姚建勇，張連仲，王 拓，鄧文翔，楊曉偉，梁相龍

(1.南京理工大學 機械工程學院· 南京·210094；2.江蘇自動化研究所· 連云港·222006)

0 引 言

近幾十年來，閥控液壓系統(tǒng)由于功率密度大、快速、精確反應等優(yōu)勢被廣泛應用于重型工業(yè)領域。然而，閥控液壓系統(tǒng)存在節(jié)流、溢流、卸荷損耗、功率效率低等缺點。此外，大部分閥控系統(tǒng)采用開式回路，不僅對液壓油需求量大，還易造成環(huán)境污染。雖然電靜液作動器的控制性能不如閥控系統(tǒng)，但是它具有體積小、無污染、效率高等優(yōu)勢，因此被廣泛應用于大型飛機等場合。隨著未來飛機向高速化、高壓化、快速響應等方向發(fā)展，為滿足航空工業(yè)對控制性能日益增長的需求，針對電靜液作動器設計高性能控制方法很有必要。

自20世紀80年代以來，有關電液伺服系統(tǒng)的許多控制策略陸續(xù)被提出。自適應控制方法是處理參數(shù)不確定性問題的一種行之有效的方法。然而，自適應控制幾乎沒有處理外干擾的能力，例如外部載荷干擾。實際的液壓系統(tǒng)中總是存在著外干擾，所以自適應控制在實際液壓系統(tǒng)中很難實現(xiàn)高性能控制。作為魯棒控制方法之一的滑模控制，可以有效地處理任何有界的模型不確定性并達到漸近穩(wěn)定的跟蹤性能。但是滑?？刂埔泊嬖谝恍┤秉c：設計的滑?？刂破魇遣贿B續(xù)的，這在實際應用中會導致控制抖動問題，高頻的抖動可能會激勵被忽略的系統(tǒng)高頻動態(tài)，進而引起共振或者加速機器磨損，惡化控制性能。為了同時處理參數(shù)不確定性和不確定非線性，Yao B.等提出了自適應魯棒控制，該方法可保證系統(tǒng)的暫態(tài)性能和瞬態(tài)性能。為了達到高精度的控制性能，自適應魯棒控制往往需要較高的反饋增益。然而，過大的反饋增益會增大系統(tǒng)帶寬，從而激發(fā)系統(tǒng)的高頻動態(tài)，導致系統(tǒng)失穩(wěn)。Yao J.等提出了帶有擴張狀態(tài)觀測器的自適應魯棒控制策略。擴張狀態(tài)觀測器可以估計參數(shù)不確定性和外干擾，為控制器提供補償，不過這種策略僅能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差有界。為了進一步提高控制精度，Xian B.等提出了誤差符號積分魯棒控制策略，但是這種控制器的非線性魯棒增益與系統(tǒng)建模不確定性的一階導數(shù)和二階導數(shù)密切相關。此外，該控制器的積分魯棒項的符號誤差增益必須盡可能大，以獲得更好的精度。但是由于測量噪聲的存在，增益過大容易造成高增益反饋，導致系統(tǒng)失穩(wěn)，所以需要多次重復實驗以獲得合適的增益值，所以傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制方法具有很大的工程局限性。R.Hippalgaonkar等提出了一種用于液壓混合執(zhí)行器的最優(yōu)監(jiān)控策略，但是該方法主要從節(jié)能方面考慮，控制精度不高。H.T.Seo等針對電靜液作動器提出了基于前饋補償和擾動觀測器的復合控制，但是該方法將系統(tǒng)的非線性模型過于簡化，實驗的結果有待改進。

基于上述內容，本文針對電靜液作動器設計了一種基于擴張狀態(tài)觀測器的自調節(jié)積分魯棒控制器。本文與傳統(tǒng)的積分魯棒控制器相比，主要的改進點如下：

1)自調節(jié)積分魯棒控制器融合了自適應控制的思想，有效地解決了符號函數(shù)增益調節(jié)的隨機性、保守性、局限性以及潛在的高增益反饋的問題。當外干擾增加時，在自調節(jié)增益律的作用下，增益的估計值會相應地增加，以增強非線性魯棒項對干擾的魯棒性。

2)擴張狀態(tài)觀測器可以估計干擾并進行前饋補償，有效地避免了高反饋增益。

1 電靜液作動器的數(shù)學模型

本文研究的電靜液作動器系統(tǒng)如圖1所示，主要包括液壓缸(1)、溢流閥(2，3)、單向閥(4，5)、蓄能器(6)、雙向柱塞泵(7)、伺服電機(8)和內部油路管道。

圖1 電靜液作動器示意圖Fig.1 Schematic diagram of EHA

考慮到電靜液作動器中的永磁同步伺服電機的頻寬遠高于整個電液伺服系統(tǒng)的頻寬，因此可將伺服電機動態(tài)簡化為比例環(huán)節(jié)，即

=

(1)

式中，是角速度增益；是控制輸入；是電機角速度。

慣性載荷的動態(tài)特性可以描述為

(2)

考慮液壓缸的泄漏，建立液壓缸的兩腔壓力動態(tài)方程如下

(3)

式中，=+和=-代表系統(tǒng)兩腔的體積，其中和代表系統(tǒng)兩腔的初始容積；是液壓油有效彈性模量；是內泄漏系數(shù)；是液壓泵進入液壓缸左腔的流量，是液壓泵流出右腔的流量；()和()是流量建模誤差。

考慮液壓泵的流量脈動以及內部壓差造成的泄漏，建立液壓泵流量方程如下

==-+

(4)

式中，是液壓泵的排量；是液壓泵的內泄露系數(shù)；是液壓缸兩腔的壓差；是未建模誤差。

(5)

