曹 彬

(貴州省黔西第一中學(xué) 551500)

關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解法是初高中數(shù)學(xué)銜接課程中的重要內(nèi)容之一，而含參數(shù)一元二次不等式解集討論是這一節(jié)中同學(xué)們普遍感到困難的部分，這類題融合了分類討論和數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力.同學(xué)們做這類題時(shí)，容易出現(xiàn)方向不明、思路不清、敘述不對(duì)、討論不全等問(wèn)題.柏佳楠老師通過(guò)調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)谟懻摵瑓?shù)一元二次不等式的解集時(shí)出現(xiàn)解題過(guò)程邏輯混亂以及解題心理不佳等情況，也提出了一些切實(shí)可行的解決策略，但沒(méi)有提出討論的具體步驟.

對(duì)于剛剛升入高中的學(xué)生，怎么討論含參數(shù)一元二次不等式的解集呢？當(dāng)然，不等式ax2+bx+c>0不一定是一元二次不等式，顯然這一步是討論過(guò)程中的第一步.若滿足a≠0，求一元二次不等式的解集的常用步驟是：解對(duì)應(yīng)一元二次方程的根；畫(huà)對(duì)應(yīng)一元二次函數(shù)的圖像；寫(xiě)一元二次不等式的解(其實(shí)這也是求其他類型不等式的常用步驟).根據(jù)上述步驟，在討論含參數(shù)一元二次不等式的解集時(shí)，心里默默地詢問(wèn)自己如下四個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題解答過(guò)程就是分類討論過(guò)程，這四個(gè)問(wèn)題是：①是否是二次不等式？②對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象開(kāi)口如何？③對(duì)應(yīng)方程是否有根？④根的大小如何？推動(dòng)繼續(xù)分類討論的理由就是答案的“不確定”.接下來(lái)展示一下解題過(guò)程.

1 解題過(guò)程

例1已知a為常數(shù)，解關(guān)于x的不等式：ax2-2(a-1)x-4≤0．

解析①是否是二次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為2x-4≤0，此時(shí)解集為{x|x≤2}.

當(dāng)a≠0時(shí)，②對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象開(kāi)口如何？答：不確定，需要討論a的正負(fù).

原不等式轉(zhuǎn)化為：(ax+2)(x-2)≤0

若a>0時(shí)，

③對(duì)應(yīng)方程是否有根？答：有.

④根的大小如何？答：此時(shí)要討論a與-1的大小.

當(dāng)a=-1時(shí)，不等式的解集為：{x|x=2}

綜上所述略過(guò).

2 方法推廣

解決一道題的目的是為了解決一類題.在初高中數(shù)學(xué)銜接教學(xué)階段，還會(huì)遇到含參數(shù)分式不等式、絕對(duì)值不等式，上述解題思路還能用嗎？其實(shí)，稍作變化仍然適用.

解析原不等式等價(jià)于(ax+1)(x-1)(x+2)<0

①是否是三次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當(dāng)a=0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為：(x-1)(x+2)<0

所以解集為：{x|-2

當(dāng)a≠0時(shí)，

②對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象如何？答：采用“數(shù)軸穿根法”畫(huà)函數(shù)的簡(jiǎn)圖，圖象與a的正負(fù)有關(guān).

當(dāng)a>0時(shí)

③對(duì)應(yīng)方程是否有根？答：有.

例3解關(guān)于x的不等式|2x-1|≤ax(a>0).

解析①是否能拆開(kāi)絕對(duì)值符號(hào)？答：能，ax的正負(fù)不影響解集.原不等式等價(jià)于-ax≤2x-1≤ax.

②是否是一次不等式組？答：不一定，需要討論a是否為2.

當(dāng)a≠2時(shí)

③對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象如何？答：一次函數(shù).

此題的解法很多，最好的方法是數(shù)形結(jié)合法.

天下難事必作于易，通過(guò)問(wèn)題形式，將分類討論的過(guò)程結(jié)構(gòu)化、步驟化，防止在討論過(guò)程中漏掉必要的步驟，或者避免在討論過(guò)程中思維凌亂，這也是解決其他分類討論問(wèn)題常用的方法.