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        平面向量數(shù)量積幾何意義的應用

        2022-04-01 11:27:54陳喜楊
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關鍵詞:意義數(shù)學

        陳喜楊

        (福建省莆田第六中學 351111)

        高考中對平面向量數(shù)量積最值題目的考查常用其幾何意義,這種題型涉及的條件通常是一個向量已知、另一個向量運動變化,考查學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng),以及學生運用運動變化的思想分析問題、解決問題的能力.向量具有代數(shù)和幾何的雙重身份,不但有數(shù)的特征,而且有形的特點,是把代數(shù)與幾何很好地連接起來的紐帶,是數(shù)形結合的天然橋梁,向量中的很多問題常常借助于圖形的幾何性質,可以給抽象的運算以直觀的解釋,顯得簡捷方便.通過向量數(shù)量積解決問題使學生深入理解數(shù)學各知識之間的滲透,體會數(shù)學知識的抽象性、概括性和應用性,從而提高學生解題的正確率.

        1 從幾何角度理解平面向量數(shù)量積的定義

        平面向量數(shù)量積的公式:a·b=|a|·|b|cosθ,其中θ=,|b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影,因此投影是一個數(shù)量,不是向量.當θ=0°時投影為|b|,當θ為銳角時投影為正,當θ=90°時投影為0,當θ為鈍角時投影為負,當θ=180°時投影為-|b|.故平面向量數(shù)量積a·b的幾何意義是:向量a的長度|a|與向量b在向量a方向上的投影|b|cosθ的乘積.

        平面向量數(shù)量積是向量的核心內容,屬高考??純热?利用平面向量數(shù)量積可以解決長度問題、夾角問題、垂直問題以及平行問題等.

        2 平面向量數(shù)量積的應用

        2.1基底與數(shù)量積的綜合應用

        當長度已知、向量夾角已知時,首先考慮用向量的三角形法則和平行四邊形法則,選擇兩個長度已知、夾角已知的向量為基底來表示要求的向量,再結合平面向量數(shù)量積的幾何意義求解.

        圖1 圖2

        2.2 平面幾何知識與數(shù)量積的幾何意義的融合

        幾何與代數(shù)是高中數(shù)學課程的主要內容之一,在向量數(shù)量積幾何意義的應用中,整合了數(shù)學中的代數(shù)運算和幾何圖形,引導學生通過數(shù)形結合,提升直觀想象、數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).

        圖3

        因為O為△ABC的外心,所以△ABC為直角三角形且∠BAC=90°.

        評注此題出現(xiàn)了三角形外心的條件,要能根據(jù)外心的條件直接聯(lián)想到一些學過的平面幾何的知識,并學以致用、聯(lián)想推理從而達到解決問題的目的.題目中的已知條件反映了圖形的幾何性質,通過圖形使得幾何條件及各數(shù)量之間的關系得以直觀地呈現(xiàn)出來.

        2.3 平面向量的應用與轉化思想

        向量數(shù)量積常用的方法之一是轉化,轉化思想是指在解題時根據(jù)題目中的已知條件,結合定義、圖象、性質或者公式把問題轉化成我們能解決的數(shù)學問題,從而達到解題的目的.這個過程通常是把未知轉化為已知、抽象轉化為具體、復雜轉化為簡單,使我們能夠用已學過的知識來解決遇到的問題.

        圖4

        此題使用了數(shù)量積的幾何意義,應用轉化思想把抽象的數(shù)學問題通過直觀想象作出圖象,使問題具體化、可視化,考查學生在處理數(shù)學問題時的遷移和應用.對比兩種解法,由于本題是填空題,小題小做,故將數(shù)量積的幾何意義聯(lián)系數(shù)形結合進行求解,計算量較小,用到的知識點較少,更方便得出結果,而且也更容易判斷出取最大值時點P的位置.

        2.4 數(shù)量積幾何意義在求數(shù)量積取值范圍的應用

        解析分別過點F,C作FM⊥AB,CN⊥AB交直線AB于點M,N,則點F,C在直線AB上的投影分別為點M,N.

        如圖5,根據(jù)正六邊形圖形的性質,得∠FAB=∠CBA=120°,故AM=BN=1.

        圖5

        向量是高中很多知識點之間的一個連接點,是聯(lián)系各個知識點的橋梁,是高中數(shù)學中重要的內容之一,發(fā)揮著舉足輕重的作用.復雜背景下求向量數(shù)量積的最大值、最小值,關鍵是挖掘隱含條件來達到已知與未知的轉化,化數(shù)為形,從而解決問題.

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