丁群濤，楊樹政

(西華師范大學(xué) 物理與天文學(xué)院，四川 南充 637009)

利用真正意義上的量子隧穿理論，Kraus和Wilczek研究了一類黑洞的Hawking溫度和黑洞熵[1-5]。之后，Kerner和Mann用半經(jīng)典理論研究了黑洞的量子隧穿輻射特征[6-8]。利用黑洞量子隧穿理論及其研究方法，人們對黑洞的量子隧穿輻射進(jìn)行了一系列有意義的研究[9-12]。Yang和Lin提出一種研究Dirac粒子量子隧穿輻射的方法[13-15]，利用半經(jīng)典理論和Gamma矩陣的對易關(guān)系得到了彎曲時空中的Hamilton-Jacobi方程。隨后人們利用這一方法研究了一類黑洞的隧穿率、黑洞熵和Hawking溫度等有意義的物理量[16-19]?？茖W(xué)研究總是不斷發(fā)展的。近年來的研究表明，在微觀高能領(lǐng)域，量子引力理論不能被完美地建立起來。由于廣義相對論是不可重建化的引力理論，研究者推測構(gòu)成廣義相對論基石的洛倫茲對稱性在高能領(lǐng)域會產(chǎn)生對稱性的破缺。在此推測基礎(chǔ)之上，人們已經(jīng)提出幾種洛倫茲對稱性破缺的引力模型[20-21]。有研究者通過引入Etheric-Like field矢量對平直時空和彎曲時空中的對稱性破缺的Dirac方程進(jìn)行了研究[22-23]。目前，應(yīng)用洛倫茲對稱破缺理論和半經(jīng)典理論對黑洞量子隧穿輻射進(jìn)行修正是值得深入研究的前沿課題[24-25]。

本文對洛倫茲破缺理論與Kerr-TAUB-NUT黑洞量子隧穿輻射的相關(guān)問題進(jìn)行研究，討論了洛倫茲破缺標(biāo)量場方程及彎曲時空中的玻色子動力學(xué)方程，介紹了穩(wěn)態(tài)Kerr-TAUB-NUT黑洞時空中玻色子的動力學(xué)方程及其解的物理意義，最后對文章中所得結(jié)果進(jìn)一步解釋和討論。

1 洛倫茲對稱性破缺與玻色子的動力學(xué)方程

在平直時空中的Etheric-Like field矢量uα是一個常矢量，自然滿足以下條件

uαuα=const，

(1)

因此，在平直時空中，根據(jù)洛倫茲破缺的標(biāo)量場理論，標(biāo)量場粒子(即玻色子)的作用量為

(2)

這里λ0是一個很小的量，λ0(uαuαψ)2是洛倫茲對稱破缺性引起的修正項?？傻眯拚蟮臉?biāo)量場方程為

?μ?μψ+λuαuβ?α?βψ+m2ψ=0。

(3)

在彎曲時空中，Etheric-Like field矢量用uα表示，uα不是常矢量，但仍然滿足條件uαuα=const。考慮到洛倫茲對稱破缺引起的修正項λ0(uαuαψ)2=0，將洛倫茲對稱性破缺標(biāo)量粒子的作用量改寫為

(4)

因此，可得彎曲時空中洛倫茲破缺標(biāo)量場粒子的動力學(xué)方程為

(5)

即

(6)

該方程實際上就是考慮到洛倫茲對稱性破缺理論之后修正的Klien-Gordon方程。對于荷電為e,質(zhì)量為m的玻色子而言，其修正后的Klien-Gordon方程為

(7)

此方程中的λ是一個很小的量，λuμuυ是一個修正項，gμυ是彎曲時空度規(guī)張量的逆變形式。方程(7)中的ψ是標(biāo)量場粒子(玻色子)的波函數(shù)。用S表示標(biāo)量粒子的Hamilton主函數(shù)，并利用半經(jīng)典理論，令

(8)

由方程(7)和(8)可以得到

(gμυ+λuμuυ)(?μS-eAυ)(?υS-eAυ)+m2=0。

(9)

顯然，方程(7)和(9)都是彎曲時空中玻色子的動力學(xué)方程。只要從方程(9)求出S，即可根據(jù)量子隧穿理論，求出黑洞的隧穿率和黑洞的Hawking溫度。實際上，方程(9)是變形的Hamilton-Jacobi方程，是由變形的klein-Gordon方程得出的一個玻色子動力學(xué)方程，必須按照Hamilton-Jacobi方程的求解方法求出S。下一節(jié)中，將根據(jù)一個具體的時空度規(guī)來求解此方程。

2 對Kerr-TAUB-NUT彎曲時空中玻色子隧穿輻射的修正

Kerr-TAUB-NUT時空是一個帶有NUT荷的穩(wěn)態(tài)彎曲時空，這一時空的特殊性質(zhì)在弦理論中具有研究意義，給出黑洞時空線元

(10)

