孫曉燕 李進(jìn)金,2

知識(shí)空間理論(Knowledge Space Theory, KST)源于Birkhoff[1-2]提出的關(guān)于擬序的定理,Doignon等[3-4]和Falmagne等[5]結(jié)合教育心理學(xué)將其發(fā)展完善．基于教育學(xué)和心理學(xué)等理論,KST建立一套反映教育教學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)理論,為設(shè)計(jì)基于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的知識(shí)與學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)系統(tǒng)提供有效的科學(xué)方法和數(shù)學(xué)框架[5-7]．

傳統(tǒng)的二分KST假設(shè)個(gè)體對(duì)項(xiàng)目的回答為正確(用1表示)或錯(cuò)誤(用0表示),在對(duì)知識(shí)和學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)具有局限性．針對(duì)這一局限性,Schrepp[8]將KST推廣到有兩個(gè)以上答案的問(wèn)題,使用線性有序集評(píng)估解決方案的質(zhì)量．Bartl等[9]討論具有分級(jí)知識(shí)狀態(tài)的知識(shí)空間．Stefanutti等[10]提出KST的多分推廣,假設(shè)項(xiàng)目集上的水平集為完備格．在Stefanutti等[10]的基礎(chǔ)上,Heller[11]將擬序知識(shí)空間推廣到多分情形,提出多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)條件,并考慮項(xiàng)目特定的響應(yīng)尺度．

技能代表潛在的認(rèn)知能力,是人們利用知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)執(zhí)行某些活動(dòng)的能力．Falmagne等[5]建立問(wèn)題和技能之間的聯(lián)系．Doignon[12]將技能映射引入KST．Düntsch等[13]與Korossy[14]分別提出技能函數(shù)和技能空間．近年來(lái),人們?cè)絹?lái)越重視知識(shí)和技能的評(píng)估及其程序化應(yīng)用[15-22]．Heller等[15-16]研究分布式技能函數(shù)和知識(shí)結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格化,提出特殊技能評(píng)估的充要條件．程序性知識(shí)是解決問(wèn)題的操作步驟,是關(guān)于“怎么做”的知識(shí)．Stefanutti等[17]應(yīng)用KST,為程序性知識(shí)的評(píng)估提供數(shù)學(xué)概念和正式框架,提出解決問(wèn)題和模擬學(xué)習(xí)環(huán)境的技能評(píng)價(jià)．Ste-fanutti[18]將這一工作進(jìn)一步完善及推廣,證明給定問(wèn)題空間的所有可能知識(shí)狀態(tài)的集合是一個(gè)學(xué)習(xí)空間,并給出從問(wèn)題空間導(dǎo)出學(xué)習(xí)空間的算法．

在程序性知識(shí)的評(píng)估中,技能是指與項(xiàng)目的解決相關(guān)的解路徑或操作路徑[18]．李金海等[23]提出概念的漸進(jìn)式認(rèn)知,體現(xiàn)人們認(rèn)識(shí)事物是一個(gè)從不完全到完全的逐步完善過(guò)程,能根據(jù)階段性認(rèn)知及時(shí)指導(dǎo)下一步的行動(dòng),并逐漸實(shí)現(xiàn)完全認(rèn)知．同樣地,對(duì)程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)及其技能的掌握也是漸進(jìn)式認(rèn)知過(guò)程．概念格是形式概念分析理論中用于數(shù)據(jù)分析與處理的核心工具,也是一種挖掘數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的有效方法[24]．這為進(jìn)一步研究程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)提供方法和工具．

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 技能映射誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)

在KST中,通過(guò)技能映射將知識(shí)域Q中的每個(gè)項(xiàng)目與有助于解決這個(gè)項(xiàng)目的技能聯(lián)系起來(lái),并從這個(gè)關(guān)聯(lián)中推斷知識(shí)狀態(tài)．設(shè)非空的知識(shí)域Q,非空的技能集S,技能映射是三元組(Q,S,τ),其中,τ∶Q→2S{?},為從Q到S的非空冪集的映射.給定T?S,由T通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

由T通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)為

取遍T?S,所有通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)的集合是由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)；所有通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)狀態(tài)的集合是由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)．由τ通過(guò)析取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是知識(shí)空間；由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)單閉包空間．由同一技能映射通過(guò)析取模型和合取模型誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)是對(duì)偶的．有關(guān)技能映射及其誘導(dǎo)的知識(shí)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)背景參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]．

1.2 多分知識(shí)狀態(tài)

在KST的多分推廣中,知識(shí)域Q中的項(xiàng)目的解決質(zhì)量由水平集L中的級(jí)別l∈L表示．在Schrepp[8]提出的KST多分推廣中,L為線性有序集．Stefanutti等[10]設(shè)定L為完備格．

設(shè)X為非空集,≤為X上的偏序關(guān)系(即滿足自反性、傳遞性、反對(duì)稱性的二元關(guān)系),則稱(X,≤)為偏序集．設(shè)(X,≤)為偏序集,對(duì)于?A?X,A的最小上界稱為A的上確界,記為supA或∨A；A的最大下界稱為A的下確界,記為infA或∧A．若?A?X,恒有supA與infA存在,則稱(X,≤)為完備格．若?a∈X,b∈X,恒有

sup{a,b}=a∨b,inf{a,b}=a∧b

存在,則稱(X,≤)為格．有限格是完備格．有關(guān)格理論的詳細(xì)背景知識(shí)參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]、文獻(xiàn)[25]和文獻(xiàn)[26].

