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        十種方法求角的內角平分線所在直線方程

        2022-04-01 11:29:16鐘建新
        數(shù)理化解題研究 2022年7期

        鐘建新

        (浙江省春暉中學 312300)

        題目已知△ABC三個頂點A(2,5),B(6,8),C(8,-3),求∠A的內角平分線所在的直線方程.

        解法1由題意得,∠A的內角平分線所在的直線有斜率,下設∠A的內角平分線所在的直線l方程為

        y-5=k(x-2),

        點B(6,8)關于l的對稱點為B′(a,b),

        則點B′(a,b)在直線

        又線段BB′中點在l上,

        且kBB′·kl=-1,

        以上三式聯(lián)立可解得

        所以直線l方程為

        即∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法2設點B(6,8)關于∠A的內角平分線所在直線l的對稱點為B′(a,b),

        又|AB′|=|AB|,

        以上兩式聯(lián)立可解得

        a=5,b=1.

        所以B′(5,1),kBB′=7.

        又kBB′·kl=-1,

        即∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法3設點P(x,y)為∠A的內角平分線所在的直線上任意一點,則點P到邊AB和邊AC的距離相等.

        即lAB:3x-4y+14=0.

        即lAc:4x+3y-23=0.

        所以3x-4y+14=4x+3y-23,

        或3x-4y+14=-(4x+3y-23).

        即x+7y-37=0,或7x-y-9=0.

        因為直線7x-y-9=0為∠A的外角平分線所在的直線,故舍去.

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        設∠A的內角平分線所在的直線的斜率為k,則用到角公式得

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        下設∠A的內角平分線所在的直線的斜率為k,則用到角公式得:

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法6 若lAB:A1x+B1y+C1=0,

        lAc:A2x+B2y+C2=0,

        則∠A的內角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一:

        (A1x+B1y+C1)-λ(A2x+B2y+C2)=0,

        或(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0,

        該結論可通過點線距相等來證明.

        結合本題題意,因為

        lAB:3x-4y+14=0,

        lAc:4x+3y-23=0,

        所以∠A的內角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一:

        (3x-4y+14)-λ(4x+3y-23)=0,或

        (3x-4y+14)+λ(4x+3y-23)=0,

        所以整理,得

        x+7y-37=0,或

        7x-y-9=0(舍去).

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法7 因為

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法8 由題意,|AB|=5,|AC|=10.

        設∠A的內角平分線與邊BC的交點為D,

        又A(2,5),

        直線AD的方程為x+7y-37=0.

        即∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        解法9 設點P(x,y)為∠A的內角平分線所在的直線上任意一點,則

        化簡,得x+7y-37=0.

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        化簡,得x+7y-37=0.

        所以∠A的內角平分線所在的直線方程為

        x+7y-37=0.

        一題多解,能提升學生的解題能力,達到事半功倍的效果,這也是培養(yǎng)、發(fā)展其核心素養(yǎng)的重要路經.通過對以上10種解法的探析比較,可以鞏固學生所學知識,擴展數(shù)學思維,開拓數(shù)學視野,最終達到提升其自身數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.

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