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        例析圓錐曲線解答題中的雙向量系數(shù)問(wèn)題

        2022-04-01 11:27:38
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:設(shè)點(diǎn)韋達(dá)消元

        李 寧

        (海南省海南中學(xué) 571158)

        于是y3-1=-λ,即λ=1-y3.

        同理,μ=1-y4.

        由于P,A,M三點(diǎn)共線,有

        直線l斜率不為0,設(shè)其方程為x=m(y-1),與y2=4x聯(lián)立,得

        y2-4my+4m=0.

        從而y1+y2=4m,y1y2=4m.

        解析由題知F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),則

        從而x1=λ(1-x1),y1-y0=-λy1.

        因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上,則

        評(píng)注例2和例1類(lèi)似,可以用相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來(lái)表示λ+μ,再利用韋達(dá)定理整體消元. 這里注意到例2的特殊性,A,B兩點(diǎn)地位相同,利用點(diǎn)A在橢圓C上構(gòu)建λ有關(guān)的二次方程,同理得到跟μ有關(guān)的二次方程,利用韋達(dá)定理直接得到λ+μ的值.

        解析由題知F1(-1,0),F2(1,0),設(shè)A(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),則

        故-1-x1=λ(x2+1),-y1=λy2.

        因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上,從而

        2(1+λ)x1=λ2-2λ-3=(λ-3)(λ+1).

        由于λ>0,從而2x1=λ-3.

        即λ=2x1+3.

        同理μ=-2x1+3.

        故λ+μ=6為定值.

        評(píng)注從構(gòu)圖上來(lái)看,點(diǎn)A確定了以后,整個(gè)圖形就能確定下來(lái). 通過(guò)設(shè)點(diǎn)法,充分利用點(diǎn)在橢圓上消去二次項(xiàng),得到參數(shù)之間的關(guān)系. 其實(shí),也可以通過(guò)焦半徑的計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

        從而λ=2x1+3.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

        x0=λx1+μx2,y0=λy1+μy2.

        由于M在橢圓上,從而

        (λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2=100.

        x1x2+4y1y2

        =20,

        評(píng)注這里充分利用M,A,B三點(diǎn)在橢圓上來(lái)處理二次項(xiàng),由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,通過(guò)韋達(dá)定理處理交叉項(xiàng)x1x2+4y1y2.

        小結(jié)這類(lèi)問(wèn)題往往涉及到圓錐曲線上兩個(gè)或更多動(dòng)點(diǎn),可以由題目給的向量條件溝通相應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的關(guān)系,接下來(lái)就是消元. 可以分析整個(gè)圖形的構(gòu)圖,考查是由動(dòng)直線還是動(dòng)點(diǎn)主導(dǎo),從而考慮采取設(shè)線法還是設(shè)點(diǎn)法. 設(shè)線法,用韋達(dá)定理整體消元;設(shè)點(diǎn)法,利用點(diǎn)在圓錐曲線上來(lái)消元.

        答案:λ+μ=-1.

        答案:(2,0).

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