在Heller[11]提出的KST多分推廣中,個(gè)體對(duì)知識(shí)域Q中各項(xiàng)目的掌握程度用有限的響應(yīng)值集V表示,且設(shè)非空有限響應(yīng)值集V是格,由于V是有限的,所以V是完備格．

多分知識(shí)狀態(tài)是Q到V的映射K∶Q→V,表示將Q中每個(gè)項(xiàng)目對(duì)應(yīng)V中的一個(gè)響應(yīng)值．一切這樣的映射的集合記為

1.2.1 多分知識(shí)狀態(tài)的表示法

多分知識(shí)狀態(tài)有兩種表示形式,分別由Heller[11]和Stefanutti等[10]提出．

集合表示法[11].多分知識(shí)狀態(tài)K為Q×V的特定子集,即對(duì)于?K∈VQ,K?Q×V,記

pv=(p,v)∈Q×V,

對(duì)于?K∈VQ,規(guī)定

pv∈K?K(p)=v,

則

K={pv|p∈Q,K(p)=v∈V}?Q×V．

向量表示法[10].在給定的有限知識(shí)域Q中,設(shè)|Q|=n,當(dāng)固定各項(xiàng)目的順序時(shí),多分知識(shí)狀態(tài)K可簡(jiǎn)記為以V中的響應(yīng)值為分量的n維向量．設(shè)Q={q1,q2,…,qn},對(duì)于?K∈VQ,記

K=v1v2…vn=(v1,v2,…,vn)∈Vn,

其中vi=K(qi),i=1,2,…,n．

例如,設(shè)Q={a,b,c},V={0,1,2},多分知識(shí)狀態(tài)K∶Q→V定義為K(a)=1,K(b)=2,K(c)=0,則多分知識(shí)狀態(tài)K的集合形式為

K={a1,b2,c0}?Q×V．

固定各項(xiàng)目順序?yàn)閝1=a,q2=b,q3=c,則多分知識(shí)狀態(tài)K的向量形式為

K=120=(1,2,0)∈V3．

為了避免記號(hào)的混亂,在下述論述與推導(dǎo)中,本文均采用多分知識(shí)狀態(tài)的集合表示法,向量表示法僅出現(xiàn)在圖形中．

1.2.2 多分知識(shí)狀態(tài)的集合表示法的擴(kuò)展

設(shè)(V,≤)為偏序集,v∈V,v的下集記為

↓v={u∈V∶u≤v},

V的所有下集的集合記為

Oπ(V)={↓v∶v∈V},

則(V,≤)與(Oπ(V),?)同構(gòu)[11]．將多分知識(shí)狀態(tài)K∶Q→V擴(kuò)展到映射K*∶Q→Oπ(V),其中,對(duì)于所有的p∈Q,K*(p)=↓K(p),稱K*為K的擴(kuò)展多分知識(shí)狀態(tài)[11]．K*的集合形式為

{pv∈Q×V|?pw∈K,v∈↓w}．

例如,設(shè)Q={a,b,c},V={0,1,2,3},多分知識(shí)狀態(tài)K∶Q→V定義為

K(a)=0,K(b)=3,K(c)=1,

則多分知識(shí)狀態(tài)K的集合形式為

K={a0,b3,c1}?Q×V,

由于

↓0={0}, ↓3={0,1,2,3}, ↓1={0,1},

故K的擴(kuò)展多分知識(shí)狀態(tài)為

K*={a0,b0,b1,b2,b3,c0,c1}?Q×V．

2 程序性知識(shí)的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移

函數(shù)

程序性知識(shí)是一種經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)自動(dòng)化的關(guān)于行為步驟的知識(shí),如運(yùn)算法則、解題步驟、操作程序等．在Stefanutti[18]提出的程序性知識(shí)的評(píng)估中,問(wèn)題的解決過(guò)程被描述為從操作集合中獲取操作序列,操作序列應(yīng)用于問(wèn)題的某初始狀態(tài),產(chǎn)生一個(gè)最終狀態(tài),由此定義問(wèn)題空間,并誘導(dǎo)知識(shí)空間．本節(jié)基于程序性知識(shí)的評(píng)估框架,通過(guò)項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)將項(xiàng)目的狀態(tài)與相關(guān)的操作程序?qū)?yīng),將問(wèn)題空間推廣到多分情形．

2.1 項(xiàng)目特定的響應(yīng)值集

inf(Vi)=∧i(Vi)

稱為Vi的底元,記為丄i；

sup(Vi)=∨i(Vi)

稱為Vi的頂元,記為丅i．特別地,對(duì)于??Vi,規(guī)定

∨i(?)=丄i,∧i(?)=丅i,i=1,2,…,n．

例1設(shè)Q={q1,q2},

項(xiàng)目q1：已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為5 cm,底邊長(zhǎng)比腰長(zhǎng)多1 cm,周長(zhǎng)為多少？

