白瑞蒲 劉山

摘要： 構造3-Pre-李代數(shù)一直是一個很困難的問題 ， 目前關于3-Pre-李代數(shù)的例子很少. 利用單無限維3-李代數(shù)Aw =?Lm |m ∈ Z?上所有權為0 的齊性 Rota-Baxter 算子 ， 構造了5 類不同構的3-Pre-李代數(shù) Bk ;0 ? k ?4 ， 且對所構造的3-Pre-李代數(shù)的結構進行了研究 ， 證明了 B2和 B4是2 類單3-Pre-李代數(shù) ， B1是具有無限多個1 維理想的不可分解 3-Pre-李代數(shù) ， B3是具有有限多個理想的不可分解 3-Pre-李代數(shù).

關鍵詞：3-Pre-李代數(shù);3-李代數(shù);齊性 Rota-Baxter 算子

中圖分類號： O152.5 文獻標志碼： ADOI： 10.3969/j.issn.1000-5641.2022.02.001

Infinite dimensional 3-Pre-Lie algebras

BAI Ruipu1，2 ，? LIU Shan1，2

（1. College of Mathematics and Information Science， Hebei University， Baoding Hebei 071002，China;2. Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence ofHebei Province， Hebei University， Baoding Hebei? 071002， China）

Abstract： Constructing 3-Pre-Lie algebras has always been a difficult problem; until now， there have been very few examples of 3-Pre-Lie algebras. In this paper， we use homogenous Rota-Baxter operators of weight zero on the infinite dimensional 3-Lie algebra Aw =?Lm|m ∈ Z? to construct 3-Pre-Lie algebras Bk ;0 ? k ?4 ， and we subsequently discuss the structure. It is shown that B2? and B4? are non-isomorphic simple 3-Pre- Lie algebras， B1? is an indecomposable 3-Pre-Lie algebra with infinitely many one-dimensional ideals， and B3 is an indecomposable 3-Pre-Lie algebra with finitely many ideals.

Keywords：3-Pre-Lie algebras;? 3-Lie algebras;? homogenous Rota-Baxter operator

0? 引言

Pre-李代數(shù)與3-李代數(shù)[1-2]在微分幾何及對稱空間中有著廣泛的應用. 文獻[3]將經典的 Yang- Baxter 方程進行了推廣 ， 得到了3-李代數(shù)的 Yang-Baxter 方程 ， 并將 Pre-李代數(shù)推廣為3-Pre-李代數(shù). 3-Pre-李代數(shù)的結構與3-李代數(shù)的 Yang-Baxter 方程的解有著非常緊密的關系. 但到目前為止 ， 關于3-Pre-李代數(shù)的例子很少 ， 且一直未有無限維3-Pre-李代數(shù)的例子. 人們一直在探討如何從已知的代數(shù)結構中構造出3-Pre-李代數(shù) ， 這一直是研究者力圖解決但尚未解決的問題. 本文根據(jù)3-李代數(shù)上權為零的 Rote-Baxter 算子與 O-算子的關系 ， 利用已知的3-李代數(shù)的結構構造3-Pre-李代數(shù). 在無限維線性空間 V =?Lm | m ∈ Z ?上構造出5 類不同構的無限維3-Pre-李代數(shù).

在無特殊說明的情形下 ， 本文中以 C 表示復數(shù)域 ， Z 表示整數(shù)集. 對線性空間 V 的子集 S ， 用?S?表示S 張成的 V 的子空間. 為方便起見 ， 在給出代數(shù)的乘法表時 ， 省略乘積為零的基向量運算.

