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        合理轉(zhuǎn)化 妙設(shè)巧算
        ——十法破解2021年成都三診12題

        2022-04-01 11:28:06李小蛟
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:解題

        李小蛟

        (四川省成都市樹(shù)德中學(xué)光華校區(qū) 610091)

        基金項(xiàng)目:四川省數(shù)學(xué)會(huì)重點(diǎn)立項(xiàng)課題“提升學(xué)生核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程校本化研究”(項(xiàng)目編號(hào):2020SXHJY004).

        1 題目呈現(xiàn)

        A.14 B.10 C.8 D.2

        2 解法探析

        所以D(-cosθ,-sinθ).

        解法2 由題意,得

        所以不妨令A(yù)(2cosθ,2sinθ),

        代入化簡(jiǎn),得

        評(píng)注圓上點(diǎn)的坐標(biāo)之間相互依存,圓心角為定值,所以直接采用圓心角之間的關(guān)系三角換元(參數(shù)方程),直接代入化簡(jiǎn).

        解法3 由題意可得O為ΔABC的重心,

        =(-3cosθ,2-3sinθ)·(-6cosθ,-2-6sinθ)

        =18cos2θ-4-6sinθ+18sin2θ

        =14-6sinθ≥8(當(dāng)sinθ=1時(shí)取等).

        =(-x,2-y)·(-2x,-2-2y)

        =2x2-4-2y+2y2

        =14-2y.

        評(píng)注由于三角形上三點(diǎn)之間相互依存,雖位置不定但始終存在任意兩點(diǎn)距離相等的聯(lián)系,故可將三角形頂點(diǎn)固定,將點(diǎn)P看成圓上的動(dòng)點(diǎn),將多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,再利用圓的參數(shù)方程將坐標(biāo)雙變量轉(zhuǎn)化為角度的單變量,回歸三角,減少運(yùn)算,直接利用三角函數(shù)的有界性求取最值.

        解法6令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由題意可得O為△ABC的重心.

        故x1+x2+x3=0,y1+y2+y3=0.

        不妨設(shè)x1=2cosθ,y1=2sinθ,

        所以當(dāng)θ=φ時(shí),原式有最小值為8.

        評(píng)注利用三角形重心的坐標(biāo)公式將三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)建立等量關(guān)系,將平面向量數(shù)量積回歸到坐標(biāo)運(yùn)算,通過(guò)三頂點(diǎn)在圓上,進(jìn)行一系列代換,轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)中一點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系運(yùn)算,再次利用參數(shù)方程.

        解法7 由解法6,得

        令M,N分別為AB,AC中點(diǎn),Q為MN中點(diǎn),

        評(píng)注本題作為選擇題,觀察題目結(jié)構(gòu),分析題目條件和所求數(shù)量積之間關(guān)系,盡量數(shù)形結(jié)合,以形助數(shù),做到小題小做,優(yōu)化解法,提升解題效率.

        平面向量的數(shù)量積一直是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,正確理解數(shù)量積的定義和幾何意義是處理問(wèn)題的關(guān)鍵;同時(shí)要將三角、函數(shù)、解析幾何、不等式等相關(guān)知識(shí)加以遷移滲透,綜合運(yùn)用,注重?cái)?shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;在解題歸納上注重模型意識(shí),合理轉(zhuǎn)化,妙設(shè)巧算,才能將核心素養(yǎng)在解題中得到真正體現(xiàn)和展示.

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