項(xiàng)目q2：已知等腰三角形的一條邊長(zhǎng)為5 cm,另一條邊長(zhǎng)為6 cm,周長(zhǎng)為多少？

根據(jù)項(xiàng)目解答過(guò)程的類型設(shè)定響應(yīng)值集,兩個(gè)項(xiàng)目的響應(yīng)值集的格結(jié)構(gòu)是不同的．

q1的解答：

由于q1的解答過(guò)程是層層遞推的,所以設(shè)定V1為有限線性序集,即V1={0,1,2}．V1的底元為丄1=0,V1的頂元為丅1=2．

由于q2的解答中有分類討論,所以V2不是線性序集．設(shè)V2={0,a,b,c},其中

0≤2a, 0≤2b,a≤2c,b≤2c,

a與b不可比較,且a∨2b=c,如圖1所示．V2的底元為丄2=0,V2的頂元為丅2=c．

圖1 有限格V2={0,a,b,c}的Hasse圖Fig.1 Hasse diagram of finite lattice V2={0,a,b,c}

例2設(shè)Q={q1,q2},

項(xiàng)目q1：計(jì)算7+4×2；

項(xiàng)目q2：計(jì)算7+(4-2)×6．

對(duì)于層層遞推的項(xiàng)目解答或操作過(guò)程,根據(jù)步驟數(shù)設(shè)定響應(yīng)值集,響應(yīng)尺度可能不同．

q1的解答是層層遞推的,步驟數(shù)為2,所以設(shè)定V1為三分的線性序集,即V1={0,1,2}．

q2的解答是層層遞推的,步驟數(shù)為3,所以設(shè)定V2為四分的線性序集,即V2={0,1,2,3}．

2.2 多分知識(shí)結(jié)構(gòu)

K1=K2?K1(qi)=iK2(qi),i=1,2,…,n；

Ω稱為知識(shí)域Q的狀態(tài)集．

其中vi∈Vi,i=1,2,…,n．特別地,

例如,在例2中,

Q={q1,q2},V1={0,1,2},V2={0,1,2,3}．

于是

K(pv)={K∈K∶pv∈K}≠?．

例3續(xù)例1．

Q={q1,q2},V1={0,1,2},V2={0,a,b,c},

其中,0≤2a,0≤2b,a≤2c,b≤2c,則

由于

所以K2不滿足定義3中條件2),K2不是多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

由

知,K3滿足定義3中條件1)；由

知,K3滿足定義3中條件2)．

如圖2所示,K3是多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

圖2 例3中多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K3,)的Hasse圖Fig.2 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K3,) in example 3

其中

K1與K2的逐項(xiàng)交是

其中

特別地,對(duì)于??K,規(guī)定

例如,在例3中,K1和K2都不是多分知識(shí)結(jié)構(gòu),所以K1和K2都不是多分知識(shí)空間．K3是多分知識(shí)結(jié)構(gòu),由

2.3 項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)與項(xiàng)目的相關(guān)技能

設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},根據(jù)各項(xiàng)目的解答或操作過(guò)程設(shè)定響應(yīng)值集．為了保證操作步驟的有限性,下述論述中均假定各項(xiàng)目的解答或操作是非循環(huán)的．?qi∈Q,項(xiàng)目qi的操作集是由其解答或操作過(guò)程的每個(gè)步驟構(gòu)成的集合,記為Πi．在這里,本文僅考慮每個(gè)項(xiàng)目的某個(gè)特定的解法,對(duì)于一題多解的情形將在能力模型中考慮．

命題1對(duì)于?q∈Q,設(shè)q的解答或操作非循環(huán)且步驟數(shù)有限,則項(xiàng)目q的操作集Π是有限集．設(shè)Π={π1,π2,…,πr},根據(jù)每步操作逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V是有限格．

1)如果項(xiàng)目q的解答或操作是層層遞推的,且步驟數(shù)為r,記第k步操作為πk,k=1,2,…,r,則q的操作集Π={π1,π2,…,πr}．設(shè)項(xiàng)目q的初始狀態(tài)為q0,即q的響應(yīng)值集V的底元為0,根據(jù)每步操作逐一設(shè)定響應(yīng)值,即每步操作產(chǎn)生新的項(xiàng)目狀態(tài),對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值加1,則項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V是有限線性序集,且V={0,1,…,r}．

2)如果q的解答或操作中有n個(gè)分支,則V不是線性序集．先按各分支的層層遞推的步驟數(shù)設(shè)定各分支上線性有序的響應(yīng)值集,再將任意k(2≤k≤n)個(gè)不可比較的響應(yīng)值的上確界(稱為分支定向并[11])設(shè)為新的響應(yīng)值,規(guī)定：當(dāng)n=2時(shí),設(shè)a1與b1不可比較,a2與b2不可比較,且

a1∨b1=c,a2∨b2=d,

如果a1≤a2且b1≤b2,則c≤d．當(dāng)n>2時(shí),若?l∈A,恒有m∈B,使得l≤m,則∨A≤∨B．這樣得到的項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V是有限格．