1? 預備知識

定義1[3]?? 設 A 是域C 上的線性空間 ， 若3-元線性運算{ ，? ， } ： A ? A ? A → A 滿足

{x1， x2 ， {x3， x4， x5}}= {[x1， x2， x3]c ， x4， x5}+ {x3 ， [x1， x2， x4]c ， x5}+ {x3， x4 ， {x1， x2， x5}} ，

{[x1， x2， x3]c ， x4， x5}= {x1， x2 ， {x3， x4， x5}}+ {x2， x3 ， {x1， x4， x5}}+ {x3， x1 ， {x2， x4， x5}} ，

{x1， x2， x3}= ?{x2， x1， x3}，? xi ∈ A， 1 ? i ?5 ，

對任意x， y， z ∈ A ，有

則稱 A 為3-Pre-李代數(shù).

3-李代數(shù)[1]是具有線性運算[， ，]： L∧3 → L 的線性空間 L， 且滿足：?x1， x2， x3， y2， y3 ∈ L ， [[x1， x2 ， x3]， y2， y3]= [[x1， y2， y3]， x2， x3]+ [x1 ， [x2， y2， y3]， x3]+ [x1， x2 ， [x3， y2， y3]].EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

設 L為3-李代數(shù) ， V是線性空間 ， ρ： L ∧ L →gl（V）是線性映射 ， 且滿足

xi ∈ L， 1? i ?4 ， 則稱（V， ρ）為 L 的表示[2] ， 簡稱 V是3-李代數(shù) L -模.

對于任意3-李代數(shù) L ， （L， ad）是3-李代數(shù) L 的伴隨模 ， 其中

ad ： L ∧ L → gl（L）： ?x1， x2 ∈ L，? adx1;x2（x）= [x1， x2， x]， ?x ∈ L.

3-李代數(shù) L 的權為零的 Rota-Baxter 算子[4] R 是 L 的線性變換 ， 且滿足：?x1， x2， x3 ∈ L ，

定義2[3]?? 設 L是3-李代數(shù) ， （V， ρ）為 L -模， 若線性映射 T ： V → L滿足

則稱算子 T 為3-李代數(shù) L 的與（V， ρ）相關聯(lián)的O -算子.

引理1? 設 L是域C 上的3-李代數(shù) ， R 是 L 的權為零的 Rota-Baxter 算子 ， 則R 是3-李代數(shù) L 的與伴隨表示（L， ad）相關聯(lián)的O -算子.

證明由伴隨表示的定義及式（2）和式（3）可得結論 ， 證畢.

引理2[3]?? 設 L是3-李代數(shù) ， （V， ρ）為 L -模 ， T ： V → A 為與（V， ρ）相關聯(lián)的 O -算子 ， 則（L， {， ， }）是3-Pre-李代數(shù) ， 其中

{x， y， z}= ρ（Tx， Ty）z， ?x， y， z ∈ L.（4）

在文獻[5]中 ， 作者研究了單的無限維3-李代數(shù)Aw的一類特殊的權為零的 Rota-Baxter 算子 ， 稱其為齊性 Rota-Baxter 算子.3-李代數(shù)是以{Lm|m ∈ Z}為基的線性空間 ， 具有運算

上權為零的齊性 Rota-Baxter 算子是權為零的 Rota-Baxter 算子 R ， 且存在 Z -可加映射f ： Z → C， 使得 R（Ln）= f（n）Ln ， ?n ∈ Z.

首先給出Aw上權為零的齊性 Rota-Baxter 算子.

引理3[5]?? 3-李代數(shù)Aw上所有權為零的齊性 Rota-Baxter 算子定義為

其他情形;

其他情形;

其他情形.

其他情形;

式中： m， k ∈ Z ; a ∈ C＼{??? n ∈ Z， n? 0}; b ∈ C ＼{0}; m0 ∈ Z>0; m ∈ Z>1; m1 ∈ Z ＼{0}.

2? 構造3-Pre-李代數(shù)

本章利用3-李代數(shù)Aw上權為零的齊性 Rota-Baxter 算子構造無限維3-Pre-李代數(shù) ， 并對構造的3- Pre-李代數(shù)進行分類.

