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        對(duì)2021年一道高考題目的深入研究

        2022-04-01 11:27:24王振民
        數(shù)理化解題研究 2022年7期

        王振民

        (山東省東平縣東原實(shí)驗(yàn)學(xué)校 271500)

        原創(chuàng)題目命制的流程,一般是先要明確考查的知識(shí),在命題者固有知識(shí)的基礎(chǔ)上,通過邏輯推理,借助數(shù)學(xué)軟件,進(jìn)行相應(yīng)數(shù)學(xué)運(yùn)算,經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證、修證、查重等過程,最終形成一道新的題目.原創(chuàng)題要滿足題目敘述的完整性、簡(jiǎn)潔性與準(zhǔn)確性,提供的答案要滿足知識(shí)考查的全面性與解題過程的一般性、多樣性,滿足答案最終結(jié)果的簡(jiǎn)單性.一道比較成功的數(shù)學(xué)原創(chuàng)題,考查的知識(shí)與方法要有極強(qiáng)的針對(duì)性,同種形式的問題考查不同的知識(shí)與方法,最大限度地發(fā)揮數(shù)學(xué)題目全面考查知識(shí)的作用.多問之間有所銜接,達(dá)到多一問則簡(jiǎn),少一問則繁的目的.

        2021年新高考數(shù)學(xué)22題的第(2)問,左側(cè)不等式屬于極值點(diǎn)偏移問題,直接構(gòu)造φ(x)=f(x)-f(2-x)即可,而對(duì)于右側(cè)不等式來(lái)說(shuō),答案給出的方法是構(gòu)造g(x)=f(x)-f(e-x),同一個(gè)題目中的兩個(gè)不等式證明,雖然具體證明過程不完全一樣,但是證明的數(shù)學(xué)思想與方法相同,這對(duì)于一道高考題目來(lái)說(shuō)是令人驚訝的.筆者根據(jù)自己長(zhǎng)年命題的經(jīng)驗(yàn)知道,當(dāng)命題人命制出一道題目后,命題人提供的解題方法最能體現(xiàn)命題人的命制過程與命制思想.當(dāng)題目被廣大的教師與學(xué)生解答后,會(huì)呈現(xiàn)出更多的出乎命題人意料的解法.本文大膽揣測(cè)命題人命制題目的題源與過程,給出對(duì)應(yīng)的解法,并加以推廣.

        1 沿波討源

        1.1 切線放縮

        題目1(2015年天津理20)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N*,n≥2.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤g(x);

        圖1

        設(shè)y=a與兩條切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,如圖1所示,易證得x3

        則|x2-x1|<|x4-x3|.

        總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,與函數(shù)峰值兩側(cè)的切線交點(diǎn)C,D的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,則AB

        1.2 割線放縮

        題目2(2020年寧陽(yáng)縣第一中學(xué)高三段考題)已知f(x)=xlnx與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,其橫坐標(biāo)分別為x1,x2(x1

        (1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

        (2)求證:x2-x1>ae+1.

        圖2

        分析如圖2,x2-x1表示線段AB的長(zhǎng)度,通過圖象可以看出,可以將線段AB適當(dāng)縮短為長(zhǎng)度為ae+1的線段.

        因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的,故可以考慮割線放縮.

        設(shè)直線y=a與兩條割線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,且x3

        易證得x1

        易解得x3=-a,x4=ae-a+1.

        故x4-x3=ae+1.

        所以x2-x1>ae+1成立.

        總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,與函數(shù)峰值兩側(cè)的割線交點(diǎn)C,D的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,則AB>CD,即|x2-x1|>|x4-x3|.

        題目1利用的是切線放縮,題目2利用的是割線放縮,能否在一個(gè)題目中同時(shí)利用切線與割線放縮呢?

        2 切、割線放縮的綜合應(yīng)用

        題目3(2021年新高考數(shù)學(xué)22題)已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        所以f(x1)=f(x2)=t.只需要證明x1+x2

        函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)為P(1,1),與x軸的交點(diǎn)為E(e,0).如圖3,割線OP方程為y=x,過點(diǎn)E的切線方程為y=-x+e.

        設(shè)直線y=t與割線、切線的交點(diǎn)分別為x3,x4.

        易證得x1

        則x1+x2

        易解得x3=t,x4=e-t.

        所以x3+x4=e.于是x1+x2

        圖3

        總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,在函數(shù)峰值兩側(cè)分別作割線、切線,直線y=a與割線、切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,則x1+x2x3+x4.

        高考題的精彩之處就是在學(xué)生具備的知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上再提高,既著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),又有較高的思維含量,考查學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新能力.我相信本題的命制是命題人研究切線放縮與割線放縮時(shí)兩種思想方法碰撞的結(jié)果.

        3 高考題目變式

        3.1 切割線放縮

        變式1 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        如圖4,圖象是上凸的,所以可以通過切線將x1縮小,通過割線將x2縮?。?/p>

        設(shè)y=a與切線、割線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,易證得x3≤x1,x4

        則x1+x2>x3+x4.

        圖4

        3.2 切線放縮

        變式2 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的,證明關(guān)于f(x)與y=a交點(diǎn)的距離小于某個(gè)值的不等式,可以考慮切線放縮.

        直線y=a與兩條切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,易證得x1≥x3,x2

        所以x2-x1

        圖5

        3.3 割線放縮

        變式3 已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        (2)存在兩個(gè)不等的正數(shù)x1,x2(x1e(1-a).

        分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的,證明關(guān)于f(x)與y=a交點(diǎn)的距離大于某個(gè)值的不等式,可以考慮割線放縮.

        兩條割線與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3,x4,易證得x1

        則x2-x1>x4-x3.

        易解得x3=a,x4=a(1-e)+e.

        則x4-x3=e(1-a).

        于是x2-x1>e(1-a)得證.

        圖6

        4 切割線放縮應(yīng)用的推廣

        在直線x=1的右側(cè),顯然過點(diǎn)P的割線部分在曲線f(x)的上方,部分在曲線f(x)的下方,無(wú)法實(shí)現(xiàn)x2的有效放大,故放棄割線放縮.

        因?yàn)閤3>x1,所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae,得x2>2-ae.

        則x2-x1>x4-x3.

        解得x4=2-ae.

        所以x4-x3=2-2ae.

        于是x2-x1>2-2ae得證.

        圖7

        圖8

        即x3,x4(x3

        令h(x)=xlnx-2x+e,則h′(x)=lnx-1,所以h(x)在(0,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增.

        因?yàn)閒(e)=1-ae≠0,

        所以h(x)的定義域?yàn)?0,e)∪(e,+∞),

        可得h(x)>h(e)=0.

        因?yàn)間(x3)=g(x4)=0,

        所以x1

        則x2-x1>x4-x3.

        總結(jié)深刻理解切割線放縮的思想,在此基礎(chǔ)上,可以推廣到一般直線放縮(推廣1)與曲線放縮(推廣2),進(jìn)一步豐富高中數(shù)學(xué)放縮方法.

        筆者認(rèn)為,在利用切線放縮的題目出現(xiàn)后,衍生了題目2的割線放縮,而題目3正是深入汲取了兩個(gè)題目的營(yíng)養(yǎng)成份,綜合應(yīng)用了切線放縮與割線放縮,題目的設(shè)計(jì)形式常見,設(shè)計(jì)思維含量高,解題方法水到渠成,挖掘了學(xué)生潛能,真正起到了選拔人才的作用.筆者在三道題目的基礎(chǔ)上,給出了相應(yīng)的變式,同時(shí)加以推廣,使題目的應(yīng)用視野更加開闊.

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