朱勝楠，吳小太

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

近年來(lái)，多智能體系統(tǒng)在無(wú)人機(jī)編隊(duì)飛行、移動(dòng)機(jī)器人的協(xié)同控制、電網(wǎng)的協(xié)同控制等方面都有著廣泛的應(yīng)用，這也使得多智能體系統(tǒng)的一致性問題引起了越來(lái)越多專家學(xué)者的研究興趣[1-2]。多智能體協(xié)作控制中一個(gè)基本且普遍存在的問題就是一致性控制，其目的是設(shè)計(jì)分布式控制算法，使一組有或者沒有領(lǐng)導(dǎo)者的智能體在某些特定狀態(tài)達(dá)成一致[3-6]。當(dāng)多智能體系統(tǒng)中有多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者時(shí)，研究的一致性問題也被稱為包容控制，其中跟隨者能夠在一定狀態(tài)下收斂到由多個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的凸包上[7]。到目前為止，對(duì)于非周期采樣、嘈雜的混合環(huán)境和延時(shí)的多智能體系統(tǒng)的包容控制，在參考文獻(xiàn)[8-10]中已經(jīng)有了大量的結(jié)果，當(dāng)然這些結(jié)果都是基于連續(xù)控制的研究。

脈沖控制是一種有效的間斷控制策略，已成為現(xiàn)代控制論的重要控制方法之一，與連續(xù)控制相比，脈沖控制是一種更方便、魯棒性更強(qiáng)、更有效的間斷控制策略[11]，只需要在特定時(shí)刻改變系統(tǒng)的狀態(tài)即可。特別是對(duì)于大規(guī)模分布式控制，智能體之間的信息交互會(huì)產(chǎn)生一定程度的消耗，連續(xù)時(shí)間控制會(huì)造成通信資源的極大浪費(fèi)。因此，在過去幾十年中，對(duì)各種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)考慮了脈沖控制的一致性問題[12-13]。Wang等[14]通過脈沖混合控制研究了具有或不具有時(shí)滯的Duffing型振蕩器的完全同步問題。Yang等[15]研究了延遲脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Tang等[16]通過脈沖控制研究了具有時(shí)滯的準(zhǔn)同步問題，進(jìn)一步促進(jìn)了脈沖效應(yīng)，即脈沖控制在結(jié)果中起了積極和消極的作用。工程技術(shù)、環(huán)境生態(tài)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中出現(xiàn)的實(shí)際系統(tǒng)一般都帶有外界的干擾。

拒絕服務(wù)(Denial of Service,DoS)攻擊的目的是阻止收發(fā)器之間的通信，通常包括周期性DoS攻擊、隨機(jī)DoS攻擊和任意DoS攻擊[17-18]。DoS攻擊者通過干擾通信通道來(lái)實(shí)施攻擊行為，通常會(huì)導(dǎo)致控制性能下降，甚至不穩(wěn)定。在文獻(xiàn)[19]中通過對(duì)DoS頻率和持續(xù)時(shí)間施加適當(dāng)?shù)南拗?，輸入狀態(tài)穩(wěn)定性被考慮用于動(dòng)力系統(tǒng)。通過利用這些假設(shè)，盡管存在DoS攻擊，仍對(duì)穩(wěn)定性或者一致性進(jìn)行了廣泛的研究[17,20-21]。到目前為止，對(duì)于多智能系統(tǒng)問題，特別是同時(shí)考慮隨機(jī)脈沖的情況下，脈沖控制問題還沒有得到充分的研究。這可能是因?yàn)樵谶@種情況下，很難設(shè)計(jì)合適的時(shí)間脈沖控制協(xié)議來(lái)描述隨機(jī)波動(dòng)，另一方面，如果脈沖受到隨機(jī)DoS攻擊，則很難采用文獻(xiàn)[19]中常用的假設(shè)來(lái)描述DoS攻擊下有脈沖。因此，如何描述脈沖的DoS可能是一個(gè)值得研究的問題。