定義3? 3-Pre-李代數(shù)（A， {， ， }）的左中心Zl（A）和右中心Zr（A）分別定義為

且稱 Z（A）= {x |{x， A， A}= {A， A， x}= 0， x ∈ A}為 A 的中心.定義4? 設 I為3-Pre-李代數(shù) A 的子空間. 如果{I， A， A}? I ， 則稱 I為 A 的左理想

如果{A， A， I}? I ， 則稱 I為 A 的右理想.如果I 既是 A 的左理想又是 A 的右理想， 則稱 I為 A 的理想.

如果3-Pre-李代數(shù) A 可分解為2 個真理想的直和 ， 則稱 A 為可分解的3-Pre-李代數(shù) ， 否則稱 A 為不可分解的3-Pre-李代數(shù).

如果3-Pre-李代數(shù) A 沒有真理想 ， 則稱 A為單的3-Pre-李代數(shù).

命題1? 設I為3-Pre-李代數(shù)（A， {， ， }A）的理想.則商空間 AI = A/I ={x + I|x ∈ A}按下列運算構成3-Pre-李代數(shù) ， 并稱其為A 關于理想 I 的商代數(shù) ，具體表示為

{x + I， y + I， z + I}= {x， y， z}A + I， ?x， y， z ∈ A. （5）

證明對 x， y， z， x′， y′， z′ ∈ A ， 且 x + I = x′ + I， y + I = y′ + I， z + I = z′ + I ， 則存在 x′′， y′′ ， z′′ ∈ I， 使得 x = x′ + x′′， y = y′ + y′′， z = z′ + z′′. 所以

{x， y， z}A = {x′ + x′′， y′ + y′′， z′ + z′′}A = {x′， y′， z′}A + i.

式中 i ={x ， y′′′， z }′ A +{x ， y ， z′′′′}A +{x? ， y ， z }′′′′ A +{x? ， y ， z′′′′′}A +{x? ， y′′′′， z }′ A +{x ， y′′′， z′′}A +{x′′， y′′ ， z′′}A ∈ I .所以 ， 由式 （5）定義的運算有意義. 直接計算可驗證式 （5）滿足定義 1， 計算過程省略 ，證畢.

定理1? 設V是3-李代數(shù)Aw的基空間 ， 即 V是以{Lm|m ∈ Z}為基的無限維線性空間 ， 則 V上由權為零的齊性 Rota-Baxter 算子Rk ， 1? k ?5 ， 按照等式（4）構造的3-Pre-李代數(shù)在同構的意義下有且僅有如下5 類.

Abel的3-Pre-李代數(shù);

式中： a ∈ C ＼{? | n ∈ Z， n? 0}; b ∈ C ＼{0}; t1 ∈ Z; t2 ∈ Z>1; t3 ∈ Z>2.

證明記（Ak ， {， ， }k）（簡記為Ak）， k =1， 2， ·· · ， 5 ， 表示由Aw上權為零的齊次 Rota-Baxter 算子 Rk 按照式（4）構造的3-Pre-李代數(shù). 由引理3 可知A3為 Abel 的， 因此得到 B0.

由算子 R1和R5構造的3-Pre-李代數(shù)分別為

顯然 ， A1和A5均與 B1同構.

由引理3 及式（4）可知， 由算子 R2和R4構造的3-Pre-李代數(shù)分別為

易見 ， 當m0 =1時 ， A2同構于 B2; 當m0 >1時 ， A2同構于 B3.

當m > 2時 ， A4同構于 B4; 當m = 2時 ， 直接進行計算可驗證線性映射

?： A4 → B3， ?（Lm）= {

L2k ?1，?? m =2k +1，???? L2k+2，?? m =2k， ?k ∈ Z

是A4到 B3在t2 =2時的代數(shù)同構. 因此， 得到3-Pre-李代數(shù)Bi ， 0? i ?4.

下面證明Bi不同構于Bj ， 0? i? j ?4 .

