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        圓錐曲線中的直角弦問題

        2022-04-01 11:27:10盧會玉
        數(shù)理化解題研究 2022年7期
        關(guān)鍵詞:韋達直角原點

        盧會玉

        (甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

        圓錐曲線中的直角弦問題是高考考查的一個重要考點,也是一類特征非常明顯的問題.可以通過探索找到涉及直角弦問題的試題特點,找到解決問題的合適方式.

        1 直角弦定義

        直線與曲線相交于兩點A,B,若存在點P,使得PA⊥PB,則弦AB叫做相對于點P的直角弦.

        2 橢圓中的直角弦

        2.1 橢圓與雙曲線中相對于曲線中心的直角弦

        (a+bk2)x2+2kmbx+bm2-1=0.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理,得

        即x1x2+y1y2=0.

        所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)

        =(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.

        則(a+b)m2=k2+1.

        所以原點O到直線l的距離為

        所以原點O到直線l的距離d為定值.

        (1)求C1的方程;

        點M到(1,0),(-1,0)距離之和為2a=4.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理,得

        2.2 相對于橢圓上點的直角弦

        若PA,PB的斜率存在,則kPA·kPB=-1.

        即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關(guān)系式.

        又直線AB的方程可寫為

        當(dāng)PA或PB的斜率不存在時,不難證明上述結(jié)論也成立.

        (1)求C1的方程;

        (2)橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.

        解析(1)設(shè)P(x0,y0),則切線方程為

        x0x+y0y=4.

        可得a2=1,b2=2.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由韋達定理,得

        2.3 相對于非橢圓上點、非中心點的直角弦

        (1)求橢圓C的標準方程;

        (2)過點H(-2,0)的直線交橢圓C于A,B兩點,若AF1⊥BF1,求直線AB的方程.

        (2)由題知,點F1的坐標為(-1,0),顯然直線AB的斜率存在.

        設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)(k≠0),

        得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0.

        則Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)

        =8(1-2k2)>0.

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

        則(-1-x1,-y1)·(-1-x2,-y2)=0.

        即1+x1+x2+x1x2+k(x1+2)·k(x2+2)=0.

        整理,得

        (1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.

        所以直線AB的方程為

        即直線AB的方程為

        x-2y+2=0或x+2y+2=0.

        3 拋物線中的直角弦

        結(jié)論3 拋物線相對于曲線中心的直角弦:直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點,若OA⊥OB,則直線l恒過定點(2p,0).

        所以y1y2=-4p2.

        設(shè)AB:x=my+n,代入拋物線y2=2px,

        得y2=2p(my+n).

        即y2-2pmy+2pn=0.

        故y1y2=-2pn.

        所以-2pn=-4p2.

        即n=2p.

        所以AB:x=my+2p.

        可知弦AB恒過定點(2p,0).

        結(jié)論4 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點,若OA⊥OB,且OM⊥AB,則點M的軌跡為x2+y2=2px(x≠0).

        證明因為OA⊥OB,

        則可知AB恒過定點(2p,0).

        故可設(shè)AB所在直線的方程為y=k(x-2p).

        又因為OM⊥AB,

        x2+y2=2px(x≠0).

        結(jié)論5直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點,若OA⊥OB,則ΔAOB面積的最小值為4p2.

        所以y1y2=-4p2.

        =4p2,

        當(dāng)且僅當(dāng)y1=y2時等號成立.

        結(jié)論6 直線l交y2=2px(p>0)于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,O為原點,若OA⊥OB,則弦AB的中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).

        證明因為OA⊥OB,

        則可知AB恒過定點(2p,0).

        故可設(shè)AB所在直線的方程為y=k(x-2p).

        k2x2-(4k2p+2p)x+4k2p2=0.

        所以y1+y2=k(x1-2p)+k(x2-2p)

        =k(x1+x2)-4kp

        設(shè)弦AB的中點N(x0,y0),則

        消去k得中點N的軌跡方程為y2=p(x-2p).

        證明顯然直線AB不與x軸垂直.

        故可設(shè)其方程為x=my+n.

        得y2-2pmy-2pn=0.

        則y1+y2=2pm,y1y2=-2pn,

        因為MA⊥MB,顯然MA,MB的斜率存在.

        所以kMA·kMB=-1.

        =-1.

        4 雙曲線中的直角弦

        相對于雙曲線上點的直角弦

        若PA,PB的斜率存在,則

        kPA·kPB=-1.

        即為θ0,θ1,θ2之間滿足的關(guān)系式.

        又直線AB的方程可寫為

        當(dāng)PA或PB的斜率不存在時,不難證明上述結(jié)論也成立.

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