。

設(shè)該聯(lián)合體所受到的阻力矩為；Mf，磁鐵- 電池聯(lián)合體的轉(zhuǎn)動慣量為J，則物體的角加速度為

該聯(lián)合體在運(yùn)動中一直保持滾動的形式，所以其阻力主要來源于滾動摩擦，設(shè)負(fù)極端產(chǎn)生的滾動摩擦力為f1，正極端產(chǎn)生的滾動摩擦力為f2，則

其中δ 為滾動摩阻系數(shù)，只與接觸面材料有關(guān)，F(xiàn)N1為正極端磁鐵的正壓力FN2為負(fù)極端磁鐵的正壓力，所以滾動摩擦產(chǎn)生的力矩為

設(shè)兩磁鐵質(zhì)量分別為m1和m2，電池質(zhì)量為m0則有

對物體所受的總體力矩分析

聯(lián)立式(4)- 式(11)，整理可得

求解該微分方程可得

其中相關(guān)參數(shù)k，b 為

分析式(14)- 式(16) 可以得知物體的最大自轉(zhuǎn)角速度ωmax為

根據(jù)圖3，由于該聯(lián)合體運(yùn)動屬于純滾動，所以可以由式(17)推出公轉(zhuǎn)角速ω1度及其吸附在正極端磁鐵的公轉(zhuǎn)速度v1

圖3

則該物體極限速度vmax

通過上面三式可以知，影響ωmax的獨(dú)立參數(shù)有ε0、r總、m1、m2、B2、B1、BL、m0以及聯(lián)合體幾何關(guān)系；而影響ω0的因素除此以外還有J，所以轉(zhuǎn)動慣量J 只影響其自轉(zhuǎn)角速度增大的快慢；同樣的有，影響聯(lián)合體最終的線速度有幾何關(guān)系、電源電動勢，質(zhì)量，各處磁場分布情況以及總電阻。

1.4 安倍力隨電流分布情況

對于鋁箔而言，電流在鋁箔上非直線流向，在鋁箔上的曲線電流兩端各自取一小段微元。對于這兩小段微元產(chǎn)生的安倍力進(jìn)行分解，分解為延軸向以及垂直軸向，這樣延軸向的安倍力分力相互抵消，既可以等效為延軸向電流計(jì)算，說明鋁箔產(chǎn)生的安倍力力矩與電流在鋁箔上的分布無關(guān)。

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

按照要求，實(shí)驗(yàn)器材選取1.5v 的7 號干電池、半徑不同的兩種紐扣磁鐵、一張鋁箔、水平儀、刻度尺、攝像機(jī)、萬用表。實(shí)驗(yàn)過程通過攝像機(jī)進(jìn)行記錄，并用Tracker 軟件對視頻進(jìn)行分析處理，通過追蹤磁鐵的位置，得到角速度隨時間變化的數(shù)據(jù)。再通過Origin 軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行圖像化處理。

為了實(shí)現(xiàn)題目要求得到預(yù)期實(shí)驗(yàn)效果，需要做以下準(zhǔn)備：

(1)需要用水平儀提前調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置的傾斜度，為了保證實(shí)驗(yàn)不受重力的影響；

(2)使鋁箔表面清潔，避免回路電阻無故增大；

(3)實(shí)驗(yàn)記錄時間不宜過久，因?yàn)殡S著實(shí)驗(yàn)的進(jìn)行電源電動勢逐漸下降，內(nèi)阻逐漸上升，可能會導(dǎo)致與預(yù)期效果不符；

該實(shí)驗(yàn)裝置的優(yōu)點(diǎn)在于，對無關(guān)變量嚴(yán)格控制，利用軟件進(jìn)行測量減少人為誤差。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在滿足實(shí)驗(yàn)前準(zhǔn)備的前提下，選取規(guī)格為10.5×44.5mm 的1.5v 干電池，以及兩顆尺寸分別為20×10mm、10×10mm 的紐扣磁鐵。用萬用表對多組進(jìn)行不同時長實(shí)驗(yàn)的電池電壓進(jìn)行測量，發(fā)現(xiàn)平均在14s 左右電壓出現(xiàn)了明顯的下降，所以實(shí)驗(yàn)記錄時長不宜超過14s。記錄10 組重復(fù)實(shí)驗(yàn)的ω-t 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并得到10 組數(shù)據(jù)形成的散點(diǎn)圖與理論曲線對比如圖4。得到的R 值為0.97692，接近與1，與理論曲線擬合較好。故可以粗略的認(rèn)為該物體運(yùn)動的角速度隨時間變化滿足式(18)。而產(chǎn)生誤差的原因在于磁場強(qiáng)度不能細(xì)致的測量，實(shí)驗(yàn)過程中電源電動勢的變化。

圖4 實(shí)驗(yàn)曲線與理論擬合曲線的對比

3 結(jié)論

在該實(shí)驗(yàn)構(gòu)成的模型中，磁鐵- 電池聯(lián)合體在各種力矩的作用下從靜止開始運(yùn)動，角加速度逐漸減小，角速度呈指數(shù)衰減式增長。影響該運(yùn)動的參數(shù)有電源電動勢，轉(zhuǎn)動慣量，磁場強(qiáng)度，總電阻等。而由于實(shí)驗(yàn)過程中能量變化難以測定，所以本文暫為對此進(jìn)行深入的探究。