顯然 ， B0不同構于 Bi ， 1? i ?4 .由乘法表可知 ， B2的左中心 Zl（B2）= 0 ， 而對于任意固定的 t1 ∈ Z ， t2 ∈ Z>1 ， B1 ， B3和B4分別有非零左中心

所以B2不同構于 B1、B3和B4. 再由 B1的乘法可知 ， 對任意n ∈ Z ， I =?Ln?是 B1的右理想 ， 而B3和B4沒有1 維的右理想. 所以B1不同構于 B3和B4.

由 B3的乘法表可知 ， {B3， B3， Zl（B3）}B3? ? Zl（B3）. 所以左中心 Zl（B3）是 B3的理想. 而B4的左中心不是 B4的理想， 證得 B3與 B4不同構. 所以， Bi不同構于Bj ， 0? i? j ?4 ， 證畢.

3? 3-Pre-李代數(shù)Bi（1 ? i ?4 ）的結構

本章進一步研究3-Pre-李代數(shù)Bi的結構 ， 1? i ?4 .為敘述方便 ， 對任意3-Pre-李代數(shù)（A， {， ， }）及 x， y ∈ A ， 定義左乘映射：

首先研究 B1的結構.

定理2? 對任意給定的t1 ∈ Z ， 有：

1） B1的左中心和右中心分別為

且左中心的任意子空間都是 B1的理想.

2） B1是不可分解的3-Pre-李代數(shù).

證明由定理1 中 B1的乘法表可直接得到結論1）.

如果 B1是可分解的3-Pre-李代數(shù) ， 則存在真理想 I 和 J 使得 B1 = I ⊕ J ， 則一定有 Lt1??? I 且 Lt1??? J .事實上 ， 如果Lt1? ∈ I （或是Lt1? ∈ J ）， 則由 B1的乘法可知，

{Lt1 ， L1?t1 ， Ln}B1? =τLn ∈ I， ?n ∈ Z＼{t1 ， 1? t1}.

式中τ= [（2n ?1）（? 1）t1? +（1? 2t1）（? 1）n]b? 0. 因為 I? B1 ， 所以L1?t1??? I ， 則存在

使得 L1?t1? = x + y .由上述討論可知 km?? 1 ? t1 ， 1? m ? q .所以 ， y =?x + L1?t1 L1?t1. 得到

與 I ∩ J? 0矛盾.因此Lt1??? I （Lt1??? J ）.

于是 ， 存在 x ∈ I， y ∈ J， x? 0， y? 0， 使得 Lt1? = x + y .由 {B1， B1， x}B1? ? I， {B1， B1， y}B1? ? J 及{B1， B1， Lt1}B1? ={B1， B1， x}B1? +{B1， B1， y}B1? ={0}， 得到 x， y ∈ Zr（B1）. 所以 ， 存在 α， β， α′， β′ ∈ C，使得 x =αLt1? +βL1?t1， y =α′Lt1? +β′L1?t1. 因為 x， y 線性無關 ， 所以? = det （????? ）? 0. 再由Lt1? = x + y 可得β= ?β′ ， α+ α′ =1. 因為對任意n ∈ Z＼{t1 ， 1? t1} ， 有

得到β[（2n ?1）（? 1）t1? +（1? 2t1）（? 1）n]bLn ∈ I ∩ J .所以 ， β= β′ =0 ， 與?? 0矛盾.證得 B1是不可分解的3-Pre-李代數(shù) ， 證畢.

定理3? 對任意給定的t2 ∈ Z>1 ， 有：

1） B3有t2 ?1個極小理想 Is = ? L2kt2+2s， L1+2kt2+2s | k ∈ Z ? ， s =1， 2， ·· · ， t2 ?1 .EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD

2） B3的每個真理想是極小理想的直和.

3） B3的左中心是最大真理想 ， B3的右中心等于零.

4） B3是不可分解的3-Pre-李代數(shù).

證明由定理1 中 B3的乘法表可知 ， 對于任意給定的 t2 ∈ Z>1以及 s ∈ Z，? 1? s < t2 ， Is = ? L2kt2+2s， L1+2kt2+2s | k ∈ Z ?是 B3的極小理想. 所以結論1）成立.

