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        例談雙元不等式證明中的減元策略

        2022-04-01 11:29:06張志剛
        數(shù)理化解題研究 2022年7期

        張志剛

        (山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

        雙元(例如x1,x2)不等式的證明是高考數(shù)學(xué)??汲P碌拿}熱點(diǎn),解答時(shí)往往需要適時(shí)構(gòu)造新函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)工具加以討論.鑒于高中階段僅限于學(xué)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及應(yīng)用,因此,證明雙元不等式的核心思想就是減元(消元),即將雙元不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式去解決.如何有效地實(shí)施減元就成了解題的關(guān)鍵,采用何種策略要視具體題設(shè)條件而定,不可一概而論.本文以近年高考試題和模擬題為例,探討具體題設(shè)環(huán)境下如何實(shí)施消元.

        1 商式換元法

        其基本原理是:依據(jù)題設(shè)條件,如出現(xiàn)兩個(gè)齊次式之商的形式,則可以考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成關(guān)于兩元比值的單變量函數(shù).

        此方法常常用于對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明.

        由切線不等式lnx

        例2 已知函數(shù)f(x)=ax2-blnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=1.

        (1)求實(shí)數(shù)a,b的值;

        解析(1)a=1,b=2.(過(guò)程略)

        (2)因?yàn)?

        所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以g(t)>g(1)=0,原不等式成立.

        2 差式減元法

        類比商式換元法,我們也可以依據(jù)題目條件,考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成兩元之差的單變量函數(shù).此方法常常用于指數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明.

        設(shè)t=b-a(t>0),

        設(shè)g(t)=t+2+(t-2)et(t>0),

        g′(t)=1+(t-1)et(t>0).

        設(shè)h(t)=g′(t),則

        h′(t)=tet>0.

        所以h(t)即g′(t)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

        從而g′(t)>g′(0)=0,

        g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以g(t)>g(0)=0.

        2t0).

        設(shè)f(t)=et-e-t-2t(t>0),則

        所以f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

        從而f(t)>f(0)=0,即原不等式成立.

        3 韋達(dá)消參法

        當(dāng)雙元x1,x2是某二次方程的兩根時(shí),通過(guò)韋達(dá)定理求出x1+x2,x1x2,并考查是否為定值.若某一式(如下面例5中x1x2=1)為定值,利用此定值條件揭示的兩變量間的聯(lián)系,將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量來(lái)表示,代入相應(yīng)的不等式中,以達(dá)到消元之目的.顯然,本方法一般適用于導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的函數(shù)不等式的證明.

        (1)討論f(x)的單調(diào)性;

        解析(1)略.

        (2)由(1)知,若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則a>2.

        由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足

        x2-ax+1=0,

        由韋達(dá)定理,得x1x2=1.

        不妨設(shè)x11.

        所以欲證不等式等價(jià)于

        由(1)知,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減.

        又g(1)=0,從而當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0.

        例6已知函數(shù)f(x)=x2-x+aln(x+1),其中a∈R.

        (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        解析(1)略.

        (2)由(1)知,若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則

        由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足

        2x2+x+a-1=0,

        由韋達(dá)定理,得

        =x2-(2x2-1)ln(x2+1).

        g(x)=x-(2x-1)ln(x+1),

        設(shè)h(x)=g′(x),則

        >ln1=0,

        4 主副元減元法

        其基本原理是:在雙元函數(shù)不等式中,將其中一個(gè)變量作為主元,另外一個(gè)變量作為副元(參數(shù)),從而構(gòu)造一元函數(shù)來(lái)證明,達(dá)到減元的目的.

        證明由于0

        所以F(x)在(x1,+∞)上單調(diào)遞減.

        從而F(x)

        令x=x2,F(xiàn)(x2)<0,即原不等式成立.

        點(diǎn)評(píng)在本題確定主副元時(shí),鑒于欲證不等式中x2出現(xiàn)次數(shù)較少,則首選x2作為主元,x1作為副元嘗試解答.當(dāng)然,有些題目?jī)稍霈F(xiàn)次數(shù)相當(dāng)時(shí),也可考慮用主副元法.

        例8已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x,g(x)=xlnx.設(shè)0

        證明(1)設(shè)

        所以F(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

        從而F(x)>F(a)=0.

        所以G(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞減.

        從而G(x)

        綜上,原不等式成立.

        點(diǎn)評(píng)本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一個(gè)重要方法——設(shè)輔助函數(shù)法:將不等式所有的項(xiàng)移至不等式一側(cè),另一側(cè)為0,然后構(gòu)造輔助函數(shù),按部就班解答即可.但本題中的不等式是雙變量不等式,就需考慮選擇一個(gè)元作為主變?cè)硪粋€(gè)作為參數(shù)了.例如上述解答中,即將b視為主元,將a視為副元完成證明.而在主變?cè)倪x取上,一般遵循的原則是:

        ①出現(xiàn)次數(shù)較少的字母為主變量,目的自然是為了構(gòu)造函數(shù)后求導(dǎo)運(yùn)算的便利;

        ②數(shù)值較大的字母為主變量,例如本例中的b.

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