例如,例1中的項(xiàng)目q1的解答步驟是層層遞推的,步驟數(shù)為2,所以V1={0,1,2}．項(xiàng)目q2的解答中有分支,2個(gè)分支的步驟數(shù)均為1,所以2個(gè)分支上的響應(yīng)值集分別{0,a}和{0,b},其中

0≤2a, 0≤2b．

由于a和b不可比較,于是設(shè)響應(yīng)值c=a∨2b,得到項(xiàng)目q2的響應(yīng)值集V2={0,a,b,c}．V2是有限格．

如果項(xiàng)目的解答或操作中有分支,且至少一個(gè)分支的步驟數(shù)大于1,則按照命題1中2)的規(guī)定給出各分支定向并的序關(guān)系,如例4所示．

例4設(shè)項(xiàng)目q：解方程|x-3|=3x-5．q的解答中有2個(gè)分支,各分支的步驟數(shù)均為2,即

則

0≤1a≤2a, 0≤1b≤2b．

將{1a,2a,1b,2b}中任意2個(gè)不可比較的響應(yīng)值的上確界設(shè)為新的響應(yīng)值,即

1a∨1b=2c, 2a∨1b=3d, 1a∨2b=3e, 2a∨2b=4．

由1a≤2a,1b≤1b得

(1a∨1b)≤(2a∨1b),

即2c≤3d．同理可得

2c≤3e, 3d≤4, 3e≤4．

由于1a≤2a,1b≤2b,所以2a∨1b與1a∨2b不可比較,即3d與3e不可比較．如圖3所示,項(xiàng)目q的響應(yīng)值集

V={0,1a,2a,1b,2b,2c,3d,3e,4}

是有限格．

圖3 例4中有限格V的Hasse圖Fig.3 Hasse diagram of finite lattice V in example 4

表示項(xiàng)目qi的錯(cuò)誤狀態(tài)集．

項(xiàng)目qi的單個(gè)操作對(duì)項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用可用定義4中的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)φi表示．

定義4設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},項(xiàng)目qi的非空有限操作集為Πi,根據(jù)每步操作逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到qi的響應(yīng)值集Vi,i=1,2,…,n．記

且響應(yīng)值k保持不變．

例5續(xù)例2,考察q1、q2的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)．假設(shè)學(xué)生已掌握加、減、乘的單獨(dú)運(yùn)算,項(xiàng)目q1、q2是為了考察學(xué)生掌握四則運(yùn)算順序的情況．項(xiàng)目q1的操作集Π1={π1,π2},項(xiàng)目q2的操作集Π2={π1,π2,π3},其中,π1表示“先乘、除”,π2表示“從左往右依次計(jì)算”,π3表示“計(jì)算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算”．項(xiàng)目q1、q2的解答是層層遞推的,由命題1中1)知,

V1={0,1,2},V2={0,1,2,3}．

項(xiàng)目q1的初始狀態(tài)為

q1的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖4所示．由圖4得以下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)：

q1的終止?fàn)顟B(tài)．

圖4 例2中項(xiàng)目q1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.4 State transition diagram of item q1in example 2

q2的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖5所示．q2的初始狀態(tài)為

圖5 例2中項(xiàng)目q2的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.5 State transition diagram of item q2in example 2

定義5[18]設(shè)非空有限操作集Π,由Π中s個(gè)操作元組成的操作序列π1π2…πs∈Πs,稱為Π的一個(gè)長(zhǎng)度為s的操作序列．具有任意長(zhǎng)度的所有操作序列(包括空操作序列ε,即s=0)的集合記為Π∧,即

其中,空操作序列ε表示不施以任何操作,ε為Π∧的單位元,即

?π∈Π∧,επ=πε=π．

對(duì)于?qi∈Q,補(bǔ)充定義

注4[18]設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},任意項(xiàng)目qi的狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足如下性質(zhì)：

記

則

傳遞性具體說(shuō)明如圖6所示．

圖6 項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移的傳遞性Fig.6 Transitivity of item state transitions

定義7設(shè)非空有限操作集Π,操作序列集Π∧,對(duì)于?s∈Z+,任意給定長(zhǎng)度為s的操作序列π1π2…πs∈Πs,π1π2…πs的子序列是操作序列πiπi+1…πi+t,其中,1≤i≤s,0≤t≤s-i．

定義8設(shè)非空有限操作集Π,操作序列集Π∧,對(duì)于任意2個(gè)非空操作序列σ1∈Π∧{ε},σ2∈Π∧{ε},規(guī)定σ1≤σ2當(dāng)且僅當(dāng)σ1是σ2的子序列．任意給定非空操作序列σ∈Π∧{ε},σ的所有子序列中關(guān)于“≤”的極小者稱為σ的極小子序列．

命題2設(shè)操作序列

σ=π1π2…πs∈Π∧{ε},

其中s∈Z+,則σ的極小子序列為πj,j=1,2,…,s．

例如,設(shè)非空操作序列σ=π1π2π3,σ的所有子序列為π1,π1π2,π1π2π3,π2,π2π3和π3．由于

π1≤π1π2≤π1π2π3,

取關(guān)于“≤”的極小者得π1；由于

π2≤π2π3≤π1π2π3,

取關(guān)于“≤”的極小者得π2；由于

π3≤π2π3≤π1π2π3,

取關(guān)于“≤”的極小者得π3．所以σ的極小子序列為π1、π2和π3．

由定義4可知,項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)φi表示項(xiàng)目qi的單個(gè)操作對(duì)項(xiàng)目狀態(tài)的作用,而由注4可知,項(xiàng)目qi的一個(gè)操作序列對(duì)給定項(xiàng)目狀態(tài)的作用由定義9中的過(guò)程函數(shù)Φi表示．