基于上述討論，研究考慮了多智能體系統(tǒng)的隨機(jī)脈沖包控性問題。首先，對(duì)隨機(jī)脈沖協(xié)議下的多智能體系統(tǒng)包容控制問題進(jìn)行了研究，其中脈沖控制協(xié)議由時(shí)間觸發(fā)決定。其次，研究提出了一種時(shí)變概率來(lái)描述對(duì)每個(gè)脈沖輸入進(jìn)行DoS攻擊的可能性，并研究了在隨機(jī)拒絕服務(wù)攻擊下多智能體系統(tǒng)的脈沖包容控制問題。

1 相關(guān)定義與引理

本文考慮一個(gè)由M個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和N個(gè)追隨者組成的多智能體系統(tǒng)。追隨者的動(dòng)力學(xué)行為描述為

(1)

式中，ui(t)∈n和xi(t)∈n分別表示第i個(gè)跟隨者的輸入和狀態(tài)；A是具有兼容維度的常數(shù)矩陣。領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)態(tài)如式(2)所示。

(2)

式中，xκ(t)∈n代表第κ個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)。

假設(shè)N+M個(gè)智能體之間的信息交換用圖GN+M=(V,ε,A)表示，其中，V={1,…,N,N+1,…,N+M}表示滿足非空性和有限的節(jié)點(diǎn)集，ε?V×V是邊集，A=(aij)∈(N+M)×(N+M)表示鄰接矩陣。在矩陣A中，aij是邊(j,i)的權(quán)重，當(dāng)且僅當(dāng)(j,i)∈ε時(shí),aij>0，否則，aij=0。(i,j)∈ε表示的邊意味著代理j可以從代理i接收信息，其中代理j被稱為代理i的鄰居。代理i的鄰居集由Ni={j∈V|(j,i)∈ε}表示。設(shè)D=diag{d1,d2,…,dN}為度矩陣，其中，是接普拉斯矩陣。

接下來(lái)考慮系統(tǒng)式(1)、式(2)的包容控制問題，給出一些必要的假設(shè)、引理和定義如下。

定義1[24]對(duì)于?i∈F={1,…,N},多智能體系統(tǒng)式(1)、式(2)的包容控制目標(biāo)是通過提議的協(xié)議實(shí)現(xiàn)的，如果

dis(xi(t),Co(xκ(t),κ∈L))→0,ast→∞,

(3)

式中，Co(xκ(t),κ∈L)表示由xκ(t)組成的凸包。

為了實(shí)現(xiàn)多智能體系統(tǒng)式(1)、式(2)的一致性，脈沖控制協(xié)議定義如式(4)所示。

(4)

式中，γk是一個(gè)隨機(jī)變量，用于描述脈沖強(qiáng)度的隨機(jī)性；{τk}k∈是一個(gè)增量脈沖序列，limk→∞τk=+∞;δ(t)是狄拉克函數(shù)。

注1:在脈沖控制過程中引入序列隨機(jī)變量{γk}k∈+來(lái)刻畫脈沖控制過程中的隨機(jī)波動(dòng)。在文獻(xiàn)[25-27]中對(duì)帶有隨機(jī)脈沖的動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行了一些重要研究。與這些結(jié)果相比，研究的創(chuàng)新之處體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①研究假設(shè)隨機(jī)脈沖由時(shí)間觸發(fā)機(jī)制決定，并在這種機(jī)制下解決了多智能體系統(tǒng)包容控制問題；②當(dāng)隨機(jī)脈沖受到隨機(jī)DoS攻擊時(shí)，給出了保證多智能體系統(tǒng)達(dá)到包容控制目標(biāo)的充分條件。

令

可以檢查一下式(5)：

(5)

(6)

則在期望意義上實(shí)現(xiàn)包容控制目標(biāo)，即所有追隨者的狀態(tài)收斂到領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)所形成的凸包。

