李小蛟

(四川省成都市樹(shù)德中學(xué)光華校區(qū) 610091)

基金項(xiàng)目：四川省數(shù)學(xué)會(huì)重點(diǎn)立項(xiàng)課題“提升學(xué)生核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程校本化研究”(項(xiàng)目編號(hào)：2020SXHJY004).

1 題目呈現(xiàn)

A.14 B.10 C.8 D.2

2 解法探析

所以D(-cosθ,-sinθ).

解法2 由題意，得

所以不妨令A(yù)(2cosθ,2sinθ),

代入化簡(jiǎn),得

評(píng)注圓上點(diǎn)的坐標(biāo)之間相互依存，圓心角為定值，所以直接采用圓心角之間的關(guān)系三角換元(參數(shù)方程)，直接代入化簡(jiǎn).

解法3 由題意可得O為ΔABC的重心，

=(-3cosθ,2-3sinθ)·(-6cosθ,-2-6sinθ)

=18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

=14-6sinθ≥8(當(dāng)sinθ=1時(shí)取等).

=(-x,2-y)·(-2x,-2-2y)

=2x2-4-2y+2y2

=14-2y.

評(píng)注由于三角形上三點(diǎn)之間相互依存，雖位置不定但始終存在任意兩點(diǎn)距離相等的聯(lián)系，故可將三角形頂點(diǎn)固定，將點(diǎn)P看成圓上的動(dòng)點(diǎn)，將多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再利用圓的參數(shù)方程將坐標(biāo)雙變量轉(zhuǎn)化為角度的單變量，回歸三角，減少運(yùn)算，直接利用三角函數(shù)的有界性求取最值.

解法6令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，由題意可得O為△ABC的重心.

故x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.

不妨設(shè)x1=2cosθ,y1=2sinθ，

所以當(dāng)θ=φ時(shí)，原式有最小值為8.

評(píng)注利用三角形重心的坐標(biāo)公式將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)建立等量關(guān)系，將平面向量數(shù)量積回歸到坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)三頂點(diǎn)在圓上，進(jìn)行一系列代換，轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)中一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算，再次利用參數(shù)方程.

解法7 由解法6，得

令M,N分別為AB,AC中點(diǎn)，Q為MN中點(diǎn)，

評(píng)注本題作為選擇題，觀察題目結(jié)構(gòu)，分析題目條件和所求數(shù)量積之間關(guān)系，盡量數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，做到小題小做，優(yōu)化解法，提升解題效率.

平面向量的數(shù)量積一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是處理問(wèn)題的關(guān)鍵；同時(shí)要將三角、函數(shù)、解析幾何、不等式等相關(guān)知識(shí)加以遷移滲透，綜合運(yùn)用，注重?cái)?shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想；在解題歸納上注重模型意識(shí)，合理轉(zhuǎn)化，妙設(shè)巧算，才能將核心素養(yǎng)在解題中得到真正體現(xiàn)和展示.