則

所以空操作序列ε為任意項(xiàng)目的正確操作序列．但是ε未實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移,因此下述分析中均不考慮空操作路徑．

例6續(xù)例5,考察項(xiàng)目q1的正確非空操作路徑．由圖4看出,對(duì)于操作序列π1、π2和π1π2,有過(guò)程函數(shù)：

推論1對(duì)于解答或操作步驟數(shù)較多的復(fù)雜項(xiàng)目q,將q的操作過(guò)程劃分為t個(gè)正確非空操作序列,以此構(gòu)成q的操作元集

Σ={σ1,σ2,…,σt}?Π∧．

根據(jù)每個(gè)操作元σk(k=1,2,…,t)逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V是有限格．

1)如果q的解答或操作是層層遞推的,則q的響應(yīng)值集V為有限線性序集．操作元σk(k=1,2,…,t)作用于qk-1產(chǎn)生新的項(xiàng)目狀態(tài)qk,響應(yīng)值由k-1變?yōu)閗,即φ(qk-1,σk)=qk,稱(qk-1,σk,qk)是以qk-1為初始狀態(tài),σk為操作元,qk為終止?fàn)顟B(tài)的正確單一操作路徑,簡(jiǎn)記為qk-1σk,k=1,2,…,t．于是,得到項(xiàng)目q的響應(yīng)值集V={0,1,…,t}．

2)如果q的解答或操作中有分支,對(duì)q的操作過(guò)程進(jìn)行不同劃分,可能使V具有不同的格結(jié)構(gòu)．

例7設(shè)項(xiàng)目q：解方程|x2-6|=x2-2x+2．項(xiàng)目q的解答中有2個(gè)分支,解答過(guò)程如下：

項(xiàng)目q的操作集

Π={π1,π2,π3,π4,π5,π6},

其中,π1表示“當(dāng)x≥0時(shí),|x|去絕對(duì)值”,π2表示“方程移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)”,π3表示“解一元一次方程”,π4表示“當(dāng)x≤0時(shí),|x|去絕對(duì)值”,π5表示“一元二次多項(xiàng)式的因式分解”,π6表示“解一元二次方程”．

1)將q的操作過(guò)程劃分成5個(gè)正確非空操作序列,構(gòu)成操作元集

Σ={π1,π2π3,π4,π2π5,π6}．

根據(jù)各分支上的每個(gè)操作元逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到2個(gè)分支上的響應(yīng)值集{0,1a,2a}和{0,1b,2b,3b},其中

0≤1a≤2a, 0≤1b≤2b≤3b．

取分支定向并,即

1a∨1b=2c, 2a∨1b=3d, 1a∨2b=3e, 2a∨2b=4f, 1a∨3b=4g, 2a∨3b=5．

依照命題1中2)的規(guī)定得到{2c,3d,3e,4f,4g,5}的序,于是有限格

V1={0,1a,2a,1b,2b,3b,2c,3d,3e,4f,4g,5}

為q的響應(yīng)值集,如圖7所示．

圖7 例7中響應(yīng)值集V1的Hasse圖Fig.7 Hasse diagram of response value set V1in example 7

2)將q的操作過(guò)程劃分成4個(gè)正確非空操作序列,構(gòu)成操作元集

Σ={π1π2,π3,π4π2,π5π6},

則q的響應(yīng)值集

V2={0,1a,2a,1b,2b,2c,3d,3e,4}

為有限格,如圖3所示．

3)將q的操作過(guò)程劃分成3個(gè)正確非空操作序列,構(gòu)成操作元集

Σ={π1π2π3,π4π2,π5π6},

則

V3={0,1a,1b,2b,2c,3}

為有限格,如圖8所示．

圖8 例7中響應(yīng)值集V3的Hasse圖Fig.8 Hasse diagram of response value set V3in example 7

命題1是推論1的特殊情形,即將每個(gè)操作步驟劃分為一個(gè)操作元σk=πk,k=1,2,…,r,得到操作元集

Σ={σ1,σ2,…,σr}=Π?Π∧．

因此,過(guò)程函數(shù)Φi的定義9可做如下推廣．

定義10設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},qi的操作元集Σi={σ1,σ2,…,σti},

2)任意操作序列

則

如果項(xiàng)目q的解答或操作中有分支,Vq不是線性序集,需要考慮操作組合對(duì)項(xiàng)目狀態(tài)的作用．

例8續(xù)例7．記

σ1=π1π2π3,σ2=π4π2,σ3=π5π6,

取q的操作元集Σ={σ1,σ2,σ3},由例7中3)可知,q的響應(yīng)值集

V={0,1a,1b,2b,2c,3}．

q的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖9所示．由圖可知,q的正確非空操作序列為σ1、σ2、σ3和σ2σ3．由

