張志剛
(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)
雙元(例如x1,x2)不等式的證明是高考數(shù)學(xué)??汲P碌拿}熱點(diǎn),解答時(shí)往往需要適時(shí)構(gòu)造新函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)工具加以討論.鑒于高中階段僅限于學(xué)習(xí)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及應(yīng)用,因此,證明雙元不等式的核心思想就是減元(消元),即將雙元不等式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)不等式去解決.如何有效地實(shí)施減元就成了解題的關(guān)鍵,采用何種策略要視具體題設(shè)條件而定,不可一概而論.本文以近年高考試題和模擬題為例,探討具體題設(shè)環(huán)境下如何實(shí)施消元.
其基本原理是:依據(jù)題設(shè)條件,如出現(xiàn)兩個(gè)齊次式之商的形式,則可以考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成關(guān)于兩元比值的單變量函數(shù).
此方法常常用于對(duì)數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明.
由切線不等式lnx 例2 已知函數(shù)f(x)=ax2-blnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為y=1. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值; 解析(1)a=1,b=2.(過(guò)程略) (2)因?yàn)? 所以g(t)在(1,+∞)上單調(diào)遞增. 所以g(t)>g(1)=0,原不等式成立. 類比商式換元法,我們也可以依據(jù)題目條件,考慮將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成兩元之差的單變量函數(shù).此方法常常用于指數(shù)函數(shù)為背景的雙元不等式證明. 設(shè)t=b-a(t>0), 設(shè)g(t)=t+2+(t-2)et(t>0), g′(t)=1+(t-1)et(t>0). 設(shè)h(t)=g′(t),則 h′(t)=tet>0. 所以h(t)即g′(t)在(0,+∞)單調(diào)遞增. 從而g′(t)>g′(0)=0, g(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 所以g(t)>g(0)=0. 2t 設(shè)f(t)=et-e-t-2t(t>0),則 所以f(t)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 從而f(t)>f(0)=0,即原不等式成立. 當(dāng)雙元x1,x2是某二次方程的兩根時(shí),通過(guò)韋達(dá)定理求出x1+x2,x1x2,并考查是否為定值.若某一式(如下面例5中x1x2=1)為定值,利用此定值條件揭示的兩變量間的聯(lián)系,將其中一個(gè)變量用另一個(gè)變量來(lái)表示,代入相應(yīng)的不等式中,以達(dá)到消元之目的.顯然,本方法一般適用于導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的函數(shù)不等式的證明. (1)討論f(x)的單調(diào)性; 解析(1)略. (2)由(1)知,若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則a>2. 由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足 x2-ax+1=0, 由韋達(dá)定理,得x1x2=1. 不妨設(shè)x1 所以欲證不等式等價(jià)于 由(1)知,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減. 又g(1)=0,從而當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0. 例6已知函數(shù)f(x)=x2-x+aln(x+1),其中a∈R. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; 解析(1)略. (2)由(1)知,若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則 由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2滿足 2x2+x+a-1=0, 由韋達(dá)定理,得 =x2-(2x2-1)ln(x2+1). g(x)=x-(2x-1)ln(x+1), 設(shè)h(x)=g′(x),則 >ln1=0, 其基本原理是:在雙元函數(shù)不等式中,將其中一個(gè)變量作為主元,另外一個(gè)變量作為副元(參數(shù)),從而構(gòu)造一元函數(shù)來(lái)證明,達(dá)到減元的目的. 證明由于0 所以F(x)在(x1,+∞)上單調(diào)遞減. 從而F(x) 令x=x2,F(xiàn)(x2)<0,即原不等式成立. 點(diǎn)評(píng)在本題確定主副元時(shí),鑒于欲證不等式中x2出現(xiàn)次數(shù)較少,則首選x2作為主元,x1作為副元嘗試解答.當(dāng)然,有些題目?jī)稍霈F(xiàn)次數(shù)相當(dāng)時(shí),也可考慮用主副元法.2 差式減元法
3 韋達(dá)消參法
4 主副元減元法