鐘建新
(浙江省春暉中學 312300)
題目已知△ABC三個頂點A(2,5),B(6,8),C(8,-3),求∠A的內角平分線所在的直線方程.
解法1由題意得,∠A的內角平分線所在的直線有斜率,下設∠A的內角平分線所在的直線l方程為
y-5=k(x-2),
點B(6,8)關于l的對稱點為B′(a,b),
則點B′(a,b)在直線
①
又線段BB′中點在l上,
②
且kBB′·kl=-1,
③
以上三式聯(lián)立可解得
所以直線l方程為
即∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法2設點B(6,8)關于∠A的內角平分線所在直線l的對稱點為B′(a,b),
④
又|AB′|=|AB|,
⑤
以上兩式聯(lián)立可解得
a=5,b=1.
所以B′(5,1),kBB′=7.
又kBB′·kl=-1,
即∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法3設點P(x,y)為∠A的內角平分線所在的直線上任意一點,則點P到邊AB和邊AC的距離相等.
即lAB:3x-4y+14=0.
即lAc:4x+3y-23=0.
所以3x-4y+14=4x+3y-23,
或3x-4y+14=-(4x+3y-23).
即x+7y-37=0,或7x-y-9=0.
因為直線7x-y-9=0為∠A的外角平分線所在的直線,故舍去.
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
設∠A的內角平分線所在的直線的斜率為k,則用到角公式得
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
下設∠A的內角平分線所在的直線的斜率為k,則用到角公式得:
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法6 若lAB:A1x+B1y+C1=0,
lAc:A2x+B2y+C2=0,
則∠A的內角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一:
(A1x+B1y+C1)-λ(A2x+B2y+C2)=0,
或(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0,
該結論可通過點線距相等來證明.
結合本題題意,因為
lAB:3x-4y+14=0,
lAc:4x+3y-23=0,
所以∠A的內角平分線和其外角平分線所在的直線方程各為以下之一:
(3x-4y+14)-λ(4x+3y-23)=0,或
(3x-4y+14)+λ(4x+3y-23)=0,
所以整理,得
x+7y-37=0,或
7x-y-9=0(舍去).
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法7 因為
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法8 由題意,|AB|=5,|AC|=10.
設∠A的內角平分線與邊BC的交點為D,
又A(2,5),
直線AD的方程為x+7y-37=0.
即∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
解法9 設點P(x,y)為∠A的內角平分線所在的直線上任意一點,則
化簡,得x+7y-37=0.
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
化簡,得x+7y-37=0.
所以∠A的內角平分線所在的直線方程為
x+7y-37=0.
一題多解,能提升學生的解題能力,達到事半功倍的效果,這也是培養(yǎng)、發(fā)展其核心素養(yǎng)的重要路經.通過對以上10種解法的探析比較,可以鞏固學生所學知識,擴展數(shù)學思維,開拓數(shù)學視野,最終達到提升其自身數(shù)學核心素養(yǎng)的目的.