Φ(q0,σ1)=q1a,Φ(q0,σ2)=q1b,

1a與1b不可比較,1a∨1b=2c,可知,

Φ(q0,{σ1,σ2})=q2c,

即{σ1,σ2}為q的正確操作組合,其中q0σ1和q0σ2是q0{σ1,σ2}的極小子路徑．同理,

Φ(q0,{σ1,σ2σ3})=q3,

即{σ1,σ2σ3}為q的正確操作組合,其中q0σ1、q0σ2和q1bσ3為q0{σ1,σ2σ3}的極小子路徑．

圖9 例7中3)的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.9 Item state transition diagram in 3) of example 7

定義12設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},項(xiàng)目qi的操作元集Σi={σ1,σ2,…,σti},響應(yīng)值集Vi為有限格,i=1,2,…,n．對(duì)于?qi∈Q,qi的操作程序是由其正確非空操作序列或正確非空操作組合構(gòu)成的序列δ=ω1ω2…ωl,其中

則

例9設(shè)項(xiàng)目q：已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為4 cm和6 cm,第三條邊長(zhǎng)為多少？項(xiàng)目q的解答過(guò)程如下：

項(xiàng)目q的操作集Π={π1,π2,π3,π4},其中,π1表示“勾股定理”,π2表示“將x=4,y=6代入方程x2+y2=z2”,π3表示“解一元二次方程”,π4表示“將x=4,z=6代入方程x2+y2=z2”．記

σ1=π1,σ2=π2π3,σ3=π4π3,Σ={σ1,σ2,σ3},

則q的響應(yīng)值集V={0,1,2a,2b,3},q的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖10所示．

圖10 例9的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.10 Item state transition diagram of example 9

由圖10可知,q的正確非空操作序列為σ1、σ2、σ3、σ1σ2和σ1σ3；正確非空操作組合為{σ2,σ3}．顯然,每個(gè)正確的非空操作序列和正確的非空操作組合都是正確的非空操作程序．由于

Φ(q0,σ1)=q1,Φ(q1,{σ2,σ3})=q3,

所以

Φ(q0,σ1{σ2,σ3})=q3,

σ1{σ2,σ3}為項(xiàng)目q的正確操作程序,操作路徑q0σ1{σ2,σ3}的極小子路徑為q0σ1、q1σ2和q1σ3．因此,項(xiàng)目q的所有正確操作路徑為q0σ1、q1σ2、q1σ3、q0σ1σ2、q0σ1σ3、q1{σ2,σ3}和q0σ1{σ2,σ3}．

定義 13設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},項(xiàng)目qi的操作元集Σi={σ1,σ2,…,σti},響應(yīng)值集Vi是有限格,i=1,2,…,n．在合取模型中,對(duì)于?qi∈Q,項(xiàng)目qi的一個(gè)正確操作路徑的極小子路徑稱為qi的一個(gè)相關(guān)技能．qi的所有相關(guān)技能的集合Si稱為qi的技能集,i=1,2,…,n．

由于項(xiàng)目qi的任意一個(gè)正確操作路徑的極小子路徑為Σi中的構(gòu)成該路徑的操作元對(duì)應(yīng)的正確單一操作路徑,所以,qi的技能集為Σi中的各操作元對(duì)應(yīng)的正確單一操作路徑的集合．

例10續(xù)例8,考察項(xiàng)目q的技能集．記

σ1=π1π2π3,σ2=π4π2,σ3=π5π6,

q的操作元集Σ={σ1,σ2,σ3},響應(yīng)值集

V={0,1a,1b,2b,2c,3}．

由圖9可知,q的所有正確操作路徑為q0σ1、q0σ2、q1bσ3、q0σ2σ3、q0{σ1,σ2}和q0{σ1,σ2σ3}．取所有正確操作路徑的極小子路徑,得q0σ1、q0σ2和q1bσ3．所以,項(xiàng)目q的技能集為Sq={q0σ1,q0σ2,q1bσ3}．

定義14設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn},項(xiàng)目qi的操作元集Σi={σ1,σ2,…,σti},響應(yīng)值集Vi是有限格,i=1,2,…,n．記

對(duì)于?σ∈Σ,

表示以σ為操作元的正確單一操作路徑的等價(jià)類,知識(shí)域Q的技能集為

S={[σ]|?σ∈Σ}．

例11續(xù)例5,考察例2的項(xiàng)目q1、q2的技能集,以及知識(shí)域Q的技能集．記

σ1=π1,σ2=π2,σ3=π3,Σ1={σ1,σ2},Σ2={σ3,σ1,σ2},

則

Σ=Σ1∪Σ2={σ1,σ2,σ3}．

因此,記

則Q的技能集

3 基于程序性知識(shí)的多分知識(shí)

結(jié)構(gòu)

3.1 由操作路徑導(dǎo)出的合取的技能映射

定義16設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn}

記

記

則

另一方面,?i∈H,記

則

由

知,?s∈τ(K),必定存在i∈H,使得

即

從而

因此

例13續(xù)例12．

同理可得

定義17設(shè)程序性知識(shí)域Q={q1,q2,…,qn}

命題3設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?},則對(duì)于?qi∈Q,τ滿足如下2個(gè)條件：