式中,()=-()；()=(1+1)+(+)。

2 自調節(jié)積分魯棒控制器設計

2.1 系統(tǒng)模型與問題描述

定義系統(tǒng)參數(shù)向量=[,,,]=[,,,+]。因此，式(5)可以轉化為

(6)

式中，()=(1+1)；()=(1+1)；()=(1+1)。

控制目標：設計有界的控制輸入，使得盡可能準確地跟蹤期望運動軌跡()。

為了方便后續(xù)控制器設計，作如下假設：

假設1：期望位置軌跡及其一階、二階導數(shù)均有界；

假設2：干擾()和()足夠光滑，滿足如下條件：

(7)

式中，、、、為未知的正數(shù)。

注：假設2在傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制器設計中很常見。然而，在傳統(tǒng)的誤差符號積分魯棒控制器設計中，需要、、和的值進行控制器設計和穩(wěn)定性分析。這個先決條件可能對所研究的非線性系統(tǒng)施加很大的限制，不適用于實際的物理系統(tǒng)。而本文中僅需要()和()有界即可，極大減弱了傳統(tǒng)誤差符號積分魯棒控制器設計過程中假設的限制程度。

2.2 觀測器設計

定義為的擴張狀態(tài)變量，即=()，且定義其導數(shù)為()。設計如下擴張狀態(tài)觀測器以觀測系統(tǒng)第三通道的匹配干擾

(8)

由式(8)，干擾觀測誤差動態(tài)方程可得

(9)

(10)

式中，為赫爾維茨矩陣，=[0,1]，且存在一個正定陣滿足如下方程

+=-

(11)

式中，為單位矩陣。

引理1：狀態(tài)估計誤差總是有界的，且任意時間后該界的大小隨著觀測器帶寬的增大而減小。此外，存在常值滿足以下條件

(12)

證明：定義李雅普諾夫函數(shù)

=

(13)

則關于時間的一階導數(shù)為

≤-+

(14)

由式(14)可得

(15)

則

(16)

式中，min()是的最小特征值。

由式(10)得

(17)

并且有

(18)

則

(19)

(20)

2.3 控制器設計

步驟一：定義如下誤差變量

(21)

式中，=-是位置跟蹤誤差；和是正的反饋增益；是的虛擬控制律。

由式(6)和式(21)可得

()+

(22)

設計虛擬控制律為

(23)

式中，是正反饋增益。

定義=-，將式(23)代入式(22)可得

=-++()

(24)

式中，為正的反饋增益。

設計自調節(jié)積分魯棒控制律為

(25)

(26)

根據(jù)式(24)，可得()的動態(tài)方程

(27)

(28)

由于()是不可測得的信號，因此自調節(jié)率的等價形式如下

(29)

式中，是可調的正的自調節(jié)律增益。

步驟二：定義輔助變量

(30)

由式(6)和式(30)，可將()寫為

(31)

式中，是正的反饋增益。

由式(31)，可設計最終的控制器為

(32)

(33)

()關于時間的一階導數(shù)為

(34)

(35)

式中，是可調的正的自調節(jié)律增益。

2.4 穩(wěn)定性分析

引理2：定義輔助函數(shù)如下

(36)

(37)

當式(26)和式(33)成立時，函數(shù)()和()總是正定的。

定理1：選擇增益值和滿足條件(26)和(33)，且選擇足夠大的反饋增益、、、、使得矩陣為正定矩陣

(38)

則式(32)中的控制輸入可以保證閉環(huán)控制器中所有信號都是有界的，并且可以獲得漸近跟蹤性能，即當→∞時，→0。

證明：定義如下李雅普諾夫函數(shù)

(39)

由式(21)、式(27)、式(28)、式(30)、式(34)～式(37)，可得關于時間的導數(shù)為

=-

(40)

式中，=[,,,,]。

通過調整參數(shù)、、、、可使矩陣為正定，則有

=-≤0

(41)

3 仿真實驗及結果分析

仿真驗證時選擇連續(xù)的近似庫侖摩擦函數(shù)為

(42)

電液伺服系統(tǒng)參數(shù)選擇如表1所示。

表1 電液伺服系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Electro-hydraulic servo system parameters

為了驗證所提控制策略的有效性，本文選擇如下三種控制器進行對比分析。

2)自調節(jié)積分魯棒控制器(Adjustable Robust Integral of the Sign of the Error Controller，ARISE)：該控制器與ARISEESO相比，不帶干擾補償。其控制律為

(43)

為了觀察不同自調節(jié)增益對控制性能的影響，選擇三組自調節(jié)增益=100、=10，=800、=40，=1500、=100。為了確保對比公平，該控制器的其他參數(shù)與ARISEESO參數(shù)保持一致。

3)比例-積分-微分(PID)控制器：PID控制器是工業(yè)中最常用的控制器，通過試錯法確定其控制器增益為：=2000，=500，=0。

圖2 不同自調節(jié)增益對應的跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors corresponding to different adjustable gain

(a)β1的估計值

圖4 ARISEESO控制器的期望軌跡跟蹤Fig.4 Desired trajectory tracking of ARISEESO controller

(a)PID控制器

(a)干擾d2及其估計值

圖7 ARISEESO控制器的控制輸入Fig.7 Control input of the ARISEESO controller

(a)β1的估計值

4 結 論

本文針對電靜液作動器高精度運動控制，設計了一種基于擴張觀測器的自調節(jié)積分魯棒控制器。該控制器的主要特點是針對各種建模不確定性可以實現(xiàn)漸近輸出跟蹤性能，同時避免了高增益反饋。通過仿真驗證了算法的有效性，結果表明：相較于傳統(tǒng)的PID控制器，該控制器的跟蹤誤差約為0.2mm，控制精度達到0.4%左右。