其中

Δ=r2-2Mr-l2+a2,ρ2=r2+(l+acosθ)2,A=asin2θ-2lcosθ。

(11)

式中，M是黑洞質(zhì)量，l是NUT參數(shù)，a是黑洞單位質(zhì)量的角動量。由(10)式可知，此黑洞時空度規(guī)的非零協(xié)變分量和逆變張量分別為

(12)

(13)

根據(jù)(10)(11)和(13)式，玻色子動力學(xué)方程(9)簡化為

gμυ?μS?υS+λuμuυ?μS?υS+m2=0。

(14)

為了求解此方程，Etheric-Like field矢量場uμ表示為

(15)

這里ct,cr,cθ,cφ都是常量，顯然

(16)

把(13)式帶入方程(14)中可以得到

gtt(?tS)2+grr(?rS)2+gθθ(?θS)2+gφφ(?φS)2+2gtφ(?tS?φS)+λuμuυ?μS?υS+m2=0，

(17)

對穩(wěn)態(tài)Kerr-TAUB-NUT彎曲時空而言，可以將半經(jīng)典的方程(17)進(jìn)行分離變量，其中

S=-ωt+R(r)+D(θ)+jφ，

(18)

(19)

根據(jù)零超曲面方程

(20)

得出此黑洞的事件視界rH滿足以下方程

Δ(rH)=rH2-2MrH-l2+a2。

(21)

所以，在此黑洞事件視界附近，由方程(19)可得

(22)

方程中

(23)

運用留數(shù)定理對(22)式積分可得

(24)

式中，Rr是徑向積分之外的項，此項在求隧穿率時會自然省略。根據(jù)量子隧穿率的理論，得到Kerr-TAUB-NUT黑洞事件視界附近玻色子的隧穿率為

(25)

令

(26)

則隧穿率可以表示為

(27)

式中,T0是修正前的Hawking溫度，TH是修正后的Hawking溫度，表示在洛倫茲對稱性破缺理論下Kerr-TAUB-NUT黑洞視界處的Hawking溫度必然需要修正，其修正項與λ和cr有關(guān)。(25)和(26)式就是對此黑洞隧穿輻射進(jìn)行修正后得到的新結(jié)論。根據(jù)黑洞熱力學(xué)第零定律，穩(wěn)態(tài)黑洞的視界表面引力是一個常數(shù)。由(26)式可知，此黑洞的事件視界表面引力Κ為

(28)

這是修正后的Kerr-TAUB-NUT黑洞的視界表面引力的表達(dá)式，顯然是一個常數(shù)。所得結(jié)果符合黑洞熱力學(xué)第零定律。

由(23)式可知，NUT參數(shù)l對旋轉(zhuǎn)勢有影響?？梢钥隙ǖ氖?，NUT參數(shù)和洛倫茲對稱性破缺的修正項都對Kerr-TAUB-NUT黑洞熵產(chǎn)生影響。如果用SBH表示此黑洞的熵，那么(25)式可以表示為

?！玡xp(-2ImR±)～exp(ΔSBH)，

(29)

ΔSBH表示Bakenstein-hawking熵變。根據(jù)黑洞熱力學(xué)第一定律，進(jìn)一步討論洛倫茲對稱性破缺對Kerr-TAUB-NUT黑洞熵的修正。由于

dM=TdSBH+VdJ+UdQ，

(30)

得到未修正的Kerr-TAUB-NUT黑洞熵S0滿足如下關(guān)系式

(31)

經(jīng)過修正的Kerr-TAUB-NUT黑洞的黑洞熵SBH為

(32)

這就表明此黑洞熵需要修正，修正后的黑洞熵與此黑洞視界面積之比是一個常數(shù)。這是穩(wěn)態(tài)黑洞的基本特征之一，在動態(tài)情況下，就需要進(jìn)一步的研究。

3 總結(jié)與討論

利用彎曲時空中的量子隧穿輻射理論，可以研究靜態(tài)、穩(wěn)態(tài)和動態(tài)黑洞的隧穿輻射特征。當(dāng)考慮到洛倫茲對稱破缺理論時，玻色子的動力學(xué)方程已發(fā)生改變，這一變化必然導(dǎo)致黑洞隧穿率的改變。針對不同的黑洞，洛倫茲對稱破缺理論導(dǎo)致黑洞隧穿率、Hawking溫度等物理量的修正量，還需要更進(jìn)一步的研究。以上是對Kerr-TAUB-NUT黑洞玻色子輻射特征的研究及其它類型黑洞的相關(guān)研究，都需要進(jìn)行具體的分析，phy-sics。對于費米子而言，需要研究洛倫茲對稱破缺對Dirac方程的影響。關(guān)于費米子隧穿輻射特征的研究及其它類型黑洞的相關(guān)研究，都需要進(jìn)行具體的分析，我們將在別的論文中介紹。