2)差異性.?v∈Vi{0},w∈Vi{0},v與w不可比較,則

3.2 由合取的技能映射誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)

定義18設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．給定技能狀態(tài)T?S,T表示個(gè)體掌握的技能的集合,由T通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)為

定理2設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．取遍所有的技能狀態(tài)T?S,所有通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合

是多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

由于

所以,K滿足多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的定義3中2)．綜上所述,取遍所有的T?S,所有通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合K為多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

定義19設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．取遍所有的技能狀態(tài)T?S,所有通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合K稱為由技能映射τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

例14續(xù)例13．

合取的技能映射τ定義為

取遍所有的技能狀態(tài)T?S,得到如下通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)：

所以,由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

圖11 例14中多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K,)的Hasse圖Fig.11 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K,) in example 14

注5命題3中1)對(duì)于通過(guò)合取模型誘導(dǎo)多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是必要的．如果技能映射τ不滿足該條件,則由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合可能不滿足定義3中2)．

例如,在例14中,若定義技能映射τ′為

由于

所以K′不滿足定義3中2),K′不是多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

根據(jù)項(xiàng)目qi的操作元集Σi逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到qi的響應(yīng)值集Vi不一定是線性有序集．

例15續(xù)例1．

Q={q1,q2},Π1={π1,π2},Π2={π2,π3}．

記

σ1=π1,σ2=π2,σ3=π3,Σ1={σ1,σ2},Σ2={σ2,σ3},

則

由項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移(圖12)可得

則S={s1,s2,s3}．由操作路徑導(dǎo)出的合取的技能映射τ為

圖12 例1的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.12 Item state transition diagram of example 1

取遍所有的技能狀態(tài)T?S,得到由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

圖13 例15中多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K,)的Hasse圖Fig.13 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K,) in example 15

注6命題3中2)對(duì)于通過(guò)合取模型誘導(dǎo)多分知識(shí)結(jié)構(gòu)是必要的．如果技能映射τ不滿足該條件,則由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)的集合可能不滿足定義3中2)．

例如,在例15中,若定義技能映射τ′為

其中,a與b不可比較,

但是

不滿足命題3中2)．由τ′通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的所有多分知識(shí)狀態(tài)的集合為

由于

所以K′不滿足定義3中2),K′不是多分知識(shí)結(jié)構(gòu)．

命題5設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．給定技能狀態(tài)T?S,T表示個(gè)體掌握的技能的集合,由T誘導(dǎo)的個(gè)體能達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合記為

記

由命題5和定義18可得推論2．

推論2設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．給定技能狀態(tài)T?S,T表示個(gè)體掌握技能的集合,由T通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài)為

證明對(duì)于?K1∈K,K2∈K,其中Ki是由技能狀態(tài)Ti通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)狀態(tài),即

記

記

因?yàn)?/p>

3.3 對(duì)偶性

推論3設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．給定技能狀態(tài)T?S,T表示個(gè)體沒(méi)有掌握技能的集合,由T誘導(dǎo)的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合記為

則

例如,在例14中,取個(gè)體沒(méi)有掌握技能的集合T={s2},則

記

則

推論4設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．T?S表示個(gè)體沒(méi)有掌握技能的集合．取遍T?S,由τ誘導(dǎo)的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合為

L={Lτ(T)|?T?S}．

L滿足集合并∪-封閉．

例如,在例14中,由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

則K的擴(kuò)展多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

所以,由推論3可知,取遍個(gè)體沒(méi)有掌握的技能狀態(tài),所有由τ誘導(dǎo)的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合為

如圖14所示,由于

同理可得,

所以L滿足集合并∪-封閉．但是,因?yàn)?/p>

所以L不滿足集合交∩-封閉．

圖14 例14中多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的對(duì)偶(L,)的Hasse圖Fig.14 Hasse diagram of the dual (L,) of polytomous knowledge structure in example 14

定義20[27]稱三元組(U,A,I)為一個(gè)形式背景,其中U={x1,x2,…,xn}為對(duì)象集,每個(gè)xi(1≤i≤n)稱為一個(gè)對(duì)象；A={a1,a2,…,am}為屬性集,每個(gè)aj(1≤j≤m)稱為一個(gè)屬性；I?U×A為U和A之間的二元關(guān)系,若(x,a)∈I,則稱對(duì)象x具有屬性a,若(x,a)?I,則稱對(duì)象x不具有屬性a．

用1表示(x,a)∈I,用0表示(x,a)?I,則形式背景可表示為只有0和1的表格,如表1所示．

表1 形式背景表Table 1 Formal background

設(shè)合取的技能映射(Ω+,S,τ),其中τ∶Ω+→2S{?}．將Ω+視為對(duì)象集,S視為屬性集,I?Ω+×S是Ω+和S之間的二元關(guān)系,規(guī)定