2 時(shí)間觸發(fā)隨機(jī)脈沖

在本節(jié)中，假設(shè)控制協(xié)議(式(4))中的脈沖是時(shí)間觸發(fā)的，并且多智能體系統(tǒng)式(1)、式(2)可以重寫為

(7)

式中，?κ∈L，i∈F，k∈。假設(shè)隨機(jī)變量γk可以服從不同的分布。

假設(shè)2 設(shè){γk}k∈為隨機(jī)變量序列，且γk∈Λ為任意k∈N，其中，Λ={ξ1,…,ξr}是一組獨(dú)立的隨機(jī)變量，ξν=φν,1≤ν≤r。

在假設(shè)2中，r中不同類型的脈沖強(qiáng)度用r個(gè)隨機(jī)變量表示。下面，提出一個(gè)定義描述每個(gè)脈沖強(qiáng)度的脈沖效應(yīng)。

定義2[26]設(shè)Nν(t,s)為時(shí)間間隔(s,t]內(nèi)第ν種脈沖強(qiáng)度的出現(xiàn)次數(shù)。如果存在正常量τaν與N0ν，則對(duì)于1≤ν≤r,

那么τaν和N0ν分別稱為第ν種脈沖強(qiáng)度的平均脈沖間隔和彈性數(shù)?？梢缘玫?/p>

(8)

在下文中，提供了一個(gè)定理，證明可以使用脈沖協(xié)議(式(4))實(shí)現(xiàn)包容控制目標(biāo)。

定理1 假設(shè)1、假設(shè)2成立。如果存在正定矩陣P和常數(shù)φ，則

(IN?A)TP+P(IN?A)≤φIN?In,

(9)

(10)

證明構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)如式(11)所示：

V(η(t))=ηT(t)Pη(t)。

(11)

可以由式(5)和式(7)得到

(12)

對(duì)于任何t∈[τk,τk+1)和k∈,意味著對(duì)于t∈[τk,τk+1)，

(13)

根據(jù)式(13)、式(9)可知，

(14)

這意味著

V(η(t))≤V(η(τk))eφ(t-τk),

(15)

V(η(τk))=

(16)

式中，Θk=(IN-γkL1)?In。設(shè)Fk=σ{γ1,γ2,…,γk}是由γ1,γ2,…,γk生成的σ代數(shù)?？梢宰C實(shí)

(17)

由式(16)與式(17)可知，

V(η(τk))≤Ξk

(18)

V(η(t))≤

因此，對(duì)于任何t≥t0,

V(η(t))≤

(19)

從式(10)可以得到

(20)

因此可以得到

(21)

由上可知，脈沖控制協(xié)議(式(4))解決了多智能體系統(tǒng)期望意義上的包容控制問題(式(7))。

注2:在定理1中，引入時(shí)間觸發(fā)的脈沖包容控制，以保證所有跟隨者的狀態(tài)能夠收斂到由領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)在期望意義上形成的凸包，其中脈沖強(qiáng)度是隨機(jī)的。隨機(jī)脈沖強(qiáng)度用于描述脈沖控制過程中的隨機(jī)波動(dòng)，它還可用于描述受到隨機(jī)拒絕服務(wù)攻擊的脈沖。

3 結(jié)論

本文引入隨機(jī)脈沖來(lái)描述脈沖控制過程中的隨機(jī)波動(dòng)。在隨機(jī)脈沖協(xié)議下，假設(shè)脈沖為時(shí)間觸發(fā)的，研究了多智能體系統(tǒng)的包容控制。此外，如果脈沖受到隨機(jī)DoS攻擊，提出一個(gè)時(shí)變概率來(lái)描述每次DoS攻擊的可能性，并獲得了實(shí)現(xiàn)在DoS攻擊下多智能體系統(tǒng)的包容控制的充分條件。