設 I為 B3的任意一個真理想 ， 則對任意k ∈ Z ， L2kt2??? I .

事實上 ， 如果存在k0 ∈ Z ， 使得 L2k0t2? ∈ I ， 由

及 k2， k3的任意性 ， 得到 {I， B3， B3}B3? = B3 ? I ， 矛盾 .所以?k0 ∈ Z .

任取非零x ∈ I ， 則存在si， ri， r ∈ Z， 0? si < t2 ， n ∈ Z ?1 ， 使得

對于任意1 ? i ? n， 有λi?? 0或?i?? 0.

對1 ? j ? n ， 不妨設?j?? 0. 設k1， k2 ∈ Z 滿足k1+ k2+ rj = 0 ， k2?? k1 ， 則

因此， 對任意m ∈ Z ， t ∈ Z>0 ， 有

式中σi = （ma ?m+1）（m ?ma+1）， i =1， ·· · ， n .由范德蒙行列式性質可知 ， L2sj? ∈ I ，

同理 ， 如果， 由?m ∈ Z ， 及?t ∈ Z>0 ， 有 lL（t）2mt2;L1? 2mt2（Y）∈ I ， 得到 .因此{B3， B3， L1+2sj }B3? = Isj? ? I .

再由 I是真理想得sj > 0 ， 1?j ? n .證得 I是極小理想的直和. 得到結論2）.

由結論1）和結論2）可以直接得到結論3）.

如果 B3是可分解的 3-Pre-李代數(shù). 則由結論 2）可知 ， B3是極小理想的直和. 因此 ， 存在 ， 使得

對于任意1 ? i ? n 有λi?? 0或?i?? 0. 這與線性無關相矛盾. 所以結論4）成立， 證畢.

定理4? B2和B4都是單的3-Pre-李代數(shù).

證明首先討論 B2的情形. 設 I為 B2的非零理想 ， 則任取非零x ∈ I ， 存在ri ∈ Z ， 1? i ? n ， n ∈ Z ?1 ， 使得

對于任意1 ? i ? n ， 有λi?? 0或?i?? 0.

對于任意 1? j ? n ， 不妨設 ?j?? 0. 設? k1， k2（∈ Z）滿足：? k1+ k2+rj = 0 ，? k2?? k1 ， 則 X =? {L2k1t2 ， L2k2t2 ， x}B2 =?? ?iL2（ri ?rj）+?jL0 ∈I .所以， 對任意m ∈ Z ， t ∈ Z>0 ， 有，τi =?? 0， 1? i ? n .由范德蒙行列式的性質可知 ， L0 ∈ I .再由B2 的乘法表可知 ， {L0， B2， B2}B2? = B2 ? I ， 得到I = B2. 所以， B2沒有真理想. 證得B2是單的3-Pre-李代數(shù).

同理， 可證得 B4是單的3-Pre-李代數(shù) ， 證畢.

[參考文獻]

[1]白瑞蒲， 馬越.3-李代數(shù) A 的模與誘導模[J].華東師范大學學報（自然科學版）， 2021（3）：8-16.

[2]白瑞蒲， 侯帥， 亢闖闖.對合導子構造的3-李雙代數(shù)與3-Pre-李代數(shù)[J].數(shù)學學報（中文版）， 2020， 63（2）：123-136.

[3]BAI C M， GUO L， SHENG Y H. Bialgebras， the classical Yang-Baxter equation and Manin triples for 3-Lie algebras [J]. Adavances in Theoretical and Mathematical Physics， 2019， 23（1）：27-74.

[4]BAI R P， GUO L， LI J Q， et al. Rota-Baxter 3-Lie algebras [J]. Journal of Mathematical Physics， 2013， 54：063504.

[5]BAI R P， ZHANG Y H. Homogeneous Rota-Baxter operators on the 3-Lie algebra Aw? [J]. Colloquium Mathematicum， 2017， 148（2）：195-213.

（責任編輯：陳麗貞）EF971067-C086-4D8A-8AE0-9F55387244FD