又由推論2可知,由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)為

3.4 從狀態(tài)空間導(dǎo)出多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法

n)為起點(diǎn)的所有操作路徑導(dǎo)出合取的技

能映射(Ω+,S,τ)．

初始設(shè)置.由qi的所有正確單一操作路徑構(gòu)成隊(duì)列

并將Wi中任意有限條起點(diǎn)相同的路徑的組合添加到Wi中,得

其中,σk1,σk2,…,σks為操作程序δ的所有極小子程序．

的對(duì)偶性得到由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多

分知識(shí)結(jié)構(gòu)K．

step 1 在形式背景(Ω+,S,I)中,規(guī)定

step 2 取個(gè)體沒(méi)有掌握的技能狀態(tài)Ti={si},由(Ω+,S,I)導(dǎo)出Ti誘導(dǎo)的沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)Lτ(Ti),i=1,2,…,m．由{Lτ(T1),Lτ(T2),…,Lτ(Tm)}取集合并∪-封閉,張成所有由τ誘導(dǎo)的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合L．

算法1采用起點(diǎn)固定的廣度優(yōu)先路徑搜索算法(Breadth First Search, BFS)．這是基于隊(duì)列這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的搜索方式,特點(diǎn)是由每個(gè)狀態(tài)擴(kuò)展出許多狀態(tài),然后再以此擴(kuò)展,直到處理完畢隊(duì)列中所有狀態(tài)．算法1中step 1的時(shí)間復(fù)雜度為O(|S|+|Ω+|)．算法2中step 2的時(shí)間復(fù)雜度為O(|Ω+|·|S|)．在算法2中,可考慮結(jié)合形式背景或概念格中的已有結(jié)果,如對(duì)象約簡(jiǎn)或?qū)傩约s簡(jiǎn),從而去除計(jì)算中的冗余部分,達(dá)到算法的簡(jiǎn)化．

例16設(shè)Q={q1,q2},項(xiàng)目q1是例7中的q：解方程|x2-6|=x2-2x+2；項(xiàng)目q2：已知x>1,且|x-1|=x2-4x+5,求x．q2的解答：

x>1：|x-1|=x2-4x+5

?x-1=x2-4x+5 操作步驟π1

?x2-5x+6=0 操作步驟π2

?(x-2)(x-3)=0 操作步驟π5

?x=2或x=3 操作步驟π6

記

σ1=π1π2,σ2=π3,σ3=π4π2,σ4=π5π6,

由例7中2)可知,

V1={0,1a,2a,1b,2b,2c,3d,3e,4},V2={0,1,2}．

Σ={σ1,σ2,σ3,σ4},

記

項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移如圖15所示．

圖15 例16的項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.15 Item state transition of example 16

由算法1中step 1可得

再由算法1中step 2可得,導(dǎo)出的合取的技能映射τ為

由于1a∨11b=2c,且

由算法2得到由形式背景(Ω++,S,I)導(dǎo)出的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合L,從而得到由τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)K．

1)在形式背景(Ω++,S,I)中,規(guī)定

表2 例16中技能映射(Ω++,S,τ)的形式背景表Table 2 Formal background of skill map(Ω++,S,τ) in example 16

2)由表2導(dǎo)出個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài).取

Ti={si},i=1,2,3,4,

則

由{Lτ(T1),Lτ(T2),Lτ(T3),Lτ(T4)}取∪-封閉張成τ誘導(dǎo)的個(gè)體沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合:

3)取L的對(duì)偶,即

得到τ通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的Ω++上的擴(kuò)展多分知識(shí)結(jié)構(gòu):

圖16 例16中多分知識(shí)結(jié)構(gòu)(K,)的Hasse圖Fig.16 Hasse diagram of polytomous knowledge structure(K,) of example 16

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文根據(jù)程序性知識(shí)域中各項(xiàng)目的操作元逐一設(shè)定響應(yīng)值,得到項(xiàng)目特定的響應(yīng)值集．基于程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)[18],通過(guò)項(xiàng)目狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)定義項(xiàng)目狀態(tài)空間,并導(dǎo)出合取的技能映射,證明由技能映射通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)滿足逐項(xiàng)交封閉．最后討論由合取的技能映射通過(guò)合取模型誘導(dǎo)的多分知識(shí)結(jié)構(gòu)與所有沒(méi)達(dá)到的項(xiàng)目狀態(tài)的集合之間的對(duì)偶性,并給出誘導(dǎo)多分知識(shí)結(jié)構(gòu)的算法步驟．值得注意的是,在本文框架中,僅考慮每個(gè)項(xiàng)目的某個(gè)特定解法,對(duì)于一題多解的情形將在后續(xù)的能力模型中考慮．為了保證操作集的有限性,假定各項(xiàng)目的解答或操作是非循環(huán)的,所以可在后續(xù)研究中考慮對(duì)循環(huán)解路徑的約簡(jiǎn)．

知識(shí)空間的形式背景與形式概念分析[27-28]密切相關(guān),因此可考慮將KST的多分推廣與面向?qū)傩曰蛎嫦驅(qū)ο蟾拍罡竦南嚓P(guān)結(jié)果[29-32]結(jié)合．程序性知識(shí)學(xué)習(xí)與形式概念分析中的概念認(rèn)知學(xué)習(xí)有諸多關(guān)聯(lián),因此,基于程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)與概念認(rèn)知學(xué)習(xí)的交叉融合也是今后研究的方向．