王 慧程 涵管守奎

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秩虧往往意味著線性高斯-馬爾可夫模型中缺少平差必要的信息，而先驗(yàn)信息可以解決這些信息缺失導(dǎo)致的秩虧問題，提供線性模型平差的基準(zhǔn)。秩虧自由網(wǎng)平差［1］在大地測量中應(yīng)用廣泛，尤其在水準(zhǔn)網(wǎng)、GPS基線測量以及大地坐標(biāo)系框架體系建設(shè)［2］等存在缺少基準(zhǔn)或起算數(shù)據(jù)時(shí)。利用先驗(yàn)信息解決秩虧問題也十分常見，但Meissl［3，4］以及Neimeier［5］提出利用新增的基準(zhǔn)確定點(diǎn)存在不確定性，所以應(yīng)將先驗(yàn)信息表示為帶隨機(jī)性質(zhì)的先驗(yàn)信息。添加的先驗(yàn)信息作為一種約束需要滿足正交方程有解并且不改變殘差的值都可以認(rèn)為是合理的［6，7］。利用先驗(yàn)信息使正交方程有解時(shí)應(yīng)該將模型表示為混合模型［8］，或者擴(kuò)展的高斯-馬爾可夫模型［9］，這種混合模型的最小二乘估計(jì)通常稱作最小二乘配置［10，11］，并在確定重力場的研究中廣泛使用。

先驗(yàn)隨機(jī)信息的可信度是解決秩虧平差時(shí)一個(gè)重要的問題，Schaffrin［12］提出一種穩(wěn)健配置方法用于觀測值信息和隨機(jī)先驗(yàn)信息更合理的使用。

綜上所述，利用隨機(jī)先驗(yàn)信息克服秩虧問題的方差分量估計(jì)在秩虧網(wǎng)平差中的研究十分重要。本文利用最優(yōu)不變二次無偏估計(jì)原理［13-16］，推導(dǎo)帶有先驗(yàn)信息的高斯-馬爾可夫模型的方差分量估計(jì)公式，從而做到對觀測信息和隨機(jī)先驗(yàn)信息進(jìn)行合理配權(quán)，以提高秩虧網(wǎng)中基準(zhǔn)的可靠程度。

1 最優(yōu)不變二次無偏估計(jì)方差分量

1）無偏性：

2）不變性：

3）最小方差：

將不變性式（3）帶入式（5）得到：

由?tr(ABATC)/?A=(BATC)T+CAB以 及?w((F+FT)/2)/?F=0，得到：

將D=(F+FT)/2帶入式（8）中得到：

則

當(dāng)S可 逆 時(shí)，則pT=[1，0]T∈R(S)且pT=[0，1]T∈R(S)，由式（13）可知方差分量的估值唯一確定為：

當(dāng)S奇異時(shí)，則pT=[1，0]T∈R(S)或者pT=[0，1]T∈R(S)，由式（13）可知方差分量的估值唯一確定為：

當(dāng)S可 逆 時(shí)，則pT=[1，0]T∈R(S)且pT=[0，1]T∈R(S)，由式（17）可知方差分量的方差估值唯一確定為：

2 實(shí)例驗(yàn)證

表1 高差觀測值表Table 1 High Difference Observation Value Table

圖1 高程水準(zhǔn)網(wǎng)示意圖Fig.1 Elevation Level Network Diagram

表2 誤差估計(jì)值Table 2 Residual Estimate

計(jì)算中發(fā)現(xiàn)自第二次迭代后均收斂于1，于是在第二次計(jì)算完成后結(jié)束迭代計(jì)算。如表3、表4所示，得到最終估計(jì)的方差分量為5.452 3×10-6和3.949 5×10-7，兩部分方差分量的比值為：0.072 4。相比于最小二乘估計(jì)單位權(quán)方差，方差分量估計(jì)更加準(zhǔn)確的描述了帶有先驗(yàn)信息的高斯-馬爾可夫的隨機(jī)模型，這也使得先驗(yàn)信息中的絕對基準(zhǔn)更加合理可靠地應(yīng)用在秩虧平差中。

表3 迭代計(jì)算結(jié)果Table 3 Iteration Calculation Results

表4 方差分量方差結(jié)果Table 4 The Variance of Variance Components Result

3 結(jié)束語

新增的先驗(yàn)信息常用作確定基準(zhǔn)，但新增的先驗(yàn)信息帶有隨機(jī)性質(zhì)，這意味著先驗(yàn)信息的可靠程度無法衡量。先驗(yàn)信息在平差模型中的不確定性需要尋求一種合理可靠的方法來度量先驗(yàn)信息和觀測值，對兩部分信息進(jìn)行合理地分配權(quán)重，需要得到平差模型中準(zhǔn)確的驗(yàn)后隨機(jī)模型。本文利用最優(yōu)不變二次無偏估計(jì)先驗(yàn)信息和觀測值兩部分的方差分量以及方差分量方差，得到驗(yàn)后隨機(jī)模型，準(zhǔn)確地描述兩部分的權(quán)重。然后可以通過合理配權(quán)，從而進(jìn)一步提高先驗(yàn)信息在解決秩虧網(wǎng)平差時